2.4.2 圆的一般方程-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（人教A版）

069 2.4.2圆的一般方程 新课程标准解读 学科核心素养 1.理解二元二次方程表示圆的条件，会根据圆的一般方程求圆的圆心坐 数学运算 标和半径 2.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程. 逻辑推理 3.能解决简单的轨迹问题 直观想象、逻辑推理 教材梳理明要点 ●情境导入 各种形式的直线方程都可化为二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同时 为0)的形式，将圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,展开可得x2+y2- [提示] 2ax-2by+m2+b2-r2=0.即任何一个圆的方程都可以变形为x2+y2+Dx 方程x2+y2+Dx+E +Ey+F=0的形式.那么形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程表示的曲线 +F=0在D2+E2- 4F>0时表示圆. 是不是圆呢？ [提示] 白新知初探 知识点一圆的一般方程 1.圆的一般方程：当D+E2-4F>0时，二元二次方程 叫 做圆的一般方程 [知识点反思1] 2.方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的图形 (1)二元二次方程Ax2 +Bxy Cy2+Dx +Ey 条件 图形 +F=0表示圆，需x2 D2+E2-4F<0 不表示任何图形 和y2的系数相同且不 为0，没有这样的 D2+E2-4F=0 表标一个点-，号 二次项 (2)二元二次方程x2 +y2+Dx+Ey+F=0 D2+E2-4F>0 表示以 为圆心，以D+E-4F为 2 表示圆的充要条件是 半径的圆 D2+E2-4F>0. ●[知识点反思1] 知识点二动点轨迹方程 1.轨迹是指点在运动变化过程中形成的图形.在解析几何中，我们常常把图 [知识点反思2] 形看作点的轨迹（集合）. 求符合某种条件的动 点、M的轨迹方程时注 2.点M的轨迹方程是指 满足的关系式 意去除方程中不符合 3.求符合某种条件的动点M的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条 限制条件的点 件，通过 将其转化为关于变量x,y之间的方程， [知识点反思2] 070 目预习自测 1.(1)下列方程表示圆的是 A.x2+y2+xy-1=0 B.x2+y2+2x+2y+2=0 C.x2+y2-3x+y+4=0 D.2x2+2y2+4x+5y+1=0 (2)圆的方程为x2+y2-2x+6y+4=0,则该圆的半径为 2.已知定点A(2,2),动点M(x,y)满足IMA1=1,则点M的轨迹方程是 题型探究提技能 题型一圆的一般方程的辨析 例1若方程x++2m-2+m2+5m=0表示圆. (1)求实数m的取值范围； [方法总结1] 圆的一般方程的辨析 (2)写出圆心坐标和半径. [方法总结1] (1)若D2+E2-4F> 0成立，则表示圆， 否则不表示圆 (2)将方程配方后， 根据圆的标准方程的 特征求解。 》跟踪训练1 (1)当圆C:x2+y2-4x-2my+2m=0的面积最小时，m的值为( A.4 B.3 C.2 D.1 (2)点M,N在圆x2+y2+kx+2y-4=0上，且点M,N关于直线x-y+1=0 对称，则该圆的面积为 [方法总结2] 题型二求圆的一般方程 例2已知A(2,2),B(5.3),c3,-1). 用待定系数法求圆的 方程，选择圆的一般 (1)求△ABC的外接圆的一般方程； 方程，根据条件列关 (2)若点M(a,2)在△ABC的外接圆上，求a的值.[方法总结2] 于D,E,F的三元 次方程组，求解较简 便，选择圆的标准方 程，根据条件列关于 a,b,r三元二次方程 组，求解难度增加. 》跟踪训练2 已知圆C:x2+y+Dx+Ey+3=0,圆心在直线x+y-1=0上，且圆心在第 二象限，半径长为2，求圆的一般方程 071 题型三与圆有关的轨迹问题 例3点A(2,0)是圆+y=4上的定点，点(1,1)是圆内一点，P,0为圆 上的动点 [方法总结3] 求与圆有关的轨迹问 (1)求线段AP的中点M的轨迹方程； 题的方程 (2)若∠PBQ=90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程 (1)直接法：直接根 ●[方法总结3] 据题目提供的条件列 出方程 (2)定义法：根据 圆、直线等定义列 方程. (3)代入法：找到要 求点与已知点的关 系，代入已知点满足 的关系式 )跟踪训练3 已知圆C经过(2,6)，(5,3)，(2,0)三点 (1)求圆C的方程； (2)设点A在圆C上运动，点B(2,3),且点M满足AM=2MB,求点M的轨 迹方程， 随堂检测重反馈 1.若x2+y2-x+y-2m=0是一个圆的方程，则实数m的取值范围是 A-, c-4+ 1 D 2.已知圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心坐标为(-2,3)，D,E分别为 A.4,-6 B.-4,-6 C.-4,6 D.4,6 3.（多选)圆x2+y2-4x-1=0 A.关于点(2,0)对称 B.关于直线y=0对称 C.关于直线x+3y-2=0对称 D.关于直线x-y+2=0对称 4.已知点M到两个定点4(1,0)，B(4,0)的距离比为)，则点M的轨迹方程为 夯基提能作亚 请同学们认真完成练案[20]2.4.2圆的一般方程 教材梳理明要点 新知初探 知识点 1.x2+y2+Dx+Ey+F=0 知识点二 2.点M的横坐标x与纵坐标y 3.“坐标化 预习自测 1.(1)D(2)6(1)方程+y2+y-1=0中有xy项，该方 程不表示圆：对于方程x2+y2+2x+2y+2=0,.22+22-4× 2=0,.该方程不表示圆；对于方程x2+y2-3x+y+4=0, （-3)2+12-4×4<0,.该方程不表示圆；方程2x2+2y +4+5y+1=0可化为2+2+2x+多y+7=0,2+ (停》厂-4×分>0该方程表示园 (2)圆的方程为x2+y2-2x+6y+4=0,即(x-1)2+(y+3)2 =6,故该圆的半径为6. 2.(x-2)2+(y-2)2=1由两点间的距离公式得 √(x-2)2+(y-2)2=1,即(x-2)2+(y-2)2=1. 题型探究提技能 例1：【解析】(1)由表示圆的充要条件，得(2m)2+(-2)2- 4(m2+5m)>0, 解得m<5,即实数m的取值范国为(-0,5)】 (2)将方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0写成标准方程为 (x+m)2+(y-1)2=1-5m, 故圆心坐标为(-m,1),半径r=√1-5m 跟踪训练1：(1)D(2)9r(1)由圆C:x2+y2-4x-2my+2m =0,得圆C的标准方程为(x-2)2+（y-m)2=m2-2m+4, 从而对于圆C的半径r有r2=m2-2m+4=(m-1)2+3≥3， 所以当m=1时，r取得最小值，此时圆C的面积最小 (2)圆2+产++2y-4=0的图心坐标是(-令，-1）由 圆的性质，知直线x-y+1=0经过园心，-专+1+1=0， 解得k=4,圆x2+y2+4x+2y-4=0的半径为 子公+2+6=3该圆的面积为9m 例2：【解析】(1)设△ABC外接圆的一般方程为x2+y2+Dx+ Ey+F=0, 22+22+2D+2E+F=0, xD=-8, 由题意，得52+32+5D+3E+F=0,解得E=-2, 32+(-1)2+3D-E+F=0, 1F=12. 即△ABC的外接圆的-般方程为2+y2-8x-2y+12=0. (2)由(1)知，△ABC的外接圆的方程为x2+y2-8x-2y+12 =0,易知M的一个坐标为(2,2)，即a=2, 又点M(a,2)在△ABC的外接圆上， .a2+22-8a-2×2+12=0, 即a2-8a+12=0,解得a=6,综上，a=2或6. 跟踪训练2.【解折】圆心c(-号，-号）， :圆心在直线x+y-1=0上， 21 D_E-1=0, ∴.-22 即D+E=-2.① 又“半径长r=D+-卫-5， 2 .∴.D+E2=20.② 0远可公24.只公24 又圆心在第二象限， 5-号<0，即D>0.则02 E=-4. 故圆的一般方程为x2+y2+2x-4y+3=0. 例3：【解析】(1)设线段AP的中点M(x,y), 由中点坐标公式，得点P的坐标为(2x-2,2y) 点P在圆x2+y2=4上， .(2x-2)2+(2y)2=4, 故线段AP的中点M的轨迹方程为(x-1)2+y2=1. (2)设线段PQ的中点W(x,y), 在Rt△PBO中，IPNI=IBWI. 设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ON⊥PQ, .I0P12=I0N12+IPNI2 I0N12+IBNI2, .x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4,整理可得：x2+y2-x-y- 1=0, 故线段PQ的中点N的轨迹方程为x2+y-x-y-1=0. 跟踪训练3：【解析】(1)设圆C的方程为x2+y+Dx+Ey+F =0. r22+62+2D+6E+F=0,rD=-4, 由题意得52+32+5D+3E+F=0,解得E=-6, 22+02+2D+F=0, F=4, 则圆C的方程为x2+y2-4x-6y+4=0. (2)设M(x,y),A(x,ya), M=(x-xy-),MB=(2-x,3-y), 由成=2派，得-=4-2解得，=3-4， ly-yA=6-2y,Lya=3y-6, 由点A在圆C上，得(3x-4)2+(3y-6)2-4(3x-4)-6(3y -6)+4=0, 即x2+y2-4x-6y+12=0, 故点M的轨迹方程为x+y-4x-6y+12=0. 随堂检测重反馈 1.C根据题意，得(-1)2+12-4×(-2m)>0,所以m> 1 4 2.A圆++D++F=0的圆心坐标为(-号，-号）， 又已知该圆的圆心坐标为(-2,3)，.- =-2-5=3 .D=4,E=-6 3.ABCx2+y2-4x-1=0→(x-2)2+y2=5,即圆心的坐标为 (2,0). A项，圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点(2,0)是圆心， 故正确； B项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线y=0 过圆心，故正确； C项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线x+3y -2=0过圆心，故正确； 9 D项.圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线x-y+ 2=0不过圆心，故不正确 4.x2+y=4设M(x,y),则1MA1=√(x-1)2+y2,IMB1= 可器二器分并 化简得x2+y2=4.所以点M的轨迹方程为x2+y2=4. 2.5直线与圆、圆与圆的位置关系 2.5.1直线与圆的位置关系 第1课时直线与圆的位置关系 教材梳理明要点 新知初探 知识点一 210d<rd=rd>r4>04=0A<0 预习自测 1.B圆心(0,0)到直线3x+4y-5=0的距离d=51 /32+42 1.d=r,∴.直线与圆相切. 2.30由题意知直线l的方程为y-2=-(x+1),即x+y-1 -0,圆600.0)到省线的距资为4：1月号，则有 11=2-日=2V87。m 题型探究提技能 例1：【解析】解法一：联立直线和圆的方程组成方程 .「y=x+b, 组2+=2， 整理得2x+2bx+b2-2=0,△=4(4-b2) (1)当△=0，即b=±2时，直线和圆仅有一个公共点，圆与直 线相切； (2)当△>0，即-2<b<2时，直线和圆有两个公共点，圆与直 线相交； (3)当△<0，即b<-2或b>2时，直线和圆没有公共点，圆 与直线相离！ 解法二：圆x2+y2=2的圆心(0,0)到直线y=x+b的距离d =,圆的半径为=2 (1)当d==2,即6=±2时，直线与圆相切： 2 (2)当d=b <2,即-2<b<2时，直线与圆相交： (3)当d=>万，即6<-2或6>2时，直线与圆相离。 跟踪训练1：【解析】解法一：将已知圆的方程化为标准方程： (x-a)2+(y+1)2=a. 圆心为(a,-1),半径为√a,则圆的圆心(a,-1)到直线x+y -2a+1=0的距离为d=1a-1-2a+1山=lal=a √2 22 当疗=石，即a=2时，直线和图指切： 当疗>石，即0>2时，直我和圆指离： —22 当行<a,即0<a<2时，直线和圆相交。 解法二：将直线方程与圆的方程联立成方程组得 rx+y-2a+1=0,① x2+y2-2ax+2y+a2-a+1=0.② 将①代入②，得2x2-6ax+5a2-a=0. 4=(-6a)2-4×2×(5a2-a)=-4a2+8a=-4a(a-2), 当a=2时，△=0，直线与圆只有一个公共点，此时直线与圆 相切， 当0<a<2时，△>0，直线与圆有两个公共点，此时直线与圆 相交， 当a>2时，A<0,直线与圆没有公共点，此时直线与圆相离. 例2：【解析】由于(2-1)2+(4+3)=50>1，故点M在圆外 当切线斜率存在时，设切线方程是y-4=(x-2), 即kx-y+4-2k=0,由于直线与圆相切， 故34-2=1，解得k=斗 √+(-1) 所以切线方程为24x-7y-20=0. 又当切线斜率不存在时，直线x=2与圆相切. 综上所述，所求切线方程为24x-7y-20=0或x=2. 跟踪训练2：【解析】解法一：·点M(2,2)在圆x2+y2= 4上， .过点M的圆的切线方程为2x+2y=4, 整理，得x+y-22=0. 解法二：如图. M22) 2 .过点M的圆的切线斜率为-1. /2 .所求圆的切线方程为y-√2=-1· (x-2). 化简，得y=22-x, 即x+y-22=0. 例3：【解析】解法一：直线x-5y+25=0和圆x2+y2=4的 公共点坐标就是方程组B+2,5=0的解 lx2+y2=4 解这个方程组，得=-5，西=0， ly=1,ly2=2. 所以公共点的坐标为(-5,1)，(0,2)， 所以直线x-√5y+25=0被圆x2+y2=4截得的弦长为 /（-5-0)2+(1-2)2=2. 解法二：如图，设直线x-5y+25=0与圆 x2+y2=4交于A,B两点，弦AB的中点为 M,则OM⊥AB(0为坐标原点)， 又10M1=10-0+25L=5. √12+(-5)2 所以1AB1=21AM1=2√T0A2-I0M产=2√22-(3)2 =2. 解法三：同解法一 x-5y+2万=0，消去x, x2+y2=4 得y2-3y+2=0, .y1+2=3,y1y2=2, 0