1.1.1 第2课时共线向量与共面向量-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（人教A版）

第2课时共线向量与共面向量 教材梳理 明要点 新知初探 知识点一 1.a=Ab 2.方向向量 知识点二 1.平行于平面a在平面a内 2.唯一p=a+yb 预习自测 1.ABC平面是空间的组成部分，在平面内共线的向量在空间 一定共线，故A,C错误；在空间共线的向量，平移到同一平面 内一定共线，故B错误，D正确. 2.C由正方体ABCD-A,B,CD,图形（图略）易知AC,AD,CD 共面.由正方体的性质可得，BA=CD,所以AC,BA,AD共 面.故选C 3.B空间两个向量一定是共面向量，但三个空间向量可能是共 面的，也可能是不共面的，故(1)错误；由AB=3BC知AB∥BC, 且有公共点B,此时A,B,C三点共线，故(2)正确；由2a-b= 2·a+(-1)·b知2a-b与a,b共面，故(3)正确；若a,b共 线，且p不与a,b共线，则不存在实数x,y,使p=xa+yb,故 (4)错误.故选B. 题型探究提技能 例1：【证明】连接EF,EB(图略)， 因为E京=A市-A龙 -号衣-号可 =子aE+4D+)-子可 号瓜+号-0。 扇=A店-A它=AB+A-子4D, 所以E床=子E应，所以E市∥E成 又EF∩EB=E,所以E,F,B三点共线. 跟踪训练1：【解析】因为M,N分别是AC,BF的中点，四边形 ABCD,ABEF都是平行四边形，所以连接AE必过点N(图略)， 所以=-i=2正-2花=2（正-A心）=成， 即=C龙，所以C应与共线. 例2：【证明】设A4=a,AB=b,Ad=c, 则A,B=b-a, 因为M为DD,的中点，所以A1=c-2a, 又因为AN=2C,所以=子C=号(b+e), 所以a=不-试=子(b+e)-a 19 =号b-a)+号(c-）=号+号4成。 所以A1不，A,B,A1M为共面向量. 又因为三个向量有相同的起点A, 所以A1,B,N,M四点共面 跟踪训练2：【证明】图为M在BD上，且BM=专8D, 所以城=号成=}+}应 同理=子Ad+}D成， 所以M=M店+BA+Ad =(兮D+号）+威+（兮+号） 号厨+成号动+ 又C⑦与D正不共线，根据向量共面的充要条件可知M,C⑦，D成 共面。 例3：【证明】(1)充分性 .x+y+z=1, ..OP=x0A+y0B+0 =(1-y-z)0A+y02+z0元， .0-0A=y(0-Oi)+z(0元-0A), .A=yAB+zAC,点P与A,B,C共面 (2)必要性 :点P在平面ABC内，三点A,B,C不共线， .存在有序实数对(m,n)使A户=mAB+nA元，0-O= m(0-0A)+n(0元-oA), .0=(1-m-n)0i+m0+n0元， 令x=1-m-n,y=m,z=n, p=x0A+y0B+zOC,x+y+z=1. 跟踪训练3：D因为P∈平面ABC,所以P,A,B,C四点共面，所 以好+A+日=1，解得A=各 随堂检测重反馈 1.D由a与b共线，知存在实数k,使a=b,.e1+Ae2= -3,-ke1,即k=-1,入=3 2.1由于A,B,C三点共线，所以存在实数A,使得A亿=入AB,即 0元-0A=A(02-0A),所以0元=(1-A)0A+0B,所以m =1-入，n=入，所以m+n=1. 3.-3因为BC=-2a-b,D元=a-2b,所以Bi=BC+C=Bd -DC=-2a-b-(a-2b)=-3a+b.因为A,B,D三点共 线，所以存在实数入，使得AB=入Bi,即9a+mb=A(-3a+ b).因为a与b不共线，所以9二3解得m=A=-3, Lm=入， 4.15 因为点P与4.8，C三点共面，所以写+号+A=1,解得 λ=15005 随堂检测 重反馈 1,在长方体ABCD-A,B,C,D,中，下列向量与CD是相等向量的是 A.AB B.BA C.A B D.DC 2.在空间四边形OABC中，OC-BC+BA= A.OA B.AC c.oc D.AB 3.设有四边形ABCD,0为空间任意一点，且AO+OB=D0+OC,则四边形ABCD是 A.平行四边形 B.空间四边形 C.等腰梯形 D.矩形 4,如图，在四面体ABCD中，E,F分别是BC,CD的中点，则AD+】(BC-BD)= 2 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[1] 第2课时 共线向量与共面向量 新课程标准解读 学科核心素养 1.理解向量共线、向量共面的定义 数学抽象 2.掌握向量共线的充要条件和向量共面的充要条件. 数学抽象、逻辑推理 3.会证明空间三点共线、四点共面， 直观想象、逻辑推理 教材梳理 明要点 ●情境导入 [提示] 空间中的两个向量一 在立体几何的学习中，我们知道空间中两条直线有相交、平行和异面三种 定是共面向量，但不 位置关系.那么在空间中的两个向量有什么样的位置关系呢？ 一定是共线向量. [知识点反思1] [提示] (1)向量a,b共线 时，表示向量a,b的 e新知初探 有向线段不一定在同 一条直线上. 知识点一共线向量 (2)一条直线的方向 1.空间向量共线的充要条件：对任意两个空间向量a,b(b≠0)，a∥b的充要 向量不唯一 (3)因为零向量0= 条件是存在实数入，使 0·a,所以零向量和 2.直线的方向向量 空间任一向量a是共 如图，0是直线l上一点，在直线1上取非零向量a,则对于a 线（平行）向量，这一 性质使共线句量不具 直线l上任意一点P,可知0OP=a,把与向量a平行的非零一oa 有传递性，即若a∥ 向量称为直线1的 ·直线可以由其上一点和它的 b,b∥c,则aMc不 一定成立.因为当b= 方向向量确定. D[知识点反思1] 0时，a∥0,0∥c, 但a与c不一定共线. 006 知识点二共面向量 1.定义：如果表示向量a的有向线段OA所在的直线OA 或 那么称向量a平行于平面a.平行于同一个平面的向量，叫做共 面向量 2.三个向量共面的充要条件：向量p与不共线向量4，b共面的充要条件是存 [知识点反思2] 在 的有序实数对(x,y),使 [知识点反思2] (1)三个向量共面的 充要条件实质就是平 自预习自测 面向量基本定理 1.(多选)下列说法错误的是 (2)p xa +yb,AP= A.在平面内共线的向量在空间不一定共线 x AB +y AC,OP =OA B.在空间共线的向量在平面内不一定共线 C.在平面内共线的向量在空间一定不共线 +xAB+yAC三式实 质相同，只是形式上 D.在空间共线的向量在平面内一定共线 不同. 2.在正方体ABCD-A,B,C,D,中，下列各组向量共面的是 (3)对于空间任意一 A.AC,B D ,BB B.AC,CC,AD 点O,四点P,M,A,B C.AC,BA ,AD D.AC,A D,A A 共面（其中M,A,B不 3.给出下列四个命题： 共线)的充要条件是 (1)三个空间向量一定是共面向量 OP=x OM +y OA (2)若AB=3BC,则A,B,C三点共线， zOB(其中x+y+z= 1). (3)对于空间的任意三个向量4，b,2a-b,它们一定是共面向量. (4)若p与a,b共面，则存在实数x,y,使p=xa+yb. 其中是真命题的是 .(2)(4) B.(2)(3) C.(1)(2) D.(3)(4) 题型探究 提技能 题型一 空间向量的共线问题 [方法总结1] 证明空间三点P,A,B 例1如图所示，在正方体ABCD-A,B,,GD中，点 D 共线的思路 E在AD1上，且A,E=2ED,点F在体对角 A (1)存在实数入，使 线4C上，且F-号FC,求证：E,F,B三点 PA=入PB成立 (2)对空间任一点0， 共线 有OP=OA+tAB(t∈ R). [方法总结1] (3)对空间任一点0， 有OP=xOA+yOB(x +y=1). ●007 )》跟踪训练1 如图，四边形ABCD,ABEF都是平行四边形且不共面， M,N分别是AC,BF的中点，判断CE与MN是否共线？ 题型二空间向量的共面问题 例2如图所示，在长方体ABCD-A4,BCD,中，M为D, [方法总结2] 的中点，N∈AC,且AWN=2NC,求证：A1,B,N,M四点 要证四点共面，可改 共面. 证以其中一点为起 点，另三点为终点的 三个向量共面；而证 ●[方法总结2] 明三个向量共面，就 是证明其中一个向量 可由另外两个向量的 线性运算得出 〉》跟踪训训练2 如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面 互相垂直，点M,N分别在对角线BD,AE上，且BM= 3BD,AN -AE. 求证：向量MN,CD,DE共面. 008 题型三空间向量共面的充要条件的变形应用 例3已知不共线的三点A,BC和平面AC外的一点O,空间一点P满足 [方法总结3] 关系式OP=xOA+yOB+zOC. 证明点P在平面ABC 求证：点P在平面ABC内的充要条件是x+y+z=1. 内的等价结论 [方法总结3] (1)AP=xAB+y AC. (2)对空间任一点0， OP OA +x AB yAC. (3)对空间任一点0， OP=x OA +y OB+ z0C(x+y+z=1). 》跟踪训练3 若点Pe平面ABC,且对空间内任意一点0满足0P-401+A0B+日0C, 则入的值是 B.、3 D. 8 随堂检测 重反馈 1.设e,e是两个不共线的向量，且a=e,+Ae,与b=-了：-e,共线，则实数A= 1 A.-1 B.3 0.3 2.已知A,B,C三点共线，0为直线外任意一点，若OC=m0A+nOB,则m+n= 3.设a,b是空间中两个不共线的向量，已知AB=9a+mb,BC=-2a-b,DC=a-2b,且A,B,D三点 共线，则实数m= 4已知A,B,C三点不共线，0是平面ABC外任一点，若由0P=0A+号0B+A0C确定的一点P与 A,B,C三点共面，则入= 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[2]