1.4.2 第1课时用空问向量研究距离问题-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（人教A版）

033 随堂检测重反馈 1.若直线1，l2的方向向量分别为a=(1,2,-2),b=（-2,3,2),则 A.1∥12 B.11⊥l2 C.1,12相交但不垂直 D.不能确定 2.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1)三点，n=(1,1,1),则以n为方向向量的直线与平面ABC 的位置关系是 () A.垂直 B.不垂直 C.平行 D.以上都有可能 3.已知平面α与平面B垂直，若平面与平面B的法向量分别为u=（-1,0,5),y=(t,5,1),则t 的值为 4.如图所示，在正方体ABCD-AB,C,D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是 棱D,D上一点N是4A的中点则当兴 时，ON⊥AM. 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[9] 1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题 第1课时用空间向量研究距离问题 新课程标准解读 学科核心素养 1.理解点线距、点面距、线线距、线面距、面面距的概念与向量表示。 数学抽象、直观想象 2.会利用向量解决立体几何中的距离问题 直观想象、数学运算 教材梳理 明要点 ●情境导入 立体几何中的距离问题包括点到直线、点到平面、互相平行的直线、互相 [提示] 可借助向量的模，投 平行的平面间的距离问题等.如何用向量的方法解决这些距离问题呢？ 影向量的模来解决距 >[提示] 离问题. 台新知初探 [知识点反思] 知识点空间距离的向量求法 互相平行的直线间距 分类 向量求法 离可以转化为其中一 条直线上任一点到另 设直线1的单位方向向量为u,A∈1， 点线距 一条直线的距离；互 Pl,设AP=a,则点P到直线l的距离d= 相平行的直线和平面 间的距离、互相平行 已知平面的法向量为n,A∈，P使，则点P到平面a的距离 的平面间的距离都可 点面距 d 转化为直线或平面上 任一点到另一个平面 >[知识点反思] 的距离. 034 目预习自测 1.直线1的方向向量为m=(1,0,-1),且1过点A(1,1,1),则点P(-1,2,1)到1的距离为() A.√2 B.3 C.√6 D.22 2.已知平面的一个法向量n=(-2,-2,1),点A(-1,3,0)在平面α内，则点P(-2,1,4)到x 的距离为 () A.10 B.3 c D10 题型探究 提技能 题型一求点到直线的距离 例1已知在棱长为2的正方体ABCD-AB,CD,中，E,F分别是GC,D,A [方法总结1] 的中点，求点A到EF的距离 P[方法总结1] 用向量法求点到直线 的距离的一般步骤 (1)建立空间直角坐 标系。 (2)求直线的单位方 向向量u. (3)计算所求点与直 线上某一点所构成的 向量a. (4)利用公式d= √a2-(a·u)2计算 点到直线的距离。 〉跟踪训练1 已知直三棱柱ABC-AB,C1中，A41=1,AB=4,BC=3, ∠ABC=90°，求点B到直线A,C1的距离. ●035 题型二点到平面的距离 例2在三楼维S-48C中，△BC是边长为4的正三角 [方法总结2] 形，平面SAC⊥平面ABC,SA=SC=23,M,N分别 用向量法求点到平面 为AB,SB的中点，如图所示.求点B到平面CMN的 的距离的一般步骤 距离。 (1)建立空间直角坐 >[方法总结2] 标系. (2)求出该平面的一 个法问量 (3)找出该点与平面 内一点连线形成的斜 线段对应的向量. (4)法向量与斜线段 对应向量的数量积的 绝对值再除以法向量 的模，即为点到平面 的距离. )》跟踪训练2 如图，在正方体ABCD-AB,C,D,中，棱长为2，E为BB1 的中点，求点D到平面ADE的距离. D 036 题型三直线、平面到平面的距离 例3已知正方体ABCD-ABGD,的棱长为2，B,M,N分别为AB,AD, [方法总结3] CC,的中点，求AC与平面EMN之间的距离. [方法总结3] 用向量方法研究线、 面距离问题的一般 思路： (1)将所求线面、面 面距离转化为点 面距. (2)确定平面外一点 与平面内一点对应的 向量与平面的法 问量 )跟踪训练3 (3)代入公式求解 如图，正方体ABCD-AB,C,D1的棱长为1，求平面A1BD D 与平面B,CD,间的距离. 随堂检测重反馈 1.在空间直角坐标系Oyz中，平面OAB的法向量n=(2,-2,1),0为坐标原点，已知P(-1,-3, 8),则P到平面OAB的距离等于 () A.4 B.2 C.3 D.1 2.两平行平面，B分别经过坐标原点0和点A(2,1,1),且两平面的一个法向量n=(-1,0,1),则 两平面间的距离是 B C.3 D.32 2 3已知直线1经过点42,3，，且向量m=停.0，号为1的一个单位方向向量，则点P4,32)到 1的距离为 4.已知正四棱柱ABCD-A,B,C,D,的底面边长为2，侧棱长为4，E为CD,的中点，则点A到平面 BDE的距离为 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[10]因为m1·n2=(0,1,-2)·(0,2,1)=0, 所以n1⊥n2, 所以平面AED⊥平面A,FD,: 跟踪训练3：【证明】由题意知直线AB,BC, B,B两两垂直，以，点B为坐标原点， 分别以BA,BC,BB,所在直线为x轴y轴、z C 轴建立如图所示的空间直角坐标系， B 则A(2,0,0),A1(2,0,1),C(0,2,0), c0,20,(0.0,7） 故AA=(0,0,1),A亡=(-2,2,0)，AC=(-2,2,1),A2= (-2.0,2） 设平面AM1C,C的法向量为n1=(x,y,z), 则了-0常0 m1·A元=0,1-2x+2y=0, 令x=1,得y=1,故n1=(1,1,0) 设平面AEC,的法向量为2=(a,b,c), 风∫22·AC=0,r-2a+26+c=0 即 1 lm·Ai=0,1-2a+2c=0, 令c=4,得a=1,b=-1.故m=(1,-1,4). 因为n1·n2=1×1+1×(-1)+0×4=0, 所以n1⊥n2·所以平面AEC⊥平面AA,C,C. 随堂检测重反馈 1.Ba·b=1×(-2)+2×3+(-2)×2=0,∴.a⊥b, ∴.l1⊥l2: 2.A由题意，AB=(-1,1,0),B元=(0，-1,1)，又n·A店=0 n·BC=0,所以以n为方向向量的直线与平面ABC垂直. 3.5平面a与平面B垂直，∴.平面a的法向量u与平面B的 法向量v互相垂直，u·v=0,即-1·t+0×5+5×1=0,解 得t=5. 47以4为原点，分别以，心，所在直线为x,y轴，建 立空间直角坐标系（图略），设正方体的棱长为1，则A(0,0, 0),0(分，号0）N(分.0,1小设M0.1,)(0≤a≤1)则 i.=(0,1a)·(0,-7,1）=-+a=0a=2 当-方时.0N与垂直所以oN1A 1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题 第1课时用空间向量研究距离问题 教材梳理明要点 新知初探 知识点 a-(a·u)2 IAP.nl Inl 预习自测 1.B依题意，因为直线1的方向向量为m=(1,0,-1),所以取 直线的个单位方向向量为红=册=（受.0，一号），由 2 A(1,1,1),P(-1,2,1)可得P=(2,-1,0),所以1P1= 公+(-+0=5，μ=(2，-1,0)·（号0， 号)=万，所以4=-(P=5-2=月故 选B. 2Da的-个法向量为n=(-2,-21)=分= (-号-号号）又点4(-1,3.0)在@内亦=(-1山， -2,4),.点P到平面a的距离为1A·n。1= (-1,-24(子号)川号 题型探究提技能 例1：【解析】以D点为原点，DA,DC,DD1所在直线分别为x 轴y轴、z轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则A(2,0,0), E(0,2,1),F(1,0,2), 则E=(1,-2,1),F=(1,0,-2) 取a=F=(1,0,-2), ==6(1,-2,1)=0 u= 6 -66 3’6 则r=5,a…w=- 6 所以点A到EF的距离为√a-(a·u)了= 5-6 74 6 跟踪训练1：【解析】以B为坐标原点，建立如图所示的空间直 角坐标系， 则A(4,0,1),C(0,3,1), 所以直线A1C1的方向向量A1C=(-4,3,0), BC=(0,3,1), 所以点B到直线A1C,的距离 d IA C 例2：【解析】取AC的中点O,连接OS,OB. 因为SA=SC,AB=BC, 所以AC⊥S0,AC⊥BO. 因为平面SAC⊥平面ABC,平面SAC∩平面ABC=AC, 所以SO⊥平面ABC. 又BOC平面ABC,所以SO⊥BO. 又因为△ABC为正三角形，O为AC的中点，所以A0LBO. 如图所示，分别以OA,OB,OS所在 直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直 角坐标系0xz, 则B(0,25,0),C(-2,0,0), S(0,0,22),M(1,√5,0)， N(0,3,2) 所以Ci=(3,3,0),M=(-1,0,2), Mi=(-1,5,0). 设n=(x,y,z)为平面CMW的一个法向量， C成n=3x+5y=0,取z=1, 则 M.n=-x+2z=0, 则x=2,y=-6,所以n=(2,-6,1) 所以点B到平面CMN的距离d=ln:应_42 3 跟踪训练2：【解析】以点A为坐标原点，AD,AB,AA1所在直线 分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Axyz, 则A(0,0,0),D(2,0,0),D(2,0,2),E(0,2,1), AD=(2,0,2),AE=(0,2,1),AD= (2,0,0) 设平面AD,E的法向量为n=(x,y, z), 则·孤=2+2：=0. n·A2=2y+z=0, 令y=1,得n=(2,1,-2), 点D到平面ADE的距离 d=ln·ADi 2×2 √22+12+(-2)2 3 所以点D到平百A0E的距离为号 例3：【解析】以D为原点，以DA,DC,DD1所在直线为x轴y 轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系。 则M(1,0,0),E(2,1,2),N(0,2,1), A(2,0,0),C(0,2,0), D 所以M证=(1,1,2)，M=(-1,2,1), A元=(-2,2,0). AD 设平面EMN的一个法向量为n=(x, Y,2), 则m·正=+y+2a=0. n·M=-x+2y+z=0, 令z=1,则得n=（-1,-1,1). 因为Ad·n=(-2)×(-1)+2×(-1)+0×1=0, 所以A元⊥n, 又因为点A显然不在平面EMN内， 所以AC与平面EMN平行. 又因为成=（1,0,0)，所以1n, Inl 1(-1)×1+(-1)×0+1×01-3 √(-1)2+(-1)2+17 -3 因此点A到平面EMV的距离为，这也是AC与平面E奶 之间的距离。 跟踪训练3：【解析】以点D为坐标原点建立如图所示的空间 直角坐标系， 则D(0,0,0),41(1,0,1),B(1,1,0),D1(0,0,1), A1B=(0,1,-1),A1D=（-1,0, -1),AD1=(-1,0,0). 设平面ABD的法向量为n=(x,y,z), fn·AB=0,y-z=0, n·Ai=01-x-z=0. 令z=1,得y=1,x=-1, 所以n=(-1,1,1), 所以点D,到平面A1BD的距离d= 1AD·nl15 53 易证平面A,BD∥平面B,CD, 所以平面ABD与平面B,CD间的距离等于点D,到平面 ABD的距离， 所以平面ABD与平面B,CD,间的距离为 3 随堂检测重反馈 1.A平面OAB的一个法向量为n=(2,-2,1),已知点P(-1, -3,8),则点P到平面0AB的距离d=1n,应。 1-2+6+81 =4.故选A. √22+(-2)2+12 2.B两平行平面α，B分别经过坐标原点0和点A(2,1,1), 0A=(2,1,1),且两平面的一个法向量n=(-1,0,1),∴.两 平面间的距离d=1n,0-1-2+0+1山- 2 3号因为n=(-2.0,-1),n=(停.0，号）为1的-个单 2 位方向向量，.点P到1的距离d=√1P412-(PA·n)2= 如图，以D为原点，DA,DC,DD D 所在直线分别为x,y,z轴建立空间直 角坐标系，则D(0,0,0),A(2,0,4), B(2,2,0),E(0,1,2),所以DA1=(2, 0,4),Di=(2,2,0),D2=(0,1,2),设 平面BDE的法向量为n=(x,y,z),则 rn·D=2x+2y=0, 令y=-1,则x n·DE=y+2z=0, =1,2=7,即n=(1,-1,),则点4到平面BDE的距离 DA·nl 4 d=- 1 √1+1+4 第2课时用空间向量研究夹角问题 教材梳理明要点 新知初探 知识点 Icos<u,v>I Icos<u,n>I Icos<n,n>I 预习自测 .Bcs5)--2)x1点-2X1=-分 3×25 …山，山2夹角的余弦值为了 8