1.4.1 第1课时空问中点、直线和平面的向量表示-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（人教A版）

024 1.4空间向量的应用 1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系 第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示 新课程标准解读 学科核心素养 1.会用向量语言描述直线和平面. 数学抽象 2.掌握直线的方向向量、平面的法向量的概念 数学抽象 3.会求直线的方向向量与平面的法向量 数学运算 教材梳理 明要点 ●情境导入 我们知道，点、直线和平面是空间的基本图形，点、线段和平面图形等是组 成空间几何体的基本元素.用向量表示出空间中的点、直线和平面，我们 就可以用空间向量来解决立体几何问题了. 台新知初探 知识点一空间中点、直线和平面的向量表示 在空间中，取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P 点P的位 可以用向量 表示，我们把向量 称为点P 置向量 的位置向量 [知识点反思1] 空间任意直线由直线 a是直线l的方向向量，在直线l上取AB=a,取定空间中的 空间直线 上一点及直线的方向 任意一点O,可以得到点P在直线1上的充要条件是存在 的向量表 向量唯一确定；空间 示式 实数t,使OP= ,也可以表示为OP= ·这 中任意平面由空间一 两个式子称为空间直线的向量表示式。 点及两个不共线向量 唯一确定 空间平面 取定空间任意一点O,那么，空间一点P在平面ABC内的 ABC的向 充要条件是存在实数x,y,使OP= ,这就 量表示式 是空间平面ABC的向量表示式. [知识点反思1] [知识点反思2] 知识点二平面的法向量 平面a的一个法向量 直线l⊥，取直线1的方向向量a,我们称向量a为平面ax的 给 垂直于平面α内的所 有向量；一个平面的 定一个点A和一个向量a,那么过点A,且以向量a为法向量的平面是完全 法向量有无数个，它 确定的，可以表示为集合{PIa·AP=0}. P[知识点反思2] 们互相平行 025 ⑨预习自测 1.若A(-1,0,1),B(1,4,7)在直线1上，则直线1的一个方向向量为 A.（1,2,3) B.(1,3,2) C.(2,1,3) D.(3,2,1), 2.设平面a内两向量a=(1,2,1),b=（-1,1,2),则下列向量中是平面的法向量的是（ A.(-1,-2,5) B.(-1,1,-1) C.(1,1,1) D.(1,-1,-1) 题型探究提技能 题型一直线的方向向量 例1(1)在如图所示的空间直角坐标系中，4BCD- A,B,C,D1为正方体，棱长为1，则直线DD,的 一个方向向量为 ,直线BC1的一个 B 方向向量为 (2)已知直线1的一个方向向量m=(2,-1,3), D [方法总结1] 且直线1过A(0,y,3)和B(-1,2,z)两点，则 理解直线方向向量的 y-等于 ( 概念 A.0 B.1 C 3 D.3 (1)直线上任意两个 2 不同的点都可构成直 P[方法总结1] 线的方向向量 )跟踪训练1 (2)直线的方向向量 (多选)若M(1,0,-1),N(2,1,2)在直线1上，则下列可作为直线1方向向 不唯一. 量的是 A.(2,2,6) B.(1,1,3) C.(3,1,1) D.(-3,0,1) 题型二平面的法向量 例2已知四边形ABCD是直角梯形，乙BC=90,51L [方法总结2] 平面ABCD,SA=AB=BC=2,AD=1.在如图所示 求平面法向量的步骤 的空间直角坐标系中，分别求平面SCD和平面SAB (1)设向量：设平面 的一个法向量。 的法向量为n=(x, y,z). (2)选向量：在平面 ●[方法总结2] 内选取两个不共线向 量AB,AC (3)解方程组： n·AB=0, n·AC=0. (4)赋非零值：取x, y,:其中一个为非零 值（常取±1）. (5)得结论：得到平 面的一个法向量。 026 》跟踪训练2 在正方体ABCD-A,BC,D1中，E,F分别为棱AD,AB1的中点，在如图所示 的空间直角坐标系中，求： (1)平面BDD,B1的一个法向量； (2)平面BDEF的一个法向量. 随堂检测重反馈 1.若A(0,2,1),B(3,2,-1)在直线1上，则直线1的一个方向向量为 A.（-3,0,-6) B.(9,0,-6) C.(-2,0,2) D.（-2,1,3) 2.若直线1的方向向量a=(1,0,2),平面a的法向量为n=(-2,0,-4),则 ( A.l∥a B.l⊥a C.lCa D.l与斜交 3.若直线l/a,且1的方向向量为(2，m,1),平面a的法向量为[1,2,2，则m等于 4.已知点A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,0,3),则平面ABC的一个法向量为 (写出 一个正确的即可)》 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[7] 第2课时空间中直线、平面的平行 新课程标准解读 学科核心素养 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系， 数学抽象 2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的平行关系. 逻辑推理 教材梳理 明要点 ●情境导入 天安门城楼上的柱子都是相互平行的，把它 [提示] 们看作一条条竖直的直线，那么它们所在直 两直线平行，它们的 线的方向向量有什么关系？二层地板所在平 方向向量平行；两平 面平行，它们的法向 面与一楼地面所在平面是相互平行的，它们 量平行 的法向量有什么关系？ [提示]解得6=子，所以点Q的坐标为（行，40）】 因为励=a成，所以(-1，-1,0)=A(行40）， 所以子=-1，故A=-4 例3：【解析】(1)如图，建立空间直角坐标系。 ∠ADC=∠DAB=90°，AB=4,CD= 1,AD=2, ∴A(2,0,0),C(0,1,0),B(2,4,0). 由PD⊥平面ABCD,得∠PAD为PA与 平面ABCD所成的角， .∠PAD=60 在Rt△PAD中，由AD=2,得PD=25. .P(0,0,23) .BP=√(0-2)2+(0-4)2+(25-0)2=42. (2)由(1)得，P=(2,0,-25),BC=(-2,-3,0), .cos(PAn)=-pA.B IPi·BC _2x(-2)+0×(-3)+(-25)×0-- 4×√13 13 异面直线PA与BC所成角的余弦值为 13 跟踪训练3：【解析】(1)设侧棱长为b,则A(0,-1,0), B(5,0,b),B(3,0,0),C1(0,1,b), 所以AB=(5,1,b),BC=(-√5,1，b). 因为AB,⊥BC1, 所以AB.BC=(5,1,b)·(-5,1,b) =-(5)2+12+62=0, 解得b=2.故侧棱长为2 (2)由(1)知AE=(5,1,2),BC=(-√5,1,0)， 因为1AB1=√(3)2+12+(2)2=6， 1BC=√(-3)2+12+02=2， AB.BC=(5,1,2)·(-5,1,0) =-(5)2+1×1+2×0=-2, 所以1ms(8,心1=·d-1-2.6 IAB1IBC16×26 所以异面直线AB,与BC所成角的余弦值为 6 随堂检测重反馈 1.D4a+2b=4(3,-2,1)+2(-2,4,0)=(12,-8,4)+ （-4,8,0)=(8,0,4). 2.B设b=(x,y,z),各选项给出的向量的模都是2，且1al= E.则ab=8流-片=方即x-:1,结合选项知 B项满足 3B由题设导名么，号故石之放选R 4.(-2,-1,4)2TAB=(-2,-1,4),1AB1= (-2)2+(-1)2+42=√21. 20 1.4空间向量的应用 1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系 第1课时空间中，点、直线和平面的向量表示 教材梳理明要点 新知初探 知识点一 OP OP 0A+ia 0A+AB OA+xAB+yAC 知识点二 法向量 预习自测 1.AAB=(2,4,6)=2(1,2,3).故选A. 2.B(-1,1,-1)·(1,2,1)=-1+2-1=0,(-1,1,-1) ·(-1,1,2)=1+1-2=0,.向量(-1,1，-1)是此平面的 法向量。 题型探究提技能 例1：(1)(0,0,1)(0,1,1)（答案不唯一）(2)A(1)因为 DD1∥AA1,AA1=(0,0,1),故直线DD1的一个方向向量为(0， 0,1);因为BC1∥AD,AD=(0,1,1),故直线BC1的一个方 向向量为(0,1,1). (2)A(0,y,3),B(-1,2,z),.AB=（-1,2-y,2-3),直 线1的一个方向向量为m=(2,-1,3),故设A正=m. 1 k=-2' -1=2k. 3 2-y=-k,解得y=2,·y-z=0. z-3=3k 3 z2 跟踪训练1：ABM=(1,1,3),M,N在直线I上，.向量(1， 1,3),(2,2,6)都可作为直线1的方向向量 例2：【解析】D(1,0,0),C(2,2,0),S(0,0,2), .D元=(1,2,0)，D=(-1,0,2), 设平面SCD的法向量为n=(x,y,z), 则n元=+2=0， 令x=1, n·D5=-x+2z=0, 解得y=方=方n=(山，分） 1 1 即平面S0D的一个法向量为n=(1,-之，分） .x轴⊥平面SAB .m=(1,0,0)即为平面SAB的一个法向量 注意：答案不唯一（所有与上述，共线的非零向量均可作 为相应平面的法向量) 跟踪训练2：【解析】设正方体ABCD-AB,C,D1的棱长为2， 则D(0,0,0),B(2,2,0),D1(0,0,2),E(1,0,2), (1)设平面BDDB,的法向量为n=(1,少1a), D2=(2,2,0),DD=(0,0,2), ,n=0,即2x+2=0, 则 DD·n=0,l2z1=0, 令x1=1,则y=-1,1=0, 3 .平面BDDB,的一个法向量为n=(1,-1,0).(答案不唯 一) (2)D=(2,2,0),D2=(1,0,2), 设平面BDEF的法向量为m=(x2,2,). rD2·m=0,m2x2+2y2=0, 即 Di.m=0,lx2+2a2=0, 令x3=2,则2=-2,3=-1， ∴.平面BDEF的一个法向量为=(2，-2，-1).（答案不唯 随堂检测重反馈 1BA店=(3,0，-2)=了(9.0，-6)，故选B 2.B由题知n=-2a,故直线lL,故选B. 3.-8l/a,平面a的法向量为(1,2,2）(2，m,1) (1,3,2）=0,即2+2m+2=0,m=-8 4.(6,3,2)(答案不唯一)由已知可得AB=(0,2,0)-(1,0, 0)=（-1,2,0),AC=(0,0,3)-(1,0,0)=(-1,0,3).设平 面ABC的法向量为n=(x,y,z),则n·AB=(x,y,z)·(-1, 2,0)=-x+2y=0,n·A⑦=(x,y,z)·（-1,0,3）=-x+3z =0.不妨令x=6,则y=3,z=2.因此，可取n=(6,3,2)为平 面ABC的一个法向量： 第2课时空间中直线、平面的平行 教材梳理明要点 新知初探 知识点 3入eRu⊥nu·nn1∥n2 预习自测 1D因为4=(1,23)，4=(-，-1，-3）所以4， -242,即41∥42，所以1∥儿2或l1与l2重合 2.D=(-1,2,1),b=(-2,-2,2),则a·b=2-4+2=0, 故a⊥b,故直线l与平面a的位置关系是l∥a或lCa. 3.a∥Bm=(1,2,2),n2=(3,6,6),m=3%心m1m, ∴.a∥B 题型探究提技能 例1：【证明】证法一：如图所示，建 立空间直角坐标系，根据题意得 M(3.0,号)N0,22),R(3,2。 0s04号) 所以=（-3,2，号)，尽=（-3,2，号) 所以M=感，所以M∥， 又M,R感分别为MN,RS的方向向量，M生RS, 所以MN∥RS. 证法二：设AB=a,AD=b,AA=c, 则派-ME+B,石+4=子c-a+2b, 感-C+Ci+函=2b-a+c 所以M=R感，所以M∥感 又REMN,所以MN∥RS. 跟踪训练1：【证明】证法一：由题意知，直线DA,DC,DP两两 垂直.以D为坐标原点，DA,DC,DP所在直线分别为x轴、y 轴2轴建立空间直角坐标系（图略）， 则D0.0,0,A1,0.0),P(00,0,N(0,24）( 小 所以萨=(-1,0，)，=(-子0，） 所以示-应，又MEAD,故MN∥AD 证法二：由题意可得=M心+D成=4B励+)D =励+分x2(成+脑=励+元+成 =成+耐子（而+耐）=护， 又MAP,所以MN∥AP. 例2：【证明】如图所示，建立空间直角 坐标系，D是坐标原点，设PD=DC =a. 连接AC,交BD于点G, 连接EG, 依题意得D(0,0,0),A(a,0,0), P00,a),E(0,,）,Ba,a,0). 证法一：设平面BDE的法向量为n=(x,y,z), 又成=(0，受号)脑=(a,号分） rn·D2=0, 2(y+)=0, 则有m成=0 即 即∫+2=0， (+-)=0 2x+y-z=0. 令z=1,则厂x= 所以n=(1,-1,1),又P=(a,0,-a), ly=-1, 所以n·pA=(1,-1,1)·(a,0,-a)=a-a=0. 所以n1PA. 又PA￠平面EDB,所以PA∥平面EDB. 证法二：因为四边形ABCD是正方形， 所以G是此正方形的中心， 故点6的坐标为（分号.0）所以6=（号0，-号）月 又p=(a,0,-a), 所以Pi=2E元，则PA∥EG 而EGC平面EDB,且PAI平面EDB, 所以PA∥平面EDB. 证法三：假设存在实数A,M使得P=AD呢+uE正， 即(a0,-a)=A(0,号号）+u(a,号，-受）