2.3.3 点到直线的距离公式&2.3.4 两条平行直线间的距离-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（人教A版）

063 2.3.3点到直线的距离公式 2.3.4两条平行直线间的距离 新课程标准解读 学科核心素养 1.理解用坐标法、向量法推导点到直线的距离公式的运算过程. 数学运算，逻辑推理 2.掌握点到直线的距离公式，并能灵活应用 数学运算，逻辑推理 3.理解两条平行线间的距离公式的推导，会求两条平行直线间的距离， 直观想象，数学运算 教材梳理明要点 ●情境导入 [提示] 实际生活中，点到直线的距离、两条平行直线间的距离，可以点到直线的距离 利用点到直线的距离 公式、两条平行直线 通过测量或计算的方式得到.在平面直角坐标系中，如何求 间的距离公式来 点到直线的距离、两条平行直线间的距离呢？ 色[提示] 解决 [知识点反思1] 白新知初探 (1)运用公式前首先 知识点一点到直线的距离 要把直线方程化为一 1.定义：过一点向直线作垂线，则该点与 之间的距离，就是该点到直 般式. 线的距离 (2)注意公式特征， 2.公式：点P(x,yo)到直线l:Ax+By+C=0(A,B不同时为0)的距离d= 分子绝对值符号里面 是把坐标(xo,y)代 D[知识点反思1] 入直线方程的左边得 知识点二两条平行直线间的距离 到的.当A=0或B=0 1.定义：两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段 时，上述公式仍然 成立 的长 [知识点反思2] 2.公式：直线L1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0间的距离为d= 两条平行直线间距离 [知识点反思2] 公式适用于两条直线 的方程都是一般式， 自预习自测 并且x,y分别对应的 1.(1)点A(2,3)到直线3x-4y-11=0的距离为 ( 系数相等的情况.如 B17 c > 果两条平行直线的方 25 D. 25 程中x,y的系数对应 (2)已知直线1的方程为￥-号=1，则坐标原点到直线1的距离为 不同，必须先等价化 为系数对应相同才能 套用公式. 2.(1)直线x-y=0与直线x-y+2=0之间的距离是 号 B.1 C.2 D.2 (2)直线11：x-2y-2=0与直线12：2x-4y=1之间的距离为 064 题型探究提技能 题型一点到直线的距离公式 例1.已知点P(2,-1),求过点P且与原点距离为2的直线1的方程 P[方法总结1] [方法总结1] 设有限制条件的直线 方程时，注意直线斜 奉是否存在的分类 〉跟踪训练1 点P(3,-2)到直线y=6的距离为 :到直绽-}+子的距离为 [方法总结2] 求两条平行直线间距 题型二两条平行直线间的距离 离的两种方法 例2(1)若倾斜角为45的直线m被直线4：+y-1=0与4：+y-3=0 (1)转化法：将两条 所截得的线段为AB,则AB的长为 平行直线间的距离转 A.1 B.√2 C.3 D.2 化为一条直线上一点 (2)已知两条直线11：2x-4y+7=0,l2:x-2y+5=0.求1,12间的距 到另一条直线的距 离，即化线线距为点 离 ●[方法总结2] 线距来求 (2)公式法：设直线 Ax +By+C=0, l2:Ax +By+C2=0, 则两条平行直线间的 距离d= 1C-C21 √P+B 〉跟踪训练2 已知直线5x+12y-3=0与直线10x+my+20=0平行，则它们之间的距 离是 ( A.1 B.2 c D.4 065 题型三平行直线间的距离的最值问题 例3两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(-3,-1),并且各自绕着 [方法总结3] A,B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.求： 应用数形结合思想求 (1)d的变化范围； 最值 (1)解决此题的关键 (2)当d取最大值时，两条直线的方程 P[方法总结3] 是理解式子表示的几 何意义，将“数”转 化为“形”，从而利 用图形的直观性加以 解决。 (2)数形结合、运动 变化的思想方法在解 题的过程中经常用 到.当图形中的元素 运动变化时我们能直 观观察到一些量的变 化情况，进而可求出 这些量的变化范围. )》跟踪训练3 已知直线11,12是分别经过A(1,1),B(0,-1)两点的两条平行直线，当11， 12间的距离最大时，直线1的方程是 随堂检测重反馈 1.原点到直线x+2y-5=0的距离为 A.1 B.5 C.2 D.5 2.(多选)已知，点M(1,4)到直线l:mx+y-1=0的距离为3，则实数m等于 ( A.0 R C.3 D.2 3.已知直线3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行，则它们之间的离是 A.4 B.213 c D.73 13 26 4.P,Q分别为直线3x+4y-12=0与6x+8y+5=0上任意一点，则1PQ1的最小值为 号 HS c分 号 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[18]则1AB12=(-b-0)2+(0-a)2=2+b2 1AD12=(m-0)2+(0-a)2=m2+a2, 1BD1·1DC=1m+bl·1b-ml=(b+m)(b-m)=b2-m2, .∴.IADI2+IBD1·IDCI=a2+b2, .IABI2=IADI+IBDI.IDCI. 跟踪训练3：【证明】由A(-1,2),B(3,4),C(3,2),D(1,1), 则w3品号ω号引分 _2-11 由题意是四边形ABCD,知A,B,C,D不共线，则AB∥CD, 又1AB1=√/(4-2)2+(3+1)2=25， 1CD1=/(2-1)2+(3-1)2=5, 故IABI≠ICDI,所以四边形ABCD是梯形 随堂检测重反馈 1.C由+”40→=即两直线交点坐标为(2,0. {x-y-2=0,{y=0, 代人-y+3=0得2k-0+3=0=k=-子故选C 2A由题意可知，线段BC的中点为D(0,-2),故1AD1= √-0+(0+：故选 3.C直线I的方程可化为m(x+2y+1)-x-3y=0,令 「x+2y+1=0, 解得=-3直线1恒过定点(-3,1).故 L-x-3y=0, ly=1, 选C. 4.-1或4：1AB1=√/(m-2)2+(1-m)2=/13,.m2- 3m-4=0,解得m=-1或m=4. 2.3.3 点到直线的距离公式 2.3.4两条平行直线间的距离 教材梳理【 明要点 新知初探 知识点一 1.垂足 2A,+B6+C1 A+B 知识点二 21G-G1 √A+B 预习自测 1(1)A(2)2 (1)点A(2,3)到直线3x-4y-11=0的距离 为5×34x3-"=故选A 32+(-4)2 (2)将直线-子=1化为一般式方程可得3x-4-12=0, 由点到直线距离公式可得坐标原点(0,0)到直线1的距离为d =-121-12 √32+45 2(1)C(2)35 0 (1)依题意，直线x-y=0与直线x-y+2 =0之间的距离是12-01 =√2.故选C. w/12+(-1)2 —21 (2)由题知，l1:x-2y-2=0,即2x-4y-4=0,2:2x-4y=1, 即2x-4y-1=0,所以4与5之间的距离为-4=（-1)1三 /22+42 335 25=0 题型探究提技能 例1：【解析】当直线1的斜率不存在时，直线l的方程为x=2, 符合题意； 当直线1的斜率存在时，设直线↓的方程为y+1=k(x-2), 即kx-y-2k-1=0, 由点到直线的距离公式得-24-=2， /1+k 3 解得k=4, 所以直线1的方程为3x-4y-10=0. 故直线1的方程为x=2或3x-4y-10=0. 踪训练1：88因为直线y=6与y轴垂直，所以点P到它 的距离d=1-2-61=8直线y=子+子化为一般式为3x -4y+1=0,由点到直线的距离公式可得d= 13×3-4×(-2)+1118 √32+(-4)7 5 例2：(1)B(2)见解析(1)由题意，可得直线m与直线1， 垂直，则由两平行线间的距离公式，得1AB1=一1+3=万. /12+12 7 (2)42x-4y+7=0即x-2y+2=0, 73 所以L1,l2间的距离为d= 5-2_235 个+2店6 跟踪训练2A由两条直线平行可得9-受，解得m=24则直 线10x+24y+20=0,即5x+12y+10=0,由两条平行直线间 的距离公式得d=一-3-10=l, √52+122 例3：【解析】(1)如图，显然有0<d≤ 1ABI. A(6.2) 而1AB1=(6+3)2+(2+1)2= 3/10. 故所求的d的变化范围为(0， 310]. (2)由图可知，当d取最大值时，两直线与AB垂直. 2-(-1)1 而a=6-（-3)=3, 所以所求直线的斜率为-3. 故所求的直线方程分别为y-2=-3(x-6)和y+1=-3(x +3), 即3x+y-20=0和3x+y+10=0. 跟踪训练3：x+2y-3=0当两条平行直线与A,B两点的连线 垂直时，两条平行直线间的距离最大.因为A(1,1),B(0,-1) 所以。。2，所以两条平行直线的斜车为-了，所以 直线4的方程为y-1=x-1),即x+2-3=0 7 随堂检测重反馈 1.D 2AB点M到直线1的距离d=m+4-业=3，所以m=0 √m2+1 或是 3.D因为3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行，所以号3 受，所以m=4直线6x+4y+1=0可以转化为3x+2y+ 2 0= 0,由两条平行直线间的距离公式可得d= - √32+22 2713 /1326 4.C易知直线3x+4y-12=0与6x+8y+5=0平行，故IPQI 5 2 -+12 的最小值即两平行直线间的距离，故d= 129 5 10 2.4圆的方程 2.4.1圆的标准方程 教材梳理明要点 新知初探 知识点一 (a,b)半径 知识点二 √(x-a)2+(yo-b)2>>==<< 预习自测 1.(1)B(2)B(1)以原点为圆心，2为半径的圆，其标准方程 为x2+y=4. (2)结合圆的标准方程可知，圆C的圆心坐标为(2，-1)， 2.B将点P的坐标代入圆的方程，有(-2)2+(-2)2=8>4， 故点P在圆外.故选B. 题型探究提技能 例1：【解析】解法一（直接法）：设点C为圆心， :点C在直线x-2y-3=0上， .可设点C的坐标为(2a+3,a) 连接CA,CB. :该圆经过A,B两点，.ICAI=ICBI, .√(2a+3-2)2+(a+3)7=√(2a+3+2)2+(a+5)7,解 得a=-2, .圆心为C(-1,-2),半径r=√0. 故所求圆的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=10. 解法二（待定系数法）：设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y -b)2=2, r(2-a)2+(-3-b)2=r2, a=-1 由题设条件知{(-2-a)2+(-5-b)2=r2,解得b=-2, La-2b-3=0. 2=10. 故所求圆的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=10. 解法三（几何性质法）：连接AB,则线段AB的中点的坐标为 (0,-4), 2 直线4B销务率如=”日 .弦AB的垂直平分线的斜率为k=-2, .∴.弦AB的垂直平分线的方程为y+4=-2x,即2x+y+4 =0. 又圆心是直线2x+y+4=0与直线x-2y-3=0的交点， 由2x++4=0得=-L, x-2y-3=0,ly=-2, .圆心坐标为(-1，-2)， ∴.圆的半径r=√-1-2)2+(-2+3)2=√10 故所求圆的标准方程为(x+1)2+（y+2)2=10. 跟踪训练1：(1)C(2)(x-4)2+(y+3)2=25(1)因为圆E 经过点A(0,1),B(2,0),所以圆E的圆心在线段AB的垂直 平分线y-2=2(x-1)上.又圆E的圆心在x轴的正半轴 上，所以圆E的圆心坐标为（子，0则圆E的半径为B1 =√2-)+0-0=子，所以圆E的标准方程为 -16 (2)设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=2,则 ra2+b2=r2, ra=4. (1-a)2+(1-b)2=2,解得b=-3,.圆的标准方程是 2a+3b+1=0, lr=5. (x-4)2+(y+3)2=25. 例2：(1)B(2)A(1)12+32=10<24,故P在圆内，故选B. (2)由题意，a+b=1,ab=-√2，a2+b2=(a+b)2-2ab=1 +22<8, .点P在圆C内，故选A 跟踪训练2：【解析】由题意，得点A在圆C上或圆C的外部， 之(1-a)2+(2+a)2≥2a2心2a+5≥0，a≥-2，又0 ≠0， a的取值范围是[- 30u(0,+a) 随堂检测重反馈 1.C由圆的标准方程(x-1)2+(y+3)2=1,得圆心坐标为 (1,-3) 2.A解法一（直接法）：设圆的圆心为 C(0,b),则√(0-1)2+(b-2)7=1, .b=2,.圆的标准方程是x2+(y-2) (1,2) =1. 解法二（数形结合法）：作图（如图），根 据点(1,2)到圆心的距离为1，易知圆心 O1 为(0,2)，故圆的标准方程是x2+(y 2)2=1. P在圆外，(5a+1-1)2 +(12a)2>1,169a2>1,d>60a>5或a<-d 1 4.x-y+3=0圆x2+(y-3)2=4的圆心为点(0,3)，又因为 直线l与直线x+y+1=0垂直，所以直线1的斜率k=1.由点 斜式，得直线l的方程为y-3=x-0,化简得x-y+3=0.