2.4.1 圆的标准方程-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（人教A版）

066 24 圆的方程 2.4.1圆的标准方程 新课程标准解读 学科核心素养 1.会用定义推导圆的标准方程并掌握圆的标准方程的特征 数学运算、数学抽象 2.能根据已知条件求圆的标准方程 数学运算 3.掌握点与圆的位置关系的判断 数学运算、逻辑推理 教材梳理 明要点 ●情境导入 “圆”是中国文化的一个重要原型，揭示中国艺术 生命秘密的不可忽视的因素.天圆地方是中国传统 [提示] 文化思想，有圆有方，以圆为范，规矩成方圆，这是 在平面直角坐标系中 中国传统思想文化的重要内容，同时圆在社会经济 用圆的方程来表 科学等方面都起重要发展作用.在数学中，定义平 示圆. 面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆.圆 心确定圆的位置，半径确定圆的大小.如何用代数 的方法来表示圆呢？ D[提示] [知识点反思1] e新知初探 圆的标准方程中含有 知识点一圆的标准方程 三个参数a,b,r,只要 在平面直角坐标系中，以 为圆心，以r为 的圆的标准方程 求出a,b,r,圆的方程 为(x-a)2+(y-b)2=r2. [知识点反思1] 就确定了，因此，确定 圆的标准方程需要三 知识点二点与圆的位置关系 个独立条件，其中圆 点P(x,yo),圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其圆心为C(a,b),半径 心是定位条件，半径 为r,设d=IPC1= 是定形条件 位置关系 图示 几何法：利用距离判断 代数法：利用方程判断 (x0-a)2+(y。-b)2 点在圆外 3 [知识点反思2] 由点与圆的位置关系 确定参数的范围时， (x0-a)2+(y。-b)2 可以根据点、与圆的位 点在圆上 d 置关系将方程中的等 号变为“<”“>” 或“=”来求解 (-a)2+(yo-b) 点在圆内 3 ●[知识点反思2] 067 ⑨预习自测 1.(1)以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是 A.x2+y2=2 B.x2+y2=4 C.(x-2)2+(y-2)2=8 D.x2+y2=√2 (2)圆C:(x-2)2+(y+1)2=3的圆心坐标是 A.(2,1) B.(2,-1) C.(-2,1) D.(-2,-1) 2.点P(-2,-2)和圆x2+y2=4的位置关系是 A.在圆上 B.在圆外 C.在圆内 D.以上都不对 题型探究提技能 题型一求圆的标准方程 例1.求圆心在直线x-2-3=0上，且过点A(2,-3),8(-2,-5)的圆的 方程. P[方法总结1] [方法总结1] (1）待定系数法求圆 的标准方程的一般 步骤 设方程 设所求圆的方程为 (x-a)2+(y-b} 列方程组 由已知条件，建 立关于a,b,r的 方程组 解方程组 解方程组，求出Q b,r 得方程 将a,b,r代入所 设方程，得所求圆的 标准方程 (2）在利用几何性质 求圆的方程时，有时 用到中点坐标公式、 两点间距离公式，有 〉跟踪训练1 时还用到平面几何知 识，如“弦的中垂线 (1)已知圆E经过三点A(0,1),B(2,0),C(0,-1),且圆心在x轴的正半 必过圆心”“两条弦 轴上，则圆E的标准方程为 ( 的中垂线的交点必为 -+-空 B++ 圆心”等. C-)+y=为 16 D-+= 4 (2)经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x+3y+1=0上的圆的 标准方程 068 题型二 判断点与圆的位置关系 例2)点P,3)与圆+y-24的位置关系是 () A.在圆外 B.在圆内 C.在圆上 D.不确定 (2)已知a,b是方程x2-x-√2=0的两个不等的实数根，则点P(a, b)与圆C:x2+y2=8的位置关系是 ) A.点P在圆C内 B.点P在圆C外 C.点P在圆C上 D.无法确定 [方法总结2] P[方法总结2] 判断点与圆位置关系 〉跟踪训练2 的两种方法 已知，点A(1,2)不在圆C:(x-a)2+(y+a)2=2a2的内部，求实数a的取 (1)几何法：利用点 到圆心的距离与半径 值范围。 比较大小 (2)代数法：把点的 坐标代入圆的标准方 程比较式子两边的大 小，并作出判断. 随堂检测重反馈 1.圆(x-1)2+(y+√3)2=1的圆心坐标是 A.(1,5) B.(-1,5) C.(1,-3) D.(-1,-3) 2.圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的标准方程是 A.x2+(y-2)2=1 B.x2+(y+2)2=1 C.x2+(y+3)2=1 D.x2+(y-3)2=1 3.若点P(5a+1,12a)在圆(x-1)2+y2=1的外部，则a的取值范围为 4.已知直线1过圆x2+(y-3)2=4的圆心，且与直线x+y+1=0垂直，则直线1的方程 是 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[19]随堂检测重反馈 1.D 2AB点M到直线1的距离d=m+4-业=3，所以m=0 √m2+1 或是 3.D因为3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行，所以号3 受，所以m=4直线6x+4y+1=0可以转化为3x+2y+ 2 0= 0,由两条平行直线间的距离公式可得d= - √32+22 2713 /1326 4.C易知直线3x+4y-12=0与6x+8y+5=0平行，故IPQI 5 2 -+12 的最小值即两平行直线间的距离，故d= 129 5 10 2.4圆的方程 2.4.1圆的标准方程 教材梳理明要点 新知初探 知识点一 (a,b)半径 知识点二 √(x-a)2+(yo-b)2>>==<< 预习自测 1.(1)B(2)B(1)以原点为圆心，2为半径的圆，其标准方程 为x2+y=4. (2)结合圆的标准方程可知，圆C的圆心坐标为(2，-1)， 2.B将点P的坐标代入圆的方程，有(-2)2+(-2)2=8>4， 故点P在圆外.故选B. 题型探究提技能 例1：【解析】解法一（直接法）：设点C为圆心， :点C在直线x-2y-3=0上， .可设点C的坐标为(2a+3,a) 连接CA,CB. :该圆经过A,B两点，.ICAI=ICBI, .√(2a+3-2)2+(a+3)7=√(2a+3+2)2+(a+5)7,解 得a=-2, .圆心为C(-1,-2),半径r=√0. 故所求圆的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=10. 解法二（待定系数法）：设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y -b)2=2, r(2-a)2+(-3-b)2=r2, a=-1 由题设条件知{(-2-a)2+(-5-b)2=r2,解得b=-2, La-2b-3=0. 2=10. 故所求圆的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=10. 解法三（几何性质法）：连接AB,则线段AB的中点的坐标为 (0,-4), 2 直线4B销务率如=”日 .弦AB的垂直平分线的斜率为k=-2, .∴.弦AB的垂直平分线的方程为y+4=-2x,即2x+y+4 =0. 又圆心是直线2x+y+4=0与直线x-2y-3=0的交点， 由2x++4=0得=-L, x-2y-3=0,ly=-2, .圆心坐标为(-1，-2)， ∴.圆的半径r=√-1-2)2+(-2+3)2=√10 故所求圆的标准方程为(x+1)2+（y+2)2=10. 跟踪训练1：(1)C(2)(x-4)2+(y+3)2=25(1)因为圆E 经过点A(0,1),B(2,0),所以圆E的圆心在线段AB的垂直 平分线y-2=2(x-1)上.又圆E的圆心在x轴的正半轴 上，所以圆E的圆心坐标为（子，0则圆E的半径为B1 =√2-)+0-0=子，所以圆E的标准方程为 -16 (2)设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=2,则 ra2+b2=r2, ra=4. (1-a)2+(1-b)2=2,解得b=-3,.圆的标准方程是 2a+3b+1=0, lr=5. (x-4)2+(y+3)2=25. 例2：(1)B(2)A(1)12+32=10<24,故P在圆内，故选B. (2)由题意，a+b=1,ab=-√2，a2+b2=(a+b)2-2ab=1 +22<8, .点P在圆C内，故选A 跟踪训练2：【解析】由题意，得点A在圆C上或圆C的外部， 之(1-a)2+(2+a)2≥2a2心2a+5≥0，a≥-2，又0 ≠0， a的取值范围是[- 30u(0,+a) 随堂检测重反馈 1.C由圆的标准方程(x-1)2+(y+3)2=1,得圆心坐标为 (1,-3) 2.A解法一（直接法）：设圆的圆心为 C(0,b),则√(0-1)2+(b-2)7=1, .b=2,.圆的标准方程是x2+(y-2) (1,2) =1. 解法二（数形结合法）：作图（如图），根 据点(1,2)到圆心的距离为1，易知圆心 O1 为(0,2)，故圆的标准方程是x2+(y 2)2=1. P在圆外，(5a+1-1)2 +(12a)2>1,169a2>1,d>60a>5或a<-d 1 4.x-y+3=0圆x2+(y-3)2=4的圆心为点(0,3)，又因为 直线l与直线x+y+1=0垂直，所以直线1的斜率k=1.由点 斜式，得直线l的方程为y-3=x-0,化简得x-y+3=0.