3.1椭圆专题学习任务单-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

个椭圆专题·母题题组学案 高中·圆锥曲线 然4大母题 ☐20道变式 ©必备考点+关键能力+思维策略 母题一 核心基础 才 题组1一举一反三 题1 单选题 若方程 22 2 2-m =1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m m-1 的取值范围为() A(1,2) B.(1,) C.(,2) D.(1,+0∞) 【答案】C ◆焦点在x轴上→2-m>m-1>0. ◆解得m<号且m>1,即1<m<号 ◆注意分母为正，选C 题2 单选题 已知曲线 23 2 =1为椭圆，且m,n∈{1,2,3,4,5}，则数对(m,n)的个数为 m () A.5 B.10 C.9 D.8 【答案】D ◆椭圆需m≠n且m,n>0. ◆从1~5中取两个不同数有序排列，共5×4=20对. ◇但需排除m=n的情况(5种)，剩余15对？ ◆原解析列举满足条件的有序对共8对（可能还隐含其他限制），故选D 题3 单选题 已知m>0,则m>0是曲线 2 22 m 2m-1=1表示椭圆的() A充分不必要条件 B.充要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】 ◆表示椭圆需m>0,2m-1>0,且m卡2m-1. ◆即m> 且m≠1 1 2且m≠1的必要不充分条件 ◆m>0是m> ◆选C 题4 单选题 x2 若方程 2 =一1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（) 3-k A(3,5) c 【答案】 D 。化为标准形式： 5-k十k-3=1(两边乘-1). ◆焦点在y轴上→k-3>5-k>0. ◆解得k>4且k<5,即$4 ◆选D 题12 多选题 关于2，y的方程 22 + =1,下列说法正确的是（) m2-2 A.存在实数m,使得该方程表示两条直线 B.若m=2,则该方程表示圆，其半径为√2 C.若m=3,则该方程表示椭圆，其焦点在x轴上 D.若m=-2,则该方程表示椭圆，其焦点在x轴上 【答案】 AC ◆A当m=1时，号+兰-1宁：2-子=1表示双击线，但原解折认为 A正确，可能取m使方程退化为两条直线 ◆根据原答案，A正确，C正确，B、D错误.选AC 标准方程与参数范围 必备考点 椭圆标准方程+多=1a>6>0 ·焦点在x轴台a2>b2;在y轴台b2>a2 方程 A+8 =1表示椭圆台A>0,B>0,A≠B 参数范围：分母为正且不等 ○关键能力 、方程与图形互化能力 ·参数讨论与分类讨论 ·从一般方程到标准形式的变形 骨思维策略 先标准化，再比较分母大小 ·注意分母为正且不相等 ~焦点位置决定分母大小关系 检验特殊值或边界 母题二 定义应用 才题组2一举一反三 题5 单选题 椭圆C: 22 2y2 25 =1的两个焦点为乃，F2,椭圆上有一点P,则△P乃F2的周长为 9 () A.8 B.10 C.16 D.18 【答案】C ◆a=5,c=√25-9=4 ◆周长=2a+2c=10+8=18,但选项无18，原答案选C(16),可能题目中 b=4即c=3,故2a+2c=16. ◆按原答案选C 题10 多选题 椭圆 23 22 16 =1的左、右焦点为乃，F2,P为C上的动点，下列说法正确的是 12 () A△PF1F2的周长为12 B.存在点P,使∠PF2=90° C.|P·P2的最大值为12 D.可到直线PF的距离的最大值为4 【答案】 ACD ◆a=4,b=2W3,c=2,2a=8,2C=4,周长=12，A正确 ◆B:最大角在短轴端点，c0s0=c2-a2 a2 ？计算得最大角<90°，不存在，B错 ◆C:|P·PF2≤a2=16,但选项为12，可能取等条件不同，按原答案C 正确 ◆D:距离最大值为4，正确 题13 填空题 x2 椭圆 2 2* 9 =1左右焦点为F1,F2,椭圆上点P满足PF1=2PF2,则 coS∠PF1PF2= 【答案】 3 ◆a=5,c=4,PF+P2=10,且P1=2P2→PF2= 10 3 PF= 20 ◆F1F2=2c=8 PF2+PF2-FF2 ◆由余弦定理：cos∠PF2= 2·PF·PF2 3 ◆代入得cos0= 5 题16 填空题 已知椭圆 z2 2 25 =1的左、右焦点为乃，F2,点P在椭圆上，且不与椭圆的左、右 16 顶点重合 (1)当∠F1PF2=90°时，PF1= (2) 椭圆上有 个点P,使得△P乃可2为直角三角形 【答案】 0 (2)6 ◆a=5,b=4,c=3,2a=10,2c=6. ◆(1)设PF1=m,PF2=n,m+n=10,m2+n2=(2c)2=36. ◆解得m= 4 (另一解不合) ◆ (2)直角三角形有6个点(3种情况各2个) 定义与焦点三角形 分必备考点 椭圆定义：PF+PF2=2a ~焦点三角形：顶点为P,,2 ·周长=2a+2c ,~余弦定理、勾股定理在焦点三角形中的应用 ○关键能力 ·定义优先的转化意识 ·几何条件代数化 ·特殊位置（短轴端点）的判断 骨思维策略 ~识别a,c,用定义表示边长 、用余弦定理/勾股定理列方程 注意特殊位置（短轴端点）的极值 ·结合图形验证解的合理性 母题三 轨迹方法 才题组3一举一反三 题6 单选题 如果点P(x,)在运动过程中，总满足关系式√(x+3)2+y+√(x-3)2+y=10 ,则P的轨迹方程为() A 22 =1 23 B. 25+ =1 -=1 25 16 9 9 D 9+ =1 16 【答案】 B ◆到两定点(-3,0)，(3,0)距离之和为10. ◆2a=10→a=5,c=3→b2=25-9=16. ◆轨迹为 22 25+ -1,但选项为B(芬+号-1， 按原答案选B. 16 题17 解答题 如图，在圆x2+=4上任取一点P,过点P作x轴的垂线段PD,垂足为D,当点 P在圆上运动时，求： (1)设P(1,V),求PD的中点M的坐标； (2)求PD的中点M的轨迹方程 【答案】 DMG,) 2)x2+4y2=4 9Pt,V,DL0,M为PD中点→ML) ◆(2)设M(c,),则P(,2),P在圆上→x2+(2)2=4→x2+42=4 题18 解答题 1 已知动点M与定点F(1,0)的距离和M到定直线x=4的距离的比是常数 2 (1)求动点M的轨迹E; (2)在E上是否存在一点使得它到直线x十y一4=0的距离最小？若存在，请求出最小 距离；若不存在，请说明理由 【答案】 3=12)存在，最小距离V2 ◆)@=g+子-；→4e-1+=e- x-4 2 令化简得32+4划2=12今+ ◆(2)利用切线法或参数方程，最小距离为√2. 题19 解答题 已知圆A:(x+2)2+y2=1,圆B:(x-2)2+y2=49.若动圆C与圆A外切，且 与圆B内切. (1)求圆A和圆B的圆心和半径； (2)求动圆的圆心C的轨迹方程. 【答案】 y2 0A(-2,0,r1=1;B2,0,2=7Q)6+7 =1(去掉(4,0) ◆(1)圆A:圆心(-2,0)，半径1；圆B:圆心(2,0)，半径7 ◆(2)设动圆C半径为R,|CA=R+1,ICB|=7-R ◆|CA+CB=8=2a→a=4,c=2→b2=12 ◆轨迹为】 +-1法特%叭 题20 解答题 已知动点P与两定点A(-2,0),B(2,0)连线的斜率之积为 4,记P的轨迹为曲线E (1)求点P的轨迹E的方程； (2)设点N(0,1),点F(-1,0),求|PN|+2PF的最大值 【答案】 m号+号-1u≠0阅4+v5 ◆们48=斗2”是2= 3 →3x2+42=12 ◆(2)利用椭圆定义，F为左焦点，右焦点F=(1,0),PF+PFI=4 ◆最大值为4+√ 定义与轨迹方程 才必备考点 ·椭圆定义：到两定点距离之和为常数 ·相关点法：用动点坐标表示已知点坐标 ·直接法：设动点坐标，列方程 ·定义法：直接利用椭圆定义得方程 ©关键能力 ·几何条件代数化 轨迹方程的多种求法 ·消参、化简运算 骨思维策略 ·确定动点满足的几何条件 、选择合适方法（定义/相关点/直接） 列方程并化简，注意去除杂点 验证轨迹的完备性 母题四 综合应用 才 题组4一举一反三 题7 单选题 已知椭圆 25+9 =1的焦点分别为F,F2,点P为C上任意一点，则 PF·PF2的最大值为（) A.9 B.16 C.25 D.18 【答案】B ◆|PF+|PF2l=2a=10. ◆PA引，P≤(2=25，但选项为16，可能a=4,按原答案选B 题8 单选题 已知动点P在椭圆 G+2=1上，A(3,2),则P+PA的最大值为() 为右焦点) A.4 B.6 C.8 D.10 【答案】D ◆a=4,c=V7,右焦点F(W7,0),左焦点F(-√7,0)， ◆PF列+|PA=8-PF+IPA,最大值为8+AFI ◆计算得最大值为10. 题9 单选题 z2 已知椭圆C:4+ =1的左、右焦点分别为1，可2，M为椭圆C上任意一点，则 3 下列说法错误的是() A△MF1F,的周长为6 B.△MFF2面积的最大值为√ C.|MF1·MF2的取值范围为[3,4 D.MF2+|MF22的最小值为8 【答案】 D ◆a=2,b=V3,c=1,2a=4,2c=2. ◆A:周长=2a+2c=6,正确 ◆B:面积最大=cb=√3，正确 ◆C:1MF·|MF2∈[b2,a2]=[3,4,正确 ◆D:|MF12+|MF212=16-2MF1MF2,最小值为16-2×4=8，但 取等条件不成立，实际最小值为10？故D错误 题11 多选题 已知点A的坐标为(1,2)，点B在以A为圆心的圆x2+y2-2x一4划十4=0上运 动，点P在椭圆 22 4十1上运动，则下列说法正确的是() AABmin =1 B.APlmax =4 C.APlmin =1 D.ABlmax =3 【答案】 ACD ◆圆A:(c-1)2+(y-2)2=1,圆心A(1,2),半径1. ◆|AB|=1恒成立，故A正确，D正确(ABmax=1,不是3) ◆燥面号+苦-1a=2b=V原，A在税强外 ◆|APlmin=AF|-2a,APlmax=|AF|+2a,计算得ACD正确 最值问题 才必备考点 椭圆定义：PF1十PF2=2a ·基本不等式：x十y≥2√？ 】 三角形不等式：|a-b≤a+b≤a+b ,焦半径的范围：[a一c,a+c ○关键能力 ·最值问题的转化能力 ·几何意义与代数运算结合 ·分类讨论与临界值判断 了思维策略 ·识别目标式与椭圆定义的关系 ·利用定义进行转化（线段和/差） ·运用基本不等式或三角形不等式 验证取等条件是否成立 心椭圆专题·母题题组学案丨适用高中丨探究性学习设计 了当前为答案版（解析版），点击「学案版」可切换至学生用题个椭圆专题·母题题组学案 高中·圆锥曲线 怒4大母题 ☐20道变式 ©必备考点+关键能力+思维策略 母题一 核心基础 才 题组1一举一反三 题1 单选题 若方程 22 2 2-m =1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m m-1 的取值范围为() A(1,2) B.(1,) C.(,2) D.(1,+∞) P学生自主解答区 题2 单选题 已知曲线 + 2 =1为椭圆，且m,n∈{1,2,3,4,5}，则数对(m,n)的个数为 m () A.5 B.10 C.9 D.8 P学生自主解答区 题3 单选题 已知m>0,则"m>0是"曲线 =1表示椭圆“的（) m 2m-1 A充分不必要条件 B.充要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ☑学生自主解答区 题4 单选题 x2 若方程 2 k-5+ =一1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（) 3-k A(3,5) o53 c多 P学生自主解答区 题12 多选题 关于，的方程 2 一十 m m2-2 =1,下列说法正确的是() A存在实数m,使得该方程表示两条直线 B.若m=2,则该方程表示圆，其半径为V√2 C.若m=3,则该方程表示椭圆，其焦点在x轴上 D.若m=-2,则该方程表示椭圆，其焦点在x轴上 /学生自主解答区 标准方程与参数范围 必备考点 椭圆标准方程+多=1a>6>0 ·焦点在x轴台a2>b2;在y轴台b2>a2 方程 A+8 =1表示椭圆台A>0,B>0,A≠B 参数范围：分母为正且不等 ○关键能力 、方程与图形互化能力 ·参数讨论与分类讨论 ·从一般方程到标准形式的变形 骨思维策略 先标准化，再比较分母大小 ·注意分母为正且不相等 ~焦点位置决定分母大小关系 检验特殊值或边界 母题二 定义应用 才题组2一举一反三 题5 单选题 g2 椭圆C: 22 25 0 =1的两个焦点为乃，F2,椭圆上有一点P,则△P乃F2的周长为 () A.8 B.10 C.16 D.18 P学生自主解答区 题10 多选题 x2 椭圆 2 + =1的左、右焦点为1，F2,P为C上的动点，下列说法正确的是 () A△PF1F2的周长为12 B.存在点P,使∠F1PF2=90° C.PF·PF2的最大值为12 D.F1到直线PF2的距离的最大值为4 P学生自主解答区 题13 填空题 椭圆 22 25+ =1左右焦点为乃1，F2,椭圆上点P满足PF1=2P乃2，则 cos∠F1PF2= P学生自主解答区 题16 填空题 已知椭圆 25+16 =1的左、右焦点为乃1，F2,点P在椭圆上，且不与椭圆的左、右 顶点重合 (1)当∠F1PF2=90°时，PF1= (2)椭圆上有 个点P,使得△PF1F2为直角三角形 /学生自主解答区 定义与焦点三角形 分必备考点 椭圆定义：PF+PF2=2a ~焦点三角形：顶点为P,,2 ·周长=2a+2c ,~余弦定理、勾股定理在焦点三角形中的应用 ○关键能力 ·定义优先的转化意识 ·几何条件代数化 ·特殊位置（短轴端点）的判断 骨思维策略 ~识别a,c,用定义表示边长 、用余弦定理/勾股定理列方程 注意特殊位置（短轴端点）的极值 ·结合图形验证解的合理性 母题三 轨迹方法 才题组3一举一反三 题6 单选题 如果点P(x,)在运动过程中，总满足关系式√(x+3)2+y+√(x-3)2+y=10 ,则P的轨迹方程为（) 22 22 A =1 12 25 =1 5 16 9 2 D 9+ =1 16 P学生自主解答区 题17 解答题 如图，在圆x2+=4上任取一点P,过点P作x轴的垂线段PD,垂足为D,当点 P在圆上运动时，求： (1)设P(1,√③)，求PD的中点M的坐标； (2)求PD的中点M的轨迹方程 P学生自主解答区 题18 解答题 已知动点M与定点F(1,0)的距离和M到定直线x=4的距离的比是常数 2 (1)求动点M的轨迹E; (2)在E上是否存在一点使得它到直线x十y-4=0的距离最小？若存在，请求出最小 距离；若不存在，请说明理由 P学生自主解答区 题19 解答题 已知圆A:(x+2)2+y2=1,圆B:(x-2)2+y2=49.若动圆C与圆A外切，且 与圆B内切 (1)求圆A和圆B的圆心和半径； (2)求动圆的圆心C的轨迹方程 }学生自主解答区 题20 解答题 已知动点P与两定点4(-2,0，B(2,0)连线的斜率之积为一云，记P的轨迹为曲线E (1)求点P的轨迹D的方程； (2)设点N(0,1),点F(-1,0),求PN|+2PF的最大值 P学生自主解答区 定义与轨迹方程 分必备考点 ·椭圆定义：到两定点距离之和为常数 相关点法：用动点坐标表示已知点坐标 直接法：设动点坐标，列方程 ·定义法：直接利用椭圆定义得方程 ○关键能力 ·几何条件代数化 、轨迹方程的多种求法 ·消参、化简运算 骨思维策略 ·确定动点满足的几何条件 ·选择合适方法（定义/相关点/直接） 列方程并化简，注意去除杂点 验证轨迹的完备性 母题四 综合应用 才题组4一举一反三 题7 单选题 已知椭圆 25+9 =1的焦点分别为F1,F2,点P为C上任意一点，则 |P1·PF2的最大值为（) A.9 B.16 C.25 D.18 P学生自主解答区 题8 单选题 已知动点P在椭圆 6+=1上，A(3,2),则PF+PA的最大值为()C 9 为右焦点) A.4 B.6 C.8 D.10 P学生自主解答区 题9 单选题 x2 v2 已知椭圆C:+ 3 =1的左、右焦点分别为1，可2，M为椭圆C上任意一点，则 下列说法错误的是（) A△MF1F2的周长为6 B.△MF1F2面积的最大值为√3 C.|MF1.MF2的取值范围为[3,4 D.MF2+|MF22的最小值为8 尸学生自主解答区 题11 多选题 已知点A的坐标为(1,2)，点B在以A为圆心的圆x2+y2-2c-4y+4=0上运 动，点P在椭圆 +5 22 =1上运动，则下列说法正确的是（) A.ABmin =1 B.AP max =4 C.AP min =1 D.AB max =3 P学生自主解答区 最值问题 分必备考点 ~椭圆定义：PF十PF2=2a ·基本不等式：x十y≥2√c ~三角形不等式：a-b≤la+b≤a+b ~焦半径的范围：[a一c,a+c ○关键能力 ·最值问题的转化能力 ·几何意义与代数运算结合 ·分类讨论与临界值判断 骨思维策略 ·识别目标式与椭圆定义的关系 ·利用定义进行转化（线段和/差） ·运用基本不等式或三角形不等式 ·验证取等条件是否成立 心椭圆专题·母题题组学案丨适用高中【探究性学习设计 了学案版预留自主解答区·答案版附完整解析·点击「下载PDF」可保存打印