2.2.3 直线的一般式方程-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（人教A版）

056 2.2.3直线的一般式方程 新课程标准解读 学科核心素养 1.了解直线的一般式方程的形式特征，理解它与二元一次方程的关系 数学抽象 2.能正确地进行直线的一般式方程与特殊形式方程的转化. 数学运算 3.能用直线的一般式方程解决有关问题 逻辑推理 教材梳理 明要点 ●情境导入 根据已知条件的不同，我们可以选择相应的直线方程形式.例如，已知直 [提示] 线上两点，可以写出直线的两点式方程：已知一点和斜率，可以写出直线 所有直线都可以用一 的，点斜式方程.直线方程有没有统一的表达形式呢？ P[提示] 般式方程来表示 e新知初探 [知识点反思1] 知识点一直线的一般式方程 直线的一般式方程中 等号的左侧从左向右 1.直线的一般式方程 一般按含x项，含y 关于x,y的二元一次方程 (其中A,B不同时为0)叫做 项，常数项的先后顺 直线的一般式方程，简称一般式， 序排列；含x项系数 2.二元一次方程与直线的关系 为正数；各项系数尽 量为整数。 在平面直角坐标系中，任意一个二元一次方程都表示直角坐标平面上一条 确定的 ；反之，直角坐标平面上的任意一条直线可以用一个确定 的二元一次方程表示. >[知识点反思1] [知识点反思2] 各种形式的直线方程 知识点二 直线各种形式方程的互化 都可转化为一般式， 点斜式 而一般式方程可以有 y-yi=k (x-x) 斜截式 今y=x+b 条件地转化为斜截式 一般式 两点式 和截距式. Ax +By+C=0 B≠0 991X-x1 截距式 (A,B不同时为0) 29x2-x ABC≠0 5x+兰= （x1≠x2,91≠92) a b [知识点反思3] 与直线Ax+By+C=0 ●[知识点反思2] (A,B不同时为0)平 知识点三利用一般式方程的系数判断两直线位置关系 行的直线方程可设为 设直线1：A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0. Ax+By+C,=0(C1≠ C);与直线Ax+By+ (1)若AB2≠AB1,则两直线相交； C=0(A,B不同时为 (2)平行的充要条件是AB2-AB1=0且B,C2-B2C,≠0（或AC2-A,C1≠0）； 0)垂直的直线方程可 (3)垂直的充要条件是AA2+B,B2=0. ●[知识点反思3] 设为Bx-Ay+C2=0. ●057 自预习自测 1.若方程Ax+By+C=0表示直线，则A,B应满足的条件为 A.A≠0 B.B≠0 C.A·B≠0 D.A2+B≠0 2.斜率为2，且经过点A(1,3)的直线的一般式方程为 题型探究提技能 题型一直线的一般式方程 例1根据下列条件分别写出直线的方程，并化为般式方程 (1)求经过A(-1,5),B(2,1)两，点的直线方程； [方法总结1] 求直线一般式方程的 (2)求在x轴，y轴上的截距分别是-3，-1的直线方程： 策略 (3)求经过点Q(-1,2)且斜率为-2的直线方程.●[方法总结1] 在求直线方程时，设 一般式方程有时并不 简单，常用的还是根 据给定条件选出四种 特殊形式之一求方 程，然后转化为一 般式. 》跟踪训练1 根据下列条件，写出直线方程的一般式： (1)经过点(0,2)，且倾斜角为5： (2)经过点(2,1)，在x,y轴上有不为0且相等的截距， 058 题型二直线一般式方程的应用 例2设直线1的方程为(m2-2m-3)x-(2m2+m-1y+6-2m=0. (1)已知直线1在x轴上的截距为-3，求m的值： [方法总结2] (2)已知直线1的斜率为1，求m的值. >[方法总结2] 含参直线方程的研究 策略 (1)若方程Ax+By+ C=0表示直线，则需 满足A,B不同时 为0. (2)令x=0可得在y 轴上的截距.令y=0 可得在x轴上的截距. 若确定直线斜奉存 在，可将一般式化为 斜截式。 (3)解分式方程要注 意验根 〉跟踪训练2 设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(aeR). (1)若1在两坐标轴上的截距相等，求1的方程； (2)若l不经过第二象限，求实数α的取值范围. .059 题型三利用直线的一般式方程解决平行、垂直问题 例3已知直线：-2y+1=0.:x-(m+1y+1=0,分别求m的取值 [方法总结3] 范围，使得 利用直线方程的系数 (1)L∥L2; 来构造关于参数的方 程，可以避免关于斜 (2)l11L2 ●[方法总结3] 奉是否存在的讨论 )》跟踪训练3 已知直线1的方程为3x+4y-12=0,求满足下列条件的直线'的方程： (1)过点(-1,3)，且与1平行； (2)过点(-1,3)，且与1垂直 随堂检测重反馈 1,直线x+y-1=0的倾斜角是 A.45° B.1359 C.120° D.90° 2.直线3x-y+6=0与两坐标轴所围成三角形的面积为 A6 B.a C.3 D.6 3.已知过点P(0,-1)的直线1的方向向量k=(-1,1),则1的方程为 A.x+y-1=0 B.x+y+1=0 C.x-y-1=0 D.x-y+1=0 4.在△ABC中，A(-3,1),AB边上的高CD所在直线方程为3x+y-11=0,则直线AB的方程为 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[16]起点P3.2代入得2+号=1≥2√品持a0≥24， 从而Sm=b≥12，当且仅当子=子时等号成立， 这时子 从而所求直线方程为2x+3y-12=0. 解法二：由题意知，直线l的斜率k存在且k<O, 则直线1的方程为y-2=k(x-3)(k<0), 且有A3-2.0）80.2-3). ∴sm=2-3)(3-是)=2+(-9)+4] 2{2+2√-9)·6]=×12+2)=2， 当且仅当-9k=4即=-子时，等号成立， 即△AB0的面积的最小值为12， 故所求直线的方程为2x+3y-12=0. 随堂检测重反馈 1B经过两点(5,0)，(2，-5)的直线方程为：'0。=-5 -5-02-51 整理，得5x-3y-25=0.故选B 2.ABDA中当直线的斜率不存在时，其方程只能表示为x= ;B中经过定点A(0,b)的直线x=0无法用y=kx+b表示； D中不经过原点但斜率不存在（或斜率为零）的直线不能用方 程。+古=1表示.只有C正确，故选ABD, 33化为截距式号+3=1，a=2.6=-3,5=71a161= 2×2×3=3. 4.x+2y+6=0或x-4y=0当横、纵截距都是0时，设直线的 方程为y=x.直线过点(-4，-1)，.-1=k×(-4),.k =子，直线的方程为x-4y=0当载距均不为0时，设直线的 方程为品+片=1.直线过点(-4，-1)2+日=1， 2a 解得a=-3,即直线方程为x+2y+6=0.综上，所求直线方 程为x+2y+6=0或x-4y=0. 2.2.3直线的一般式方程 教材梳理 明要点 新知初探 知识点一 1.Ax +By+C=0 2.直线 预习自测 1.D根据直线方程的一般式可知，要使得Ax+By+C=0表示 直线，则A,B不能同时为零，即A2+B2≠0 2.2x-y+1=0由直线点斜式方程可得y-3=2(x-1),化为 一般式为2x-y+1=0. 题型探究提技能 创1：【解析】（①）由两点式方程，可知所求直线的方程为 x+1 2+1' 21 化为一般式方程为4x+3y-11=0. (2)由载距式方程，可知所求直线的方程为产+片=山， 化为一般式方程为x+3y+3=0. (3)因为经过点Q(-1,2), 由点斜式方程可得：y-2=-2(x+1), 化为一般式方程为2x+y=0. 跟踪训练1：【解析】(1)由题意可知该直线的斜率为k= tanT=√5，在纵轴上的截距为b=2, 3 所以该直线方程为y=3x+2,即3x-y+2=0. (2)由题意可设该直线在两坐标轴的截距为m(m≠0)， 由截距式可得其方程为工+义=1， mm 代入点2.)将品+六=1m-3+y-3=0 例2：【解析】(1)由题意知m2-2m-3≠0，即m≠3且m≠ -1, 令y=0,得x= 2m-6 m2-2m-3 之2026-3于3，得m日-子或m=3(含去) m=-3 5 (2)由题意知，2m+m-1≠0，即m≠2且m≠-1. 由直线1化为斜截式方程 m2-2m-3.+6-2m 得y-2m2+m-+2m+m-' + 则m2,-2m-3=1, 2m2+m-1 得m=-2或m=-1(舍去)..m=-2. 跟踪训练2：【解析】(1)当直线1过原点时，直线！在x轴和y 轴上的截距均为0， .a=2,此时直线l的方程为3x+y=0; 当直线l不过原点时，a≠2，直线l在x轴和y轴上的截距分 别为9-2（a≠-1），4-2， a+1 0-2 a+1 =a-2,解得a=0或a=2(舍去)， .直线1的方程为x+y+2=0. 综上所述，直线1的方程为3x+y=0或x+y+2=0. (2)将l的方程化为y=-(a+1)x+a-2, 1不经过第二象限， {g0路a-1 综上可知，实数a的取值范围是(-0，-1]. 例3：【解析】(1)因为直线l1:mx-2y+1=0,l2:x-(m+1)y +1=0满足11∥12， 质以0”1200 m2+m-2=0,解得m=-2. 即 m≠1， 所以当m=-2时，l1∥12. (2)因为直线1：mx-2y+1=0, 42:x-(m+1)y+1=0满足411l2, 5 所以m+2(m+1)=0,解得m=-子 所以当m=一号时，416 跟踪训练3：【解析】(1)由'与1平行，可设'的方程为3x+4y +m=0. 将点(-1,3)代入上式得m=-9. .所求直线的方程为3x+4y-9=0. (2)由'与1垂直，可设1'的方程为4x-3y+n=0. 将(-1,3)代入上式得n=13. .∴.所求直线的方程为4x-3y+13=0 随堂检测重反馈 1.B由x+y-1=0得y=-x+1,故斜率为-1，则倾斜角为 135°.故选B. 2.D令x=0,则y=6;令y=0,则x=-2;所以直线与两坐标轴 所围成三角形的面积为号×6×2=6，故选D. 3.B直线1的方向向量k=(-1,1),则l的斜率为-1，又直线 l过点P(0,-1),l的方程为y=-x-1,即x+y+1=0.故 选B. 4.x-3y+6=0由题意，CD所在直线方程为3x+y-11=0,即 y=-3x+11,斜率为-3，所以直线AB的斜率为3，所以直线 8的方程为y-1=了(x+3),即-3y+6=0 2.3直线的交点坐标与距离公式 2.3.1两条直线的交点坐标 2.3.2两点间的距离公式 教材梳理 明要点 新知初探 知识点 1.唯一解 知识点二 1.√(-1)+(3-y) 2.(1)2+7(2)1x1-x1(3)y1-21 预习自测 1B解方程组2xy-1=0,得x=2, x+3y-11=0, 得{3，故两条直线的交点坐 标为(2,3) 2.B由两点间的距离公式得IAB1=√(2-3)2+(5-7) =5」 题型探究提技能 7 例1：【解析】(1)解方程组3x-y+4=0 【x=-5 得 x+3y+2=0, y=-5, 所以这两条直线相交，文点整标是(-子，占）】 (2)由l2:9x-15y+30=0化为方程3x-5y+10=0可知， 所以3x-5y+10=0 9x-15y+30=0有无数多个解， 故l1:3x-5y+10=0与l,:9x-15y+30=0重合. -21 陈1(-到西e x=2a+3 7 s2 由 7 2a+3 7 0>-2所以-子<a<2 3 得 <0, la<2. 例2：【解析】(1)由(a-1)x-y+2a-1=0,得-x-y-1+ a(x+2)=0. 所以已知直线恒过直线-x-y-1=0与直线x+2=0的 交点 年方程{201-08之 ly=1. 所以方程(a-1)x-y+2a-1=0表示的直线恒过定点(-2,1). 2x-3y-3=0,得 x=-5 (2)解法一：解方程组 x+y+2=0, 7 y=- 5 所以两直线的交点坐标为(-子，-子）】 又所求直线与直线3x+y-1=0平行， 所以所求直线的斜率为-3. 故所求直线方程为y+子=-3+子）。 7 即15x+5y+16=0. 解法二：设所求直线方程为(2x-3y-3)+入(x+y+2)=0, 即(2+λ)x+(入-3)y+(2λ-3)=0.(*) 由于所求直线与直线3x+y-1=0平行， 「(2+入)×1-(A-3)×3=0, 所以有{2+A)×(-D-(2A-3)×3≠0， 得A=号代入()式得(2+号)+（侵-3）+(2x号 -3=0, 即15x+5y+16=0. 跟踪训练2：(1)C(2)4x-2y+11=0（1)由kx+y-6k+2= 0,得kx-6)+y+2=0,则-6=0·得任=6，所以P的 y+2=0, y=-2, 坐标为(6，-2).故选C. (2)设所求直线方程为(4x+2y+5)+A(3x-2y+9)=0,即 (4+3A)x+(2-2)y+(5+9A)=0,(*)由于所求直线与 直线x+2y+1=0垂直，所以(4+3入)×1+(2-2入)×2=0， 解得入=8，代入(*)式得所求直线方程为4x-2y+11=0. 例3：【解析】(1)A(-5,-1),B(-1,1),C(-2,3), 1+11 3-1 3+14 ka=-1+5=2,hc=2+=-2,kc=2+5=3, ∴.kAB·kBC=-1,∴.AB⊥BC, 又1AB1=√(-1+5)2+(1+1)2=25， 1BC1=(-1+2)2+(1-3)7=5, ∴.△ABC为直角三角形. (2)证明：如图，以BC的中点为原点 O,BC所在的直线为x轴，建立直角 坐标系. 设A(0,a),B(-b,0）,C(b,0),D(m, 0)(-b<m<b). B 6