第2章 直线和圆的方程章末复习与总结-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（人教A版）

081 章末复习与总结 知识体系构建 直线的倾斜角 范围0°≤a<180 直线的倾斜角、斜率 定义a≠90°时，k=tana 直线的斜李 公式兰= 相交 两直线垂直的条件 两条直线的位置关系 平行 两直线平行的条件 线与方 重合 点斜式 斜截式 适用条 程 直线的方程 两点式 截距式 件及相 一般式 互转化 直线和国的方 两条直线的交点坐标 两点间的距离公式 交点坐标与距离公式 点到直线的距离公式 两条平行直线间的距离公式 直线与圆相离 直线与圆的位置 圆的标准方程 关系 直线与圆相交 圆的方程 直线与圆相切 坐标 圆与圆外离或内含 圆与圆的位置 圆的一般方程 圆与圆相交 关系 圆与圆外切或内切 核心考点培优 考点一 常见的对称问题 [方法总结1] 例1已知直线1y=3x+3,求： 四种对称问题的解法 (1)点关于点对称：点 (1)点P(4,5)关于直线1的对称点坐标； 关于点的对称问题是 (2)直线y=x-2关于直线1对称的直线的方程； 最基本的对称问题， 用中点坐标公式求 (3)直线1关于点A(3,2)对称的直线的方程 >[方法总结1] 解.点M(a,b)关于点 (x0,0)的对称点为 M'(2x-a,2yo-b). (2)直线关于点对称： 在已知直线上取两 点，利用中点坐标公 式求出它们关于已知 点对称的两点坐标， 再用两点式求出直线 方程或者求出一个 对称点，再利用直线 平行，由点斜式得所 求直线方程. 082 考点二 光的反射问题 (3)点关于直线对称： 例2一条光线从点A(-2,3)射出，经x轴反射后，与圆C:(x-3)+()- 点(x1,y)关于直线： Ax+By+C=0对称的 2)2=1相切，求反射后光线所在直线的方程. ●[方法总结2] 对称点(2,2)可由 {80 A.高5+B2+C=0 2 2 得出. (4)直线关于直线对 称：直线L1:Ax+B1y +C=0关于直线l: Ax+By+C=0对称的 直线2的方程的求 法：转化为点关于直 线对称，在直线1上 任取两点P和P2,求 出P,P2关于1的对 称点，再用两点式求 出直线2的方程 [方法总结2] 入射光线与反射光线 所在直线关于“镜 子”所在直线对称.反 考点三与圆有关的最值问题 射光线和已知圆相 切，入射光线就和已 例3已知点P(x,)在圆C:+y-6x-6y+4=0上. 知圆关于“镜子”的 对称圆相切 (1)求Y的最大值和最小值； [方法总结3] 特定代数式的最值， (2)求x2+y2+2x+3的最大与最小值； 可考忘运用数形结合 (3)求x+y的最大值与最小值， [方法总结3] 思想，将代数式赋予 一定的几何意义，结 合平面几何的性质求 解.具体如下： (1)形如u=y-b形式 x-a 的最值问题，可转化 为过点(x,y)和(a, b)的动直线的斜奉的 最值问题. (2)形如t=ax+by形 式的最值问题，可转 化为动直线)=一合 +云截距的最值 问题. (3)形如(x-a)2+(y -b)2形式的最值问 题，可转化为动点 (x,y)到定点(a,b) 距离的最值问题， 素养等级测评 请同学们认真完成考案（二）随堂检测重反馈 例2：【解析】作与点A(-2,3)关于x 1.B把圆01和圆02的方程化为标准方程，得圆0：(x-1)2 轴对称的点A'(-2,-3), +y2=1,圆02：x2+(y-2)2=4,则01(1,0)，02(0,2)，11= 由题意，反射光线过点A'且与圆C相 1,2=2,0021=√(1-0)2+(0-2)2=5<m1+r2,又r2- 切，如图，反射光线所在直线的斜率 存在， 11<5,所以两圆相交 设为k,则其方程为y+3=k(x+2), 2.AB圆C1:(x+2)2+(y-m)2=9的圆心为(-2，m),半径 即kx-y+2k-3=0, 4 为3，圆C2:(x-m)2+(y+1)2=4的圆心为(m,-1),半径 圆心为C的圆的半径是1，根据圆心C(3,2)到直线l的距离 为2.依题意有√(-2-m)2+(m+1)=3+2,即m2+3m- 等于半径， 10=0,解得m=2或m=-5. 得3跳-2+2-31=1，解得6=号=子， 4。 3 3.(x-4)2+(y+3)2=16或(x-4)2+(y+3)2=36设圆C /1+k2 的半径为r,圆心距d=√(4-0)2+(-3-0)2=5，当圆C与 圆0外切时，r+1=5,解得r=4;当圆C与圆0内切时，r-1 所以反射光线所在直线的方程为)+3=专(x+2)或y+3 =5,解得r=6,则圆C的方程为(x-4)2+(y+3)2=16或(x -4)2+(y+3)2=36. 子(x+2) 即4x-3y-1=0或3x-4y-6=0. 4.【解析】由x-2+y-1）两 两式相减得方程2x+y例3：【解析】方程2+y-6x-6yr+14=0可化为(x-3)2+ -4=0,所以直线AB的方程为2x+y-4=0.所以0(0,0)到： (y-3)2=4. 直线AB的距离为d=4一=)，所以IAB1、● (1)十表示圆上的点P与原点连线所在直线的斜率，如图(1) √22+12 所示，显然PO(O为坐标原点)与圆相切时，斜率最大或最小. 24-(45了45 5 二5 设切线方程为y=kx(由题意知，斜率一定存在)，即kx-y =0, 章末复习与总结 由圆心C(3,3)到切线的距离等于半径2， 核心考点培优 可得136-3=2，解得k9±2,4 5 例1：【解析】(1)设点P关于直线1的对称点为P(x',y), √+1 则线段PP'的中点M在直线I上，且直线PP'垂直于直线L, 所以之的最大值为9+2年，最小值为9-2四 5 5 -3×4+3, 2 即 解得 x′=-2， (2)由题意得x2+y2+2x+3=(x+1)2+2+2,它表示圆上 -4×3=-1, y'-5 y'=7. 的点P到E(-1,0)的距离的平方再加2， 所以当点P与点E的距离最大或最小时，所求式子取得最大 所以点P'的坐标为(-2,7). 值或最小值， 5 如图(2)所示，显然点E在圆C的外部， (2)解方程组=3x+3,得 2 所以点P与点E距离的最大值为IPEI=ICEI+2, 1Ly=x-2, y=-2 点P与，点E距离的最小值为1P,E1=ICE1-2. 则点（子，号）在所求直线上 又1CE1=√(3+1)2+32=5， 所以x2+y2+2x+3的最大值为(5+2)2+2=51，最小值为(5 在直线y=x-2上取一点M(2,0),设点M关于直线l的对称 -2)2+2=11. 点为M'(,yo),则 (3)设x+y=b,则b表示动直线y=-x+b在y轴上的截距， 17 2+3 「x0=- 如图(3)所示，显然当动直线y=-x+b与圆(x-3)2+(y- 5 解得 3)2=4相切时，b取得最大值或最小值， “2×3=-1, Yo %=5 此时圆心C(3,3)到切线x+y-b=0的距离等于圆的半径2， 所以点W(-号号）色在所求直线上 则3+3-=2 √2+1 9 5 即1b-61=22,解得b=6±2√2， y*2 x+2 由两点式得直线方程为99=1口5， 所以x+y的最大值为6+22， 5+2-5+2 最小值为6-22： 化简得直线方程为7x+y+22=0. (3)在直线1上取两点E(0,3),F(-1,0), 则E,F关于点A(3,2)的对称点为E'(6,1),F'(7,4) 因为点E,F在所求直线上， 所以由两点式得直线方程为日二名，即3x-y-7=0 3 223