1.4.1 第2课时空间中直线、平面的平行-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（人教A版）

026 》跟踪训练2 在正方体ABCD-A,BC,D1中，E,F分别为棱AD,AB1的中点，在如图所示 的空间直角坐标系中，求： (1)平面BDD,B1的一个法向量； (2)平面BDEF的一个法向量. 随堂检测重反馈 1.若A(0,2,1),B(3,2,-1)在直线1上，则直线1的一个方向向量为 A.（-3,0,-6) B.(9,0,-6) C.(-2,0,2) D.（-2,1,3) 2.若直线1的方向向量a=(1,0,2),平面a的法向量为n=(-2,0,-4),则 ( A.l∥a B.l⊥a C.lCa D.l与斜交 3.若直线l/a,且1的方向向量为(2，m,1),平面a的法向量为[1,2,2，则m等于 4.已知点A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,0,3),则平面ABC的一个法向量为 (写出 一个正确的即可)》 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[7] 第2课时空间中直线、平面的平行 新课程标准解读 学科核心素养 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系， 数学抽象 2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的平行关系. 逻辑推理 教材梳理 明要点 ●情境导入 天安门城楼上的柱子都是相互平行的，把它 [提示] 们看作一条条竖直的直线，那么它们所在直 两直线平行，它们的 线的方向向量有什么关系？二层地板所在平 方向向量平行；两平 面平行，它们的法向 面与一楼地面所在平面是相互平行的，它们 量平行 的法向量有什么关系？ [提示] 027 台新知初探 知识点空间中平行关系的向量表示 设两条不重合的直线1，l2的方向向量分别为41=(a1,b1, [知识点反思] 线线平行 C）,2=（a2,b2,C2）,则1∥L2台u1∥w2曰 ,使得 用向量方法证明线线 儿1=入u2: 平行时，必须说明两 直线不重合；证明线 设l的方向向量为u=(a1,b1,c),a的法向量为n=(a2,b2, 面平行时，必须说明 线面平行 c2),l4a,则l∥a台 =0 直线不在平面内；证 明面面平行时，必须 设a,B的法向量分别为n1=(a1,b1,c1),n2=(a2,b2,c2),则 说明两个平面不重 面面平行 合 a∥B台 台3入eR,使得n1=入n2 ●[知识点反思] 自预习自测 1若直线4的方向向量分别为“=(1,2,3)，4=[-7，-1，-)，则4,6的位置关系是 () A.垂直 B.重合 C.平行 D.平行或重合 2.已知直线1的方向向量a=(-1,2,1),平面的法向量b=(-2,-2,2),则直线1与平面x的位 置关系是 A.l∥a B.l⊥a C.ICa D.以上选项都不对 3.已知两个不同的平面a&,B的法向量分别是n1=(1,2,2)和2=(3,6,6)，则平面a,B的位置关系 是 题型探究提技能 题型一直线与直线平行 例1在长方体ABCD-AB,CD中，AB=3,4D=4,M=2,点M在棱B, [方法总结1] 上，且BM=2MB1,点S在DD1上，且SD1=2SD,点N,R分别为AD1, 向量法证明直线平行 的两种思路： BC的中点.求证：MW∥RS. P[方法总结1] (1)(坐标法)建立空 间直角坐标系，通过 坐标运算，利用向量 平行的坐标表示 (2)(基向量法)用基 向量表示出要证明的 两条直线的方向向 量，通过向量的线性 运算，利用向量共线 的充要条件证明」 028 》跟踪训练1 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD ⊥平面ABCD,E为CP的中点，N为DE的中点，DM= 4DB,DA=DP=1,CD=2.求证：MN/AP [方法总结2] 利用空间向量证明线 面平行一般有三种 方法： (1)证明直线的方向 向量与平面内任意两 题型二直线和平面平行 个不共线的向量共 例2在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面 面，即可用平面内的 ABCD,PD=DC,E是PC的中点.证明：PA∥平面EDB. 一组基底表示 (2)证明直线的方向 ●[方法总结2] 向量与平面内某一向 量共线，转化为线线 平行，利用线面平行 判定定理得证， (3)先求平面的法向 量，证明直线的方向 向量与平面的法向量 垂直. 注意：以上三种方法 都需要点明：直线在 平面外. 》跟踪训练2 如图，在正三棱柱ABC-AB,C,中，D是AC的中点，求证： AB1∥平面DBC· ●029 题型三平面与平面平行 例3如图，已知正方体ABCD-ABCD,求证：平面 D' AB'D'∥平面BDC' [方法总结3] 利用空间向量证明两 个平面平行的方法 (1)证明两平面的法 向量平行 ●[方法总结3] (2)将面面平行转化 为线线平行然后用向 量共线进行证明。 〉》跟踪训练3 如图所示，在正方体ABCD-ABC1D1中，E,F,G,H,M,N 分别是正方体六个表面的中心，证明：平面EFG∥平 A 面HMN. 随堂检测重反馈 1.若直线11和12的方向向量分别是4=(1，-1,2)，b=（-2,2,-4),则 A.11∥12 B.1与l2相交 C.1与l2重合 D.11∥12或11与l2重合 2.（多选)若直线l的方向向量为a,平面x的法向量为n,能使l∥α的是 A.a=(1,0,0),n=(0,-2,0) B.a=(1,3,5),n=(1,0,1) C.a=(0,2,1),n=(-1,0,-1) D.a=(1,-1,3),n=(0,3,1) 3.设不重合的平面，B的一个法向量分别为u=(1,2,-2),y=(-3,-6,6),则a,B的位置关系 为 4.已知直线1∥平面ABC,且1的一个方向向量为a=(2,m,1),A(0,0,1),B(1,0,0),C(0,1,0),则 实数m的值是 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[8].平面BDDB,的一个法向量为n=(1,-1,0).(答案不唯 一) (2)D=(2,2,0),D2=(1,0,2), 设平面BDEF的法向量为m=(x2,2,). rD2·m=0,m2x2+2y2=0, 即 Di.m=0,lx2+2a2=0, 令x3=2,则2=-2,3=-1， ∴.平面BDEF的一个法向量为=(2，-2，-1).（答案不唯 随堂检测重反馈 1BA店=(3,0，-2)=了(9.0，-6)，故选B 2.B由题知n=-2a,故直线lL,故选B. 3.-8l/a,平面a的法向量为(1,2,2）(2，m,1) (1,3,2）=0,即2+2m+2=0,m=-8 4.(6,3,2)(答案不唯一)由已知可得AB=(0,2,0)-(1,0, 0)=（-1,2,0),AC=(0,0,3)-(1,0,0)=(-1,0,3).设平 面ABC的法向量为n=(x,y,z),则n·AB=(x,y,z)·(-1, 2,0)=-x+2y=0,n·A⑦=(x,y,z)·（-1,0,3）=-x+3z =0.不妨令x=6,则y=3,z=2.因此，可取n=(6,3,2)为平 面ABC的一个法向量： 第2课时空间中直线、平面的平行 教材梳理明要点 新知初探 知识点 3入eRu⊥nu·nn1∥n2 预习自测 1D因为4=(1,23)，4=(-，-1，-3）所以4， -242,即41∥42，所以1∥儿2或l1与l2重合 2.D=(-1,2,1),b=(-2,-2,2),则a·b=2-4+2=0, 故a⊥b,故直线l与平面a的位置关系是l∥a或lCa. 3.a∥Bm=(1,2,2),n2=(3,6,6),m=3%心m1m, ∴.a∥B 题型探究提技能 例1：【证明】证法一：如图所示，建 立空间直角坐标系，根据题意得 M(3.0,号)N0,22),R(3,2。 0s04号) 所以=（-3,2，号)，尽=（-3,2，号) 所以M=感，所以M∥， 又M,R感分别为MN,RS的方向向量，M生RS, 所以MN∥RS. 证法二：设AB=a,AD=b,AA=c, 则派-ME+B,石+4=子c-a+2b, 感-C+Ci+函=2b-a+c 所以M=R感，所以M∥感 又REMN,所以MN∥RS. 跟踪训练1：【证明】证法一：由题意知，直线DA,DC,DP两两 垂直.以D为坐标原点，DA,DC,DP所在直线分别为x轴、y 轴2轴建立空间直角坐标系（图略）， 则D0.0,0,A1,0.0),P(00,0,N(0,24）( 小 所以萨=(-1,0，)，=(-子0，） 所以示-应，又MEAD,故MN∥AD 证法二：由题意可得=M心+D成=4B励+)D =励+分x2(成+脑=励+元+成 =成+耐子（而+耐）=护， 又MAP,所以MN∥AP. 例2：【证明】如图所示，建立空间直角 坐标系，D是坐标原点，设PD=DC =a. 连接AC,交BD于点G, 连接EG, 依题意得D(0,0,0),A(a,0,0), P00,a),E(0,,）,Ba,a,0). 证法一：设平面BDE的法向量为n=(x,y,z), 又成=(0，受号)脑=(a,号分） rn·D2=0, 2(y+)=0, 则有m成=0 即 即∫+2=0， (+-)=0 2x+y-z=0. 令z=1,则厂x= 所以n=(1,-1,1),又P=(a,0,-a), ly=-1, 所以n·pA=(1,-1,1)·(a,0,-a)=a-a=0. 所以n1PA. 又PA￠平面EDB,所以PA∥平面EDB. 证法二：因为四边形ABCD是正方形， 所以G是此正方形的中心， 故点6的坐标为（分号.0）所以6=（号0，-号）月 又p=(a,0,-a), 所以Pi=2E元，则PA∥EG 而EGC平面EDB,且PAI平面EDB, 所以PA∥平面EDB. 证法三：假设存在实数A,M使得P=AD呢+uE正， 即(a0,-a)=A(0,号号）+u(a,号，-受） (a=ua, 则有0=A·受+受解得山 -a=X·号-u 4=1. a 所以Pi=-D正+E或，所以P,D正，E成共面 又PA丈平面EDB, 所以PA∥平面EDB 跟踪训练2：【证明】如图以A为坐标原点建立空间直角坐标 系.设正三棱柱的底面边长为a(a>0),侧棱长为b(b>0), 则40,0)，（停号0： 8(停号6）c(0,a6).D0, A, 瓜=（受6）励=(-， 0,0） DC=(0,号，b）月 设平面DBC,的法向量为n=(x,y,z), 成=0. rx=0, 则 n…DC=2y+e=0,=-2方 不妨令y=2b,则n=(0,2b,-a). 由于AB,·n=ab-ab=0,因此AB⊥n. 又AB,￠平面DBC1,∴.AB,∥平面DBC 例：【证明】证法一：设该正方体的棱长为1，以D为原点建立 如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0),B'(1,1,1), D'(0,0,1),B(1,1,0),D(0,0,0),C'(0,1,1), 于是AB=(0,1,1),DB=(1,1,0) D=(1,1,0),DC=(0,1,1). 设平面ABD'的法向量为n1=(x1,y1, 31), 则·孤=+0， n1·D'B2=x+y1=0. 令y1=1,则x1=-1,a1=-1,可得n1= (-1,1,-1). 设平面BDC的法向量为n2=(2,2,2), 则·i=6+5=0, n2·DC=2+a2=0. 令y2=1,则x2=-1,2=-1,可得n2=(-1,1,-1) 所以n1=n2,所以n1∥n2 故平面AB'D'∥平面BDC 证法二：由证法一知AD=(-1,0,1),BC=(-1,0,1),AB =(0,1,1),DC=(0,1,1), 所以AD=BC,AB=DC 即AD'∥BC',AB∥DC',又AD'I平面BDC',AB'丈平 面BDC', 所以AD'∥平面BDC',AB'∥平面BDC' 又AD'∩AB'=A,且AD'C平面AB'D',AB'C平面AB'D', 所以平面AB'D'∥平面BDC. 证法三：由证法一得平面AB'D'的一个法向量为n1=(-1,1, -1). 易知D2=(1,1,0),DC=(0,1,1). 因为n1·DB=(-1,1,-1)·(1,1,0)=0, n1·DC=(-1,1,-1)·(0,1,1)=0, 所以n1也是平面BDC的一个法向量，所以平面AB'D'∥平 面BDC' 跟踪训练3：【证明】如图所示，建立空间直角坐标系，不妨设 正方体的棱长为2，则E(1,1,0),F(1,0,1),G(2,1,1),H(1, 1,2),M(1,2,1),N(0,1,1) .E=(0,-1,1),EC=(1,0,1),= D (0,1,-1),=(-1,0,-1) A 设m=(x1,少1,1)，n=（为，y2,2)分别 B 是平面EFG和平面HMW的法向量， 由m=0得1+0， m·E元=0lx1+a=0, 令x=1,得m=(1,-1,-1) 0 令x2=1,得n=(1,-1,-1), 于是有m=n,所以m∥n. 又平面EFG与平面HMN无公共点， 故平面EFG∥平面HMN 随堂检测重反馈 1.Db=-2a,∴.41与2平行或重合 2.AD若l∥a,则a·n=0.而A中a·n=0,B中a·n=1+5 =6,C中a·n=-1,D中a·n=-3+3=0. 3.平行v=-3(1,2,-2)=-3u,∴.∥B. 4.-3l∥平面ABC,.存在实数x,y,使a=xAB+yAC,又 AB=(1,0,-1),AC=(0,1,-1),.(2,m,1)=x(1,0,-1) 2=x, +y(0,1,-1)=(x,y,-x-y),.{m=y, ∴.m=-3. L1=-x-y, 第3课时空间中直线、平面的垂直 教材梳理明要点 新知初探 知识点 u1⊥u2u∥nn1⊥n2 预习自测 1.B因为m·n=2×1+(-1)×1+(-1)×1=0,所以m⊥ n,所以L1⊥2. 2.Da=(2,-4,7),n=（-2,4,-7),∴.a=-n,则a∥n, 所以l⊥a. 3.C因为(1,2,3)·(3,0，-1)=1×3+2×0+3×(-1)=0， 所以平面⊥平面B. 题型探究提技能 例1：【证明】因为CC1⊥平面ABC,平面ABC∥平面AB,C, 所以CC1上平面AB,C, 因为C1A1,C1B,C平面AB,C1,