2.1.2 两条直线平行和垂直的判定-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（人教A版）

又0°≤a<180°，所以倾斜角a=45° 3-3 (2)存在.直线CD的斜率km-2+2=0, 即tana=0 又0°≤a<180°，所以倾斜角=0° (3)当a=3时，斜率不存在，倾斜角a=90°： 当a≠3时，直线的斜率k=。且领斜角&清足ama 4 =3-d 2-1 -1-1 跟踪训练2：解析】k三元=2c=1（-1) 一 因为B,C两点的横坐标相等，所以直线BC的斜率不存在. 由6u=分>0,6x=-1<0可知，直线B的领斜角为锐角， 直线AC的倾斜角为钝角；因为直线BC的斜率不存在，所以 直线BC的倾斜角为直角. 例3：【解析】如图所示，由题意可知 a49=-16a号9=l 2-0 A(-3,41 所以PA的倾斜角是135°，PB的倾 B3,2) 斜角是45°， P1,0)x (1)要使直线1与线段AB有公共 点，直线1的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，所以α 的取值范围是45°≤≤135°. (2)要使直线l与线段AB有公共点，则直线I的斜率k的取值 范围是(-0，-1]U[1,+∞). 跟踪训练3：【解析】如图所示. e品 c-5,-1-v5 2-1 设直线CD的斜率为k, 当斜率k变化时，直线CD绕C点旋转， 当直线CD由CA逆时针方向旋转到CB时，直线CD与AB恒 有交点，即D在线段AB上， 此时长由k。增大到ka,所以长的取值范国为[？，厅] 随堂检测重反馈 1.Dk=√5时，a=60°；k=-√5时，a=120°. 2.A由题意知，an45°=2-3，得m=2, 1-m 3.3π因为A(-1,-2),B(2,1),C(x,2)三点共线，所以 4 u=c,即十片--解得x=3,设直线4B的倾斜角为0 由m0=1得0=牙，所以直线4B的倾斜角为平 4(-2.)）由题意知6。多得号-号因为直线的颜 斜角为纯角，所以e-<0,解得-2<1<1 21 2.1.2两条直线平行和垂直的判定 教材梳理明要点 新知初探 知识点一 90°k1=k2 知识点二 kk,=-1不存在 预习自测 .B6w-号3，/服6=3放选B 2.A由于直线L的斜率为2且L11l2,所以直线l2的斜率为 -7故选A 题型探究提技能 3-01 例1：【解析】(1)：ks=2-（-4)=2 2-1 w=-2=（-3)=l,hg≠kv, .1与2不平行. (2)由题意知，的斜率不存在，且不是y轴，，的斜率也不存 在，恰好是y轴，∴.1∥儿2. （3)由花知=号16号含1 .=k2,L1与2平行或重合， 4-(-12=1, 又kc=3-(-2) ∴.E,F,G,H四点共线，.41与2重合 0-1 0-3 (4)4==0=-1,6=2-n=-1, 则有k,=h2· 3-1 叉kw=1-0=-2≠-l, 则A,B,M三点不共线.故l1∥L2 限踪训练1：B由题意知2=1，解得m=1 做（解标】6仁-品-2二号分 kk2=1,.l1与l2不垂直. (26=-106-名品-046=-1414 (3)由A,B的横坐标相等得11的倾斜角为90°，则L1⊥x轴. 40-40=0,则6∥x轴，…412 k=10-(-10) 跟踪训练2：(1)-√5120°(2)±1(1)由1=30°得k1= tan30°=3 3’ 112,.k·k=-1,即k2=-5, 又0°≤a2<180°，.ax2=120°. (2):A,B两点纵坐标不相等，∴AB与x轴不平行 AB⊥CD,.CD与x轴不垂直， .-m≠3，即m≠-3. 当AB与x轴垂直时，-m-3=-2m-4,解得m=-1, 而当m=-1时，点C,D的纵坐标均为-1， 则CD∥x轴，此时AB⊥CD,满足题意. 当AB与x轴不垂直时，由斜率公式知， 4-2 2 kB=-2m-4-(-m-3)=-(m+1)/ 3m+2-m2(m+1) kcn=3-(-m) m+3 AB⊥CD,.kB·kcD=-1, 2一.2(m+=-1,解得m=1或m=-1(舍去). 即-(m+m+3 综上，m的值为1或-1. 例3：【解析】A,B,C,D四点在坐标平面 内的位置如图 4 5-31 3 由斜率公式可得ka=2-（-4)=了· D -302 6 -3, 3-51 kgc=6-2=kn=kcp, 由图可知AB与CD不重合，.AB∥CD. 由kD≠kc,.AD与BC不平行. 又ks·kw=3×(-3)=-1,AB⊥AD. 故四边形ABCD为直角梯形 跟踪训练3：【解析】设所求点D的坐标为(x,y),如图所示，由 于kB=3,kBc=0, ·.kAB·kc=0≠-1，即AB与BC不垂直，故AB,BC都不可作 为直角梯形的直角边 (1)若CD是直角梯形的直角腰， y 则BC⊥CD,AD⊥CD,:kc=0, .CD的斜率不存在，从而有x =3. (D) 又kw=kcY=3=0,即y=3. X 此时AB与CD不平行，故所求点 D的坐标为(3,3). (2)若AD是直角梯形的直角腰，则AD⊥AB,AD⊥CD, k如=：3ka= ry-3.3=-1, x Y-3.y (x-3s-1, 解得x=8y 5y 号D点坐标为（号） 等上，D点整标为3,3)或（侣号） 随堂检测重反馈 1.B由题意知，PQ的斜率存在，由kw=w,即3-（-m) 2m-2 4二二号，得m=分经检验知，m=号符合题意 2BD当a0时，由么·6=-1知，点=-，当a=0时，4 的斜率不存在 2,kw2 3.(1,0)或(6,0)设P点坐标为(，0)，则m2 写品由于2NMPv=0.放=-1，即，2。'5号 -2 =-1,解得x=1或xo=6,故P点坐标为(1,0)或(6,0). -21 4.8或-3由题意易得A,B,C三点所在直线不可能垂直于x 轴，因此其中任意两点所确定的直线的斜率都存在，设直线 5 AB,BC的斜率分别为kB,kc·由斜率公式，得kAB= 2*1 m -4= 2 -1+m-m m-4kc=4+4 8 .A,B,C三点在同一条直线上， .kAB=kgC,∴. 3-”g,即m2-5m-24=0,解得m=8或 m-4 8 -3. 2.2 直线的方程 2.2.1 直线的点斜式方程 教材梳理明要点 新知初探 知识点一 y-yo=k(x-xo)y=Yo x=xo 知识点二 y=hx+b 预习自测 1.y-0=3(x-2)由点斜式方程可知，所求直线的点斜式方程 为y-0=3(x-2). 2.y=-2x+7由斜截式方程可知，所求直线的斜截式方程为y =-2x+7. 题型探究提技能 例1：【解析】(1)由点斜式方程可知，所求直线的点斜式方程 为y-3=3(x+4). (2)由题意知，直线的斜率k=tan135°=-1，故所求直线的 点斜式方程为y-4=-(x+1). 跟踪训练1：【解析】()：直线了=的斜率为 3， 直线y= =3x的倾斜角为30 ∴.所求直线的倾斜角为60°，故其斜率为5. .所求直线方程为y+3=√5(x-2),即5x-y-25-3=0. (2)与y轴平行的直线，其斜率k不存在，不能用点斜式方程 表示. 但直线上点的横坐标均为5，故直线方程可记为x=5. (3)过P(-2,3),Q(5,-4)两点的直线斜率km=5-（-2） -4-3 -7 =7=-1 直线过点P(-2,3), .由直线的点斜式方程可得直线方程为y-3=-(x+2),即 x+y-1=0 例2：【解析】由斜截式方程知，直线1的斜率k1=-2, 又因为1∥L1,所以k,=-2. 由题意知，2在y轴上的截距为-2， 所以直线l在y轴上的截距b=-2. 由斜截式可得直线1的方程为y=-2x-2. 跟踪训练2：(1)A(2)见解析(1)由k<0,b<0可知直线过 第二、三、四象限 3047 2.1.2两条直线平行和垂直的判定 新课程标准解读 学科核心素养 1.理解并掌握两条直线平行、垂直的条件。 数学抽象 2.能根据斜率判断两条直线平行或垂直， 逻辑推理 3.会运用两直线平行或垂直时的斜率关系解决几何问题 逻辑推理 教材梳理 明要点 e情境导入 城市高架桥的桥面是由一根根的立柱和横梁来支 撑的.每一根立柱垂直于地面，彼此互相平行；立柱 [提示] 和横梁成互相垂直状态.在数学中的直线与直线间 在平面直角坐标系 的平行和垂直关系如何判定呢？ 中，可利用直线的倾 斜角和斜奉来判断它 >[提示] 们的位置关系 台新知初探 知识点一两条直线平行与斜率之间的关系 [知识点反思1] 设两条不重合的直线1，l2,倾斜角分别为1,2，斜率存在时斜率分别为 (1)l1∥12台k=2成 k,k2·则对应关系如下： 立的前提条件是： 类型 斜率存在 斜率不存在 O两条直线的斜奉都 存在： 条件 01=2≠ 41=a2=90° @l1与2不重合. 对应关系 1∥l,台 1∥1，一两直线斜率都不存在 (2)若直线，l2重 合，此时仍有k,=2 或斜奉不存在.用斜 图示 奉证明三点共线时， 常常用到这个结论 [知识点反思2] [知识点反思1] (1)若k1=0且k2不 知识点二两条直线垂直与斜率之间的关系 存在，则一定有1上 1,与12的斜率都存在，分别 11与2中的一条斜率 ,另 l2;若k1·k2=-1, 对应 则一定有1上2；若 条斜率为零，则11与12的位置关 关系 为k,k2,则1上2曰 系是112 k1·k2≠-1，则l1, l2不垂直 (2)若两条直线是垂 直关系，那么根据一 图示 条直线的斜李可以推 理出另一条直线的斜 ●[知识点反思2] 0489 目预习自测 1.已知A(2,0),B(3,3),直线l∥AB,则直线1的斜率k= A.-3 B.3 c-号 D 2.如果直线11的斜率为2,1,112，则直线12的斜率为 B.2 c D.-2 题型探究提技能 题型一两条直线平行的判定 例1判断下列各小题中的直线(，与直线1，是否平行 (1)l经过点A(2,3),B(-4,0);2经过点M(-3,1),N(-2,2); (2)1平行于y轴；l2经过点P(0,-2),Q(0,5); (3)l1经过点E(0,1),F(-2,-1);l2经过点G(3,4),H(2,3); [方法总结1] 判断两条不重合直线 (4)11经过点A(0,1),B(1,0),12经过点M(-1,3),N(2,0) 是否平行的步骤 P[方法总结1] 不左条看 存在 都不存在 斜 不 行 行 在 都存在 相等？ 是平行 香不平行 》跟踪训练1 经过点P(-2,m)和Q(m,4)的直线平行于斜率等于1的直线，则m的值 是 ()》 A.4 B.1 C.1或3 D.1或4 题型二两直线垂直的判定 例2判断下列各题中的直线（与4是否垂直 [方法总结2] 判断两条不重合的直 (1)l经过点A(-1,-2),B(1,2);l2经过点M(-2,-1),N(2,1); 线是否垂直的方法 (2)l1的斜率为-10；2经过点A(10,2),B(20,3); 在鑫看都不存在 不 (3)11经过点A(3,4),B(3,10);2经过点M(-10,40),N(10,40). 直 为 直 都存在 P[方法总结2] kk2=- 是 直 香 不垂直 ●049 〉跟踪训练2 (1)已知直线l1的倾斜角α心1为30°，l1⊥l2,则直线l2的斜率k2= l2的倾斜角心2= (2)已知点A(-m-3,2),B(-2m-4,4),C(-m,m),D(3,3m+2),若直 线AB⊥CD,则m的值为 题型三直线平行、垂直关系的综合应用 [方法总结3] 例3已知1(-4,3)，B(2,5),C(6,3),D(-3,0)四点，若顺次连接A,B, 利用两条直线平行或 垂直判定平面几何图 C,D四点，试判定四边形ABCD的形状. ●[方法总结3] 形形状的步骤 描点 在坐标系中描出给 定的，点 猜测 根据描出的点，猜 测图形的形状 求斜李 若斜奉不存在，直 接说明：若存在， 根据给定点的坐标 》跟踪训练3 求直线的斜奉 已知点A(0,3),B(-1,0),C(3,0),求点D的坐标，使四边形ABCD为直 结论 角梯形(A,B,C,D按逆时针方向排列). 由斜李之间的关系 判断形状 随堂检测重反馈 1.若过点P(3,2m)和点Q(-m,2)的直线与过点M(2,-1)和点N(-3,4)的直线平行，则m的值 是 ( A号 R-月 C.2 D.-2 2.（多选)已知直线1，的斜率为a,l1112,则l2的斜率可以为 A日 B.-1 C.a D.不存在 3.已知两点M(2,2)和N(5,-2),点P在x轴上，且∠MPN为直角，则点P的坐标为 4.若Am,),B(4,-1),C(-4,-m)三点在同一条直线上，则实数m的值为 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[13]