2.3.3 点到直线的距离公式 2.3.4 两条平行直线间的距离(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版)

该高中数学导学案聚焦点到直线的距离公式及两条平行直线间的距离，通过仓库到铁路的实际问题情境导入，以坐标法和向量法推导公式为学习支架，引导学生经历公式形成过程，连接已有知识与新知。 资料注重数学运算与逻辑推理，例题训练从基础应用到综合最值问题层次分明，规律方法总结清晰，助力学生掌握解题技巧，培养直观想象，便于自主学习与能力提升，符合新课标核心素养要求。

2.3.3　点到直线的距离公式 2.3.4　两条平行直线间的距离 课标要求 情境导入 1.经历用坐标法、向量法推导点到直线的距离公式的运算过程（数学运算、逻辑推理）． 2.掌握点到直线的距离公式，并能灵活应用（数学运算、直观想象）． 3.理解两条平行线间的距离公式的推导，会求两条平行直线间的距离（逻辑推理、数学运算）． 在铁路的附近，有一大型仓库．现要修建一条公路与之连接起来，易知沿仓库垂直于铁路方向所修的公路最短．将铁路看作一条直线l，仓库看作点P．怎样求得仓库到铁路的最短距离呢？ 知识点一　点到直线的距离公式 问题　（1）如图，在平面直角坐标系中，已知点P（x0，y0），直线l：Ax＋By＋C=0（A≠0，B≠0），怎样求出点P到直线l的距离？ （2）向量是解决距离、角度问题的有力工具，如图，怎样用向量方法求点P（x0，y0）到直线l的距离？ 1.定义：点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是　　　　． 2.公式：点P（x0，y0）到直线l：Ax＋By＋C=0（A，B不同时为0）的距离d=　　　　． 提醒：（1）利用公式时直线的方程必须是一般式；（2）若直线方程为Ax＋By＋C=0，则当A=0或B=0时公式也成立． （1）（链接教材P77例5）已知点P（－1，2），则点P到直线l1：y＋3=0，l2：3x－4y＋6=0的距离分别为（　　） A．5，1　 B．1，1 C．5，3　 D．3，1 （2）（2026•苏州月考）点P在x轴上，且到直线3x－4y＋6=0的距离为6，则点P的坐标为　　　　． 听课记录　　 　　 规律方法 点到直线距离的求法 （1）求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可； （2）对于与坐标轴平行（或重合）的直线x=a或y=b，求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成d=|x0－a|或d=|y0－b|． 训练 1　（1）已知坐标平面内两点A（3，2）和B（－1，4）到直线mx＋y＋3=0的距离相等，则实数m的值为　　　　； （2）已知△ABC的三个顶点分别为A（－1，3），B（－3，0），C（1，2），则△ABC的面积S=　　　　； （3）已知直线l经过点（－2，3），且原点到直线l的距离等于2，则直线l的方程为　　　　． 知识点二　两条平行直线间的距离公式 问题　怎样求两条平行直线Ax＋By＋C1=0与Ax＋By＋C2=0间的距离？ 两条平行直线间的距离：两条平行直线Ax＋By＋C1=0与Ax＋By＋C2=0（C1≠C2）间的距离d=　　　　　　． （1）（链接教材P78例7）两平行直线l1：x－2y－=0，l2：4y－2x－3=0之间的距离为（　　） A．　　 B．3　　 C．　　 D．2 （2）与直线2x＋y－1=0的距离等于的直线方程为（　　） A．2x＋y=0 B．2x＋y－2=0 C．2x＋y=0或2x＋y－2=0 D．2x＋y=0或2x＋y＋2=0 听课记录　　 　　 规律方法 求两条平行直线间的距离的方法 （1）转化法：将两条平行直线间的距离转化为其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离．因为结果与点的选择无关，所以选点时，常选取一个特殊点，如直线与坐标轴的交点等，以便于运算； （2）公式法：直接利用公式计算，但要注意两直线方程中x，y的系数对应相等． 训练 2　（1）（2026•云浮月考）已知两平行直线x＋2y－5=0与2x＋4y＋m=0间的距离为 ，则m=（　　） A．0或－10　 B．0或－20 C．15或－25　 D．0 （2）在梯形ABCD中，|CD|=2|AB|=6，且AB和CD所在直线的方程分别是x＋2y－3=0与x＋2y＋7=0，试求梯形ABCD的面积． 提能点　距离的最值问题 （1）已知点P（－2，3），若点Q是直线l：3x＋4y＋3=0上的动点，则|PQ|的最小值为（　　） A．2　 B． C．　 D． （2）若直线2x＋y－3=0与直线4x＋2y＋a=0之间的距离不大于，则实数a的取值范围是　　　　． 听课记录　　 　　 规律方法 1.点在直线上运动时，与直线外一点最小距离为垂线段长度；直线围绕点转动时，与直线外一点最大距离为两定点距离． 2.平行线间的距离是分别在两条直线上的两个动点之间距离的最小值． 提醒：注意数形结合思想的应用． 训练 3　（1）P，Q分别为直线3x＋4y－12=0与6x＋8y＋6=0上任一点，则|PQ|的最小值为（　　） A.2　　B.3 C.4　　D.5 （2）已知直线l：（3m＋2）x＋（2m＋1）y=m＋2，试求点A（－1，－1）到直线l的距离的取值范围． 1.点A（0，－4）到直线y=2－x的距离为（　　） A．1　　 B．2　　 C．3　　 D．4 2.直线－=1与y=x＋1之间的距离为（　　） A．　 B．　　 C．　 D．24 3.直线y=2x与y=mx＋n（n＞0）平行且距离为，则mn=　　　　． 4.点（0，－1）到直线y=k（x＋1）距离的最大值为　　　　． 完成课后作业　第二章　2.3　2.3.3　2.3.4 答案 2.3.3　点到直线的距离公式 2.3.4　两条平行直线间的距离 知识点一　 导入新知 问题　（1）提示：点P到直线l的距离就是点P到直线l的垂线段的长，如图，过点P作直线l的垂线为l′，垂足为Q，由l′⊥l可知l′的斜率为，∴l′的方程为y－y0=（x－x0），与l联立方程组，解得交点Q（，）， ∴|PQ|=． （2）提示：可以看作在直线l的垂线上的投影向量，直线l：Ax＋By＋C=0（AB≠0）的斜率为－，所以m=（B，－A）是它的一个方向向量． ①由向量的数量积运算可求得与直线l垂直的一个单位向量n=•（A，B）． ②在直线l上任取点M（x，y），可得向量=（x－x0，y－y0）． ③|PQ|=||=|•n|=． 学习新知 1.垂足　2. 【例 1】　（1）A　（2）（8，0）或（－12，0） 解析：（1）点P（－1，2）到直线l1：y＋3=0的距离d1==5（也可利用d1=|2－（－3）|=5求得）．点P（－1，2）到直线l2：3x－4y＋6=0的距离为d2==1. （2）设点P的坐标为（x，0），则=6，解得x=8或x=－12.∴点P的坐标为（8，0）或（－12，0）． 训练 1　（1）－6或　（2）4　（3）x＋2=0或5x＋12y－26=0　解析：（1）由=，得|3m＋5|=|m－7|，∴m=－6或m=． （2）由两点间的距离公式得|BC|==2，BC所在直线的方程为=，即x－2y＋3=0.点A到直线BC的距离d==，所以△ABC的面积S=|BC|•d=×2×=4. （3）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=－2，符合原点到直线l的距离等于2；当直线l的斜率存在时，设所求直线l的方程为y－3=k（x＋2），即kx－y＋2k＋3=0，由原点到直线l的距离d==2，得k=－，即直线l的方程为5x＋12y－26=0.综上，直线l的方程为x＋2=0或5x＋12y－26=0. 知识点二　 导入新知 问题　提示：在直线Ax＋By＋C1=0上任取一点P（x0，y0），点P（x0，y0）到直线Ax＋By＋C2=0的距离，就是这两条平行直线间的距离． 学习新知 【例 2】　（1）A　（2）C　解析：（1）直线l1：x－2y－=0⇔2x－4y－2=0，直线l2：4y－2x－3=0⇔2x－4y＋3=0，两平行直线之间的距离d==．故选A． （2）设与直线2x＋y－1=0的距离等于的直线方程为2x＋y＋m=0，依题意，得=，解得m=0或m=－2．∴与直线2x＋y－1=0的距离等于的直线方程为2x＋y=0或2x＋y－2=0. 训练 2　（1）B　∵2x＋4y＋m=0可化为x＋2y＋=0，∴两平行直线间的距离为==，解得m=0或m=－20. （2）解：由AB：x＋2y－3=0，CD：x＋2y＋7=0知AB∥CD，所以梯形ABCD的高即为直线AB和CD间的距离d==2，所以梯形ABCD的面积为（|AB|＋|CD|）•d=×（3＋6）×2=9． 提能点　 【例 3】　（1）B　（2）［－16，4］　解析：（1）由点P（－2，3），点Q是直线l：3x＋4y＋3=0上的动点，则|PQ|的最小值为点P到直线l的距离，所以|PQ|的最小值为d==．故选B． （2）直线2x＋y－3=0可化为4x＋2y－6=0，则两直线之间的距离d=≤，即|a＋6|≤10，解得－16≤a≤4.所以实数a的取值范围为［－16，4］． 训练 3　（1）B　6x＋8y＋6=0可化为3x＋4y＋3=0，则两直线平行，|PQ|的最小值即为两平行线之间的距离，故|PQ|min===3. （2）解：直线l的方程可变形为m（3x＋2y－1）＋（2x＋y－2）=0，易得直线过定点P（3，－4），如图，kAP=－，当直线l与AP垂直时，直线l的斜率为，直线方程为4x－3y－24=0，此时点A（－1，－1）到直线l的距离最大，最大值为|AP|==5；当直线l经过A，P时，直线l的斜率为－，直线方程为3x＋4y＋7=0，此时点A（－1，－1）在直线l上，d=0.所以0≤d≤5，即点A（－1，－1）到直线l的距离的取值范围是［0，5］． 随堂自测 1.C　点A（0，－4）到直线x＋y－2=0的距离为d==3. 2.B　两直线变形为3x－2y－12=0与3x－2y＋2=0，两直线平行，则两直线间的距离d===．故选B． 3.10　解析：易知m=2，由==，得n=5（－5舍去），故mn=2×5=10. 4.　解析：直线y=k（x＋1）恒过（－1，0），当直线与（0，－1），（－1，0）的连线垂直时距离最大，最大值为=． 3 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $