2.2.2 直线的两点式方程-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（人教A版）

053 2.2.2直线的两点式方程 新课程标准解读 学科核心素养 1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的两点式方程. 数学抽象、数学运算 2.了解直线的截距式方程的形式特征及适用范围. 数学抽象、逻辑推理 教材梳理 明要点 ●情境导入 [提示] 我们知道已知两点可以确定一条直线.在平面直角坐标 可以先求出直线的斜 系中，已知两，点的坐标，如何表示这条直线的方程呢？ 奉，写出直线的点斜 式方程；也可直接写 P[提示] 出直线的两点式 e新知初探 方程. 知识点一直线的两点式方程 [知识点反思1] (1)对于两，点式中的 名称 已知条件 示意图 方程 使用范围 两点，只要是直线上 个y 的两个不同点即可， P1（x1,y1）, 两点式方程与这两个 两 P2(名，y2),其 斜率存在 点的顺序无关. 点 式 中x1≠x2, 0 且不为0 (2)把直线的两点式 y1≠y2 方程化为(x2-x1)(y -y1)=(y2-y1)(x- x1),则该方程表示过 >[知识点反思1] 平面内任意不同两点 知识点二 直线的截距式方程 (x1,1),（x2,2) 名称 已知条件 示意图 方程 使用范围 的直线. [知识点反思2] 截 在x,y轴上的 (0,b) 斜率存 在且不 (1)如果已知直线在 距 截距分别为a, (a,0) 两坐标轴上的截距， 式 b且a≠0，b≠0 为0，不 过原点 可以直接代入截距式 求直线的方程. (2)将直线的方程化 ●[知识点反思2]」 为截距式后，可以观 自预习自测 察出直线在x轴和y 1.过(1,2)，(5,3)的直线方程是 ) 轴上的截距，这一点 g日5- -子-5周 常被用来作图。 (3)与坐标轴平行和 Cy-2-x-3 D.x-2-y-3 过原点的直线都不能 5-15-3 5-22-3 用截距式表示. 2.在x轴、y轴上的截距分别是-2,3的直线方程为 ( (4)过原点的直线的 横、纵截距都为零 A+= B-方=1 c-1 054 题型探究提技能 题型一直线的两点式方程 例1已知△1c的三个顶点分别为A(0,4),BX-2,6),C(-8,0). (1)求AB所在直线的方程； [方法总结1] 利用两点式求直线的 (2)求AC边上的中线BD所在直线的方程； 方程 (3)求经过AB和AC的中点的直线的方程. ●[方法总结1] (1)首先要判断是否 满足两点、式方程的适 用条件；若满足即可 考虑用两点式求方 程，书写结果要进行 化简. (2)在斜奉存在的情 况下，也可以先应用 斜奉公式求出斜奉， 》跟踪训练1 再用点斜式写方程. 已知三角形的顶点是A(1,3),B(-2,-1),C(1,-1),求这个三角形三边 所在直线的方程. [方法总结2] 利用截距式求直线方 程时需注意 (1)如果问题中涉及 题型二直线的截距式方程 例2已知直线过点P(2,3),且在两坐标轴上的截距E的绝对值相等，求直线 直线与两坐标轴相 交，则可选用直线的 的方程 P[方法总结2] 截距式方程，用待定 系数法确定其系数 即可. (2)如果题目中出现 直线在两坐标轴上的 “截距相等”“截距 互为相反数”等条件 》跟踪训练2 时，采用截距式求直 已知直线1过点(1,2)，且在纵坐标轴上的截距为横坐标轴上的截距的两 线方程，一定要注意 倍，求直线1的方程. 考虑“零截距”的 情况 .055 题型三截距式方程的应用 例3已知直线1过点P4,3), (1)若直线1在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍，求直线1的 [方法总结3] 直线的截距式方程是 方程； 两点式方程的特殊情 (2)若直线1与x轴正半轴交于点A,与y轴正半轴交于点B,求AP· 况（两个点是直线与 PB的最小值及取得最小值时直线1的方程. >[方法总结3] 坐标轴的交点，记为 (a,0),(0,b)),用 它来画直线以及求直 线与坐标轴围成的图 形面积或周长时较为 方便.运用直线的截 距式方程可以快速得 到直线与坐标轴两交 点横纵坐标关系式， 》跟踪训练3 进而应用基本不等 式、二次函数等方法， 已知直线1过点P(3,2),且与x轴、y轴的正半轴分别交 求得问题的最大（或 于A,B两，点，如图所示，求△AB0的面积的最小值及此时 最小)值，需注意变量 直线1的方程. 的限制条件， 随堂检测 重反馈 1.经过两点(5,0)，(2，-5)的直线方程为 A.5x+3y-25=0 B.5x-3y-25=0 C.3x-5y-25=0 D.5x-3y+25=0 2.(多选)下列命题中不正确的是 A.经过点P(x,yo)的直线都可以用方程y-y。=k(x-x)表示 B.经过定点A(0,b)的直线都可以用方程y=x+b表示 C.经过任意两个不同点P(x1,y),P2(x2,2)的直线都可用方程(x2-x)(y-y1)=(y2-y)· (x-x)表示 D不经过原点的直线都可以用方程后+片=1表示 3直线子一子=1与坐标轴围成的图形面积为 4.直线1过点(-4，-1)，且横截距是纵截距的两倍，则直线1的方程为 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[15](2)由题意可知，k1=-1,k2=a2-2,4∥l2, 式方程为品引 ,02-2=-1解得a=-1,故当a=-1时，直线y=- 2a≠2， 整理，得4x-3y+5=0,这就是边AB所 +2a与直线42：y=(a2-2)x+2平行 在直线的方程. 直线AC垂直于x轴，故AC边所在直线 例那：(2,3)将直线的方程转化为点斜式得y-3=k(x-2),所 -2 0 的方程为x=1. 以该直线过定点(2,3). 直线BC平行于x轴，故BC边所在直线 B 跟踪训练3：(0,5)把方程y=kx+5转化为y-5=k(x-0), 的方程为y=-1. 根据点斜式方程可知定点是(0,5) 例2：【解析】设直线与两坐标轴的交点为(a,0),(0,b). 随堂检测重反馈 1.D:直线I的倾斜角为60°，.k=tan60°=3，.直线l的 ()当山0时，直线方程为名+古=1 方程为y=√3x-2. 由点P在比直线上，所以子+=1,0 2B由y+头=？x-D,得y=x-91在y轴上的截距 又由已知得Ial=Ib1,② 联立方程①②可得a=b=5或a=-1,b=1, 为-9. 所以直线方程为x+y-5=0或x-y+1=0. 3.B:直线经过第一、三、四象限，∴.图形如图所示，由图知，k (2)当a=b=0时，直线过原点和P(2,3),易知直线方程为3x >0,b<0. -2y=0. 综上所述，所求直线方程为x+y-5=0或x-y+1=0或3x -2y=0. 跟踪训练2：【解析】(1)当直线过原点时，由直线经过点(1,2)， 所以所求直线方程为y=2x,整理，得2x-y=0. 4.-1由题意可知a·(a+2)=-1,解得a=-1. (2)当直线不过原点时，设直线L的方程为后+六=山， 2.2.2直线的两点式方程 代入点1,2)的坐标得。+号=1，解得0=2， 教材梳理 明要点 此时直线1的方程为号+子=1，整理得2x+y-4=0 新知初探 故直线1的方程为2x-y=0或2x+y-4=0. 知识点一 例3：【解析】(1)当直线1过原点时，符合题意 y-y1x一x1 3 Y2-Y1 x2-x1 则-子所以y=子，即3数4=0 知识点二 当直线不过原点时，设b为直线I的纵截距，直线l的方程为 告+片= 嘉+片=l,且过点P4,3), 预习自测 1B因为所求直线过点1,2，(5,3)，所以子--即 所以去+子=1，解得6=5,0+方=山，即x+2y-10=0, 故直线1的方程为3x-4y=0或x+2y-10=0. y-2x-1 3-2=5-1 (2)设A(a,0),B(0.6),则直线1的方程为产+名=1(a>0, 2.C因为直线在x轴、y轴上的截距分别是-2,3，所以直线方 程是2+方=1，即号-之=1.故选C 6>0,直线1过点P4,3),所以子+是-1 又Ap=(4-a,3),PB=(-4,b-3), 题型探究提技能 所以A.PB=-16+4a+3b-9=4a+3b-25=(4a+ 例1：【解析】(1)由A(0,4),B(-2,6)可得AB所在直线的两 点式方医后子8。即+y-4=0 36)(任+2）-25 (2)设AC边上的中点为D(x,%),由中点坐标公式可得x= =16+9+2+22542受-24 -4,%=2,所以BD所在直线的两点式方程为)-6=x+2 2-6 =-4+2 当且仅当2边=120，即a=b=7时等号成立，故市.P店的最 b 即2x-y+10=0. 小值为24， (3)易知AB的中点的坐标为(-1,5)，AC的中点的坐标为 (-4,2), 直线1的方程为号+片=1，即直线1的方程为x+)y-7=0 所以所京直我的方程为衫号品即-y6=0 跟踪训练3：【解析】解法一：设直线方程为产+古=1(a>0, 跟踪训练1：【解析】直线AB过A(1,3),B(-2,-1),其两点b>0), -214 托点P3.2代入将子+号=1≥2得仙≥24. 化为-般式方程为4x+3y-11=0. 从而Sm=b≥12，当且仅当子=子时等号成立， (2)由载距式方程，可知所求直线的方程为高3+片=1， 化为一般式方程为x+3y+3=0. 这时子 (3)因为经过点Q(-1,2), 由点斜式方程可得：y-2=-2(x+1), 从而所求直线方程为2x+3y-12=0. 化为一般式方程为2x+y=0. 解法二：由题意知，直线l的斜率k存在且k<O, 跟踪训练1：【解析】(1)由题意可知该直线的斜率为k= 则直线1的方程为y-2=k(x-3)(k<0), 且有A3-2.0）80.2-3). tanT=√5，在纵轴上的截距为b=2, 3 所以该直线方程为y=3x+2,即3x-y+2=0. 5m=2-3)(3-)=2+(-)+ (2)由题意可设该直线在两坐标轴的截距为m(m≠0)， {2+2√-)·6]=×(12+2)=2， 由截距式可得其方程为x+义=1， mm 当且仅当-9=即=-子时，等号成立。 代入点2.08名+合=1m=9r+y-30 例2：【解析】(1)由题意知m2-2m-3≠0，即m≠3且m≠ 即△AB0的面积的最小值为12， -1, 故所求直线的方程为2x+3y-12=0. 2m-6 随堂检测重反馈 令y=0,得x= m2-2m-3 1B经过两点(5,0)，(2，-5)的直线方程为：Y0=-5 2m-6 -5-02-51 “m2-2m-3-3,得m=- 弓或m=3(合去). 整理，得5x-3y-25=0.故选B. 2.ABDA中当直线的斜率不存在时，其方程只能表示为x= .m=-3 ;B中经过定点A(0,b)的直线x=0无法用y=kx+b表示； D中不经过原点但斜率不存在（或斜率为零）的直线不能用方 (2)由题意知，2m2+m-1≠0，即m≠2且m≠-1. 程。+古=1表示.只有C正确，故选ABD, 由直线（化为斜截式方程 m-2m-3.,6-2m 33化为截距式号+方=1，a=2,6=-3.5=71a11b1= 得y-2m2+m-+2m+m- + 则m2m-3=1, 2×2×3=3. 2m2+m-1 得m=-2或m=-1(舍去).m=-2. 4x+2y+6=0或x-4y=0当横，纵截距都是0时，设直线的跟踪训练2：【解析】(1)当直线1过原点时，直线1在x轴和y 方程为y=x.直线过点(-4，-1)，.-1=k×（-4),.k 轴上的截距均为0， =子，直线的方程为x-4=0当裁距均不为0时，设直线的 .a=2,此时直线l的方程为3x+y=0; 方程为密+片=1直线过点(-4，-1)心2若+1 当直线I不过原点时，a≠2，直线l在x轴和y轴上的截距分 2a 解得a=-3,即直线方程为x+2y+6=0.综上，所求直线方 别为：子e-0-2 程为x+2y+6=0或x-4y=0. :-2 a+1=a-2,解得a=0或a=2(合去)， 2.2.3直线的一般式方程 .直线1的方程为x+y+2=0. 综上所述，直线I的方程为3x+y=0或x+y+2=0. 教材梳理 明要点 (2)将l的方程化为y=-(a+1)x+a-2, 新知初探 1不经过第二象限， 知识点一 1.Ax+By+C=0 ÷（a)≥0解得a≤-1 la-2≤0， 2.直线 预习自测 综上可知，实数a的取值范围是(-o,-1]. 例3：【解析】(1)因为直线l1:mx-2y+1=0,2:x-(m+1)y 1.D根据直线方程的一般式可知，要使得Ax+By+C=0表示 +1=0满足1∥2， 直线，则A,B不能同时为零，即A2+B≠0. 2.2x-y+1=0由直线点斜式方程可得y-3=2(x-1),化为 所以-m(m+1)-1×(-2)=0, -(m+1)-1×(-2)≠0， 一般式为2x-y+1=0. 题型探究提技能 m2+m-2=0,解得m=-2, 即 m≠1， 创1：【解析】（①）由两点式方程，可知所求直线的方程为 所以当m=-2时，l1∥12 x+1 (2)因为直线11：mx-2y+1=0, 2+1' l2:x-(m+1)y+1=0满足41⊥l2, —215