2.3.1 两条直线的交点坐标&2.3.2 两点间的距离公式-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（人教A版）

060 2.3 直线的交点坐标与距离公式 2.3.1两条直线的交点坐标 2.3.2 两点间的距离公式 新课程标准解读 学科核心素养 1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标，会根据方程组解的个 数学运算，逻辑推理 数判定两条直线的位置关系， 2.掌握平面上两点间的距离公式，会运用坐标法证明简单的平面几何问题 数学运算，逻辑推理 教材梳理 明要点 ●情境导入 在平面几何中，我们可以直观地看出，两条直线如 [提示] 果没有公共点，则互相平行；只有一个公共点，则相 两条直线方程组成的 交：有两个及以上公共点，则重合.那么，在解析几 方程组的解的个数， 何中，依据两条直线的方程如何判断它们的位置关 即是两条直线的交点 系呢？ 个数，据此可以确定 [提示] 两条直线的位置 关系 台新知初探 知识点一两条直线的交点坐标 1.己知两条直线L1:A1x+By+C1=0(A1,B1不同时为0)； [知识点反思1] 12:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不同时为0)，将方程联立，得方程组 如果两条直线方程对 tBy+G=0若方程组有 A1x+B1y+C1=0, 则两条直线相交，此解就是交点 应系数成比例，即两 个方程通过系数调整 的坐标. 可化为同一个方程， 2.方程组解的个数与直线1与12的位置关系如表所示 则两条直线重合 Ax+Biy+C=0 方程组 的解 组 无数组 无解 A2x+B2y+C2=0 直线1，和1,2公共点的个数 一个 无数个 零个 直线1和l2的位置关系 相交 重合 平行 >[知识点反思1] 知识点二两点间的距离公式 [知识点反思2] 1.平面内两点P,(x1y),P2(x2,y2)间的距离公式1PP21= 两点间的距离公式与 2.两点间距离的特殊情况 两点的先后顺序无 (1)原点O(0,0)与任一点P(x,y)的距离1OP1= 关 (2)当PP2∥x轴(y1=y2)时，IPP2I= (3)当PP2∥y轴(x1=x2)时，1PP2= D[知识点反思2] 061 ⑨预习自测 1.两条直线11：2x-y-1=0与2：x+3y-11=0的交点坐标为 A(3,2) B.(2,3) C.(-2,-3) D.(-3,-2) 2.已知点A(3,7),B(2,5),则A,B两点间的距离为 A.5 B.5 C.3 D.29 题型探究 提技能 题型一 求相交直线的交点坐标 例1判断下列直线是否相交，若相交，求出交点的坐标 (1)l:3x-y+4=0,l2:x+3y+2=0; [方法总结1] 将两条直线的方程联 (2)l1:3x-5y+10=0,l2:9x-15y+30=0. ●[方法总结1] 立，若方程组有唯一 解，说明两直线相 交；若方程组无解， 说明两直线没有公共 点即两直线平行；若 方程组有无数个解， 说明两直线重合， [方法总结2] 求含参数的直线恒过 定点问题的策略 (1)任给直线中的参 数赋两个不同的值， )】跟踪训练1 得到两条不同的直 已知直线5x+4y=2a+1与直线2x+3y=a的交点位于第四象限，则a的 线，求得这两条直线 取值范围是 的交点然后验证该交 点、在题目中所给的含 题型二直线系过定点问题 参数直线上，从而说 例2.(1)无论实数a取何值，方程(a-1)x-y+2a-1=0表示的直线恒过 明该交点就是直线所 定点，试求该定点 过的定点，从而问题 (2)求过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y 得解。 >[方法总结2] (2)含有一个参数的 -1=0平行的直线方程， 二元一次方程若能整 理为A1x+By+C1+ 入(A2x+B2y+C2)= 0,其中入是参数， 这就说明了它表示的 直线必过定点，其定 点可由方程组 Ax+By+C=0, A2x+B2y+C2=0 解得 062 》跟踪训练2 (1)已知直线x+y-6k+2=0恒过点P,则P的坐标为 A.(0,-2)B.(-2,0) C.(6,-2) D.（-6,2)》 (2)过直线4x+2y+5=0与3x-2y+9=0的交点，且垂直于直线x+2y+ 1=0的直线方程是 题型三两点间距离公式及应用 例3(1已知△BC的顶点坐标为A(-5,-),B(-1,1),c(-2,3),试 判断△ABC的形状. [方法总结3] (2)如图，在△ABC中，IAB1=IACI,D是BC边上异 利用坐标法解决平面 于B,C的任意一点.求证：IABI2=IAD12+IBD1· 几何问题的常见步骤 IDCI. (1)建立坐标系，用 坐标表示有关的量. (2)进行有关代数 P[方法总结3] 运算 (3)把代数运算的结 果“翻译”成几何结 论. 〉跟踪训练3 已知四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(-1,2),B(3,4),C(3,2), D(1,1).求证：四边形ABCD是梯形 随堂检测 重反馈 1.已知三条直线2x+y-4=0,kx-y+3=0,x-y-2=0交于一点，则实数k= A.-1 B.1 C.-3 D.I 2.已知△ABC的三个顶点A(3,0),B(-1,2),C(1,-3),则△ABC的中线AD的长是 A37 B.3 C.38 2 2 D.1 3.不论m为何实数，直线1：(m-1)x+(2m-3)y+m=0恒过定点 A.(-3,-1) B.（-2,-1) C.(-3,1) D.(-2,1) 4.已知点A(2,m)与点B(m,1)间的距离是√13，则实数m= 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[17]所以m+2(m+1)=0,解得m=-子 所以当m=一号时，416 跟踪训练3：【解析】(1)由'与1平行，可设'的方程为3x+4y +m=0. 将点(-1,3)代入上式得m=-9. .所求直线的方程为3x+4y-9=0. (2)由'与1垂直，可设1'的方程为4x-3y+n=0. 将(-1,3)代入上式得n=13. .∴.所求直线的方程为4x-3y+13=0 随堂检测重反馈 1.B由x+y-1=0得y=-x+1,故斜率为-1，则倾斜角为 135°.故选B. 2.D令x=0,则y=6;令y=0,则x=-2;所以直线与两坐标轴 所围成三角形的面积为号×6×2=6，故选D. 3.B直线1的方向向量k=(-1,1),则l的斜率为-1，又直线 l过点P(0,-1),l的方程为y=-x-1,即x+y+1=0.故 选B. 4.x-3y+6=0由题意，CD所在直线方程为3x+y-11=0,即 y=-3x+11,斜率为-3，所以直线AB的斜率为3，所以直线 8的方程为y-1=了(x+3),即-3y+6=0 2.3直线的交点坐标与距离公式 2.3.1两条直线的交点坐标 2.3.2两点间的距离公式 教材梳理 明要点 新知初探 知识点 1.唯一解 知识点二 1.√(-1)+(3-y) 2.(1)2+7(2)1x1-x1(3)y1-21 预习自测 1B解方程组2xy-1=0,得x=2, x+3y-11=0, 得{3，故两条直线的交点坐 标为(2,3) 2.B由两点间的距离公式得IAB1=√(2-3)2+(5-7) =5」 题型探究提技能 7 例1：【解析】(1)解方程组3x-y+4=0 【x=-5 得 x+3y+2=0, y=-5, 所以这两条直线相交，文点整标是(-子，占）】 (2)由l2:9x-15y+30=0化为方程3x-5y+10=0可知， 所以3x-5y+10=0 9x-15y+30=0有无数多个解， 故l1:3x-5y+10=0与l,:9x-15y+30=0重合. -21 陈1(-到西e x=2a+3 7 s2 由 7 2a+3 7 0>-2所以-子<a<2 3 得 <0, la<2. 例2：【解析】(1)由(a-1)x-y+2a-1=0,得-x-y-1+ a(x+2)=0. 所以已知直线恒过直线-x-y-1=0与直线x+2=0的 交点 年方程{201-08之 ly=1. 所以方程(a-1)x-y+2a-1=0表示的直线恒过定点(-2,1). 2x-3y-3=0,得 x=-5 (2)解法一：解方程组 x+y+2=0, 7 y=- 5 所以两直线的交点坐标为(-子，-子）】 又所求直线与直线3x+y-1=0平行， 所以所求直线的斜率为-3. 故所求直线方程为y+子=-3+子）。 7 即15x+5y+16=0. 解法二：设所求直线方程为(2x-3y-3)+入(x+y+2)=0, 即(2+λ)x+(入-3)y+(2λ-3)=0.(*) 由于所求直线与直线3x+y-1=0平行， 「(2+入)×1-(A-3)×3=0, 所以有{2+A)×(-D-(2A-3)×3≠0， 得A=号代入()式得(2+号)+（侵-3）+(2x号 -3=0, 即15x+5y+16=0. 跟踪训练2：(1)C(2)4x-2y+11=0（1)由kx+y-6k+2= 0,得kx-6)+y+2=0,则-6=0·得任=6，所以P的 y+2=0, y=-2, 坐标为(6，-2).故选C. (2)设所求直线方程为(4x+2y+5)+A(3x-2y+9)=0,即 (4+3A)x+(2-2)y+(5+9A)=0,(*)由于所求直线与 直线x+2y+1=0垂直，所以(4+3入)×1+(2-2入)×2=0， 解得入=8，代入(*)式得所求直线方程为4x-2y+11=0. 例3：【解析】(1)A(-5,-1),B(-1,1),C(-2,3), 1+11 3-1 3+14 ka=-1+5=2,hc=2+=-2,kc=2+5=3, ∴.kAB·kBC=-1,∴.AB⊥BC, 又1AB1=√(-1+5)2+(1+1)2=25， 1BC1=(-1+2)2+(1-3)7=5, ∴.△ABC为直角三角形. (2)证明：如图，以BC的中点为原点 O,BC所在的直线为x轴，建立直角 坐标系. 设A(0,a),B(-b,0）,C(b,0),D(m, 0)(-b<m<b). B 6 则1AB12=(-b-0)2+(0-a)2=2+b2 1AD12=(m-0)2+(0-a)2=m2+a2, 1BD1·1DC=1m+bl·1b-ml=(b+m)(b-m)=b2-m2, .∴.IADI2+IBD1·IDCI=a2+b2, .IABI2=IADI+IBDI.IDCI. 跟踪训练3：【证明】由A(-1,2),B(3,4),C(3,2),D(1,1), 则w3品号ω号引分 _2-11 由题意是四边形ABCD,知A,B,C,D不共线，则AB∥CD, 又1AB1=√/(4-2)2+(3+1)2=25， 1CD1=/(2-1)2+(3-1)2=5, 故IABI≠ICDI,所以四边形ABCD是梯形 随堂检测重反馈 1.C由+”40→=即两直线交点坐标为(2,0. {x-y-2=0,{y=0, 代人-y+3=0得2k-0+3=0=k=-子故选C 2A由题意可知，线段BC的中点为D(0,-2),故1AD1= √-0+(0+：故选 3.C直线I的方程可化为m(x+2y+1)-x-3y=0,令 「x+2y+1=0, 解得=-3直线1恒过定点(-3,1).故 L-x-3y=0, ly=1, 选C. 4.-1或4：1AB1=√/(m-2)2+(1-m)2=/13,.m2- 3m-4=0,解得m=-1或m=4. 2.3.3 点到直线的距离公式 2.3.4两条平行直线间的距离 教材梳理【 明要点 新知初探 知识点一 1.垂足 2A,+B6+C1 A+B 知识点二 21G-G1 √A+B 预习自测 1(1)A(2)2 (1)点A(2,3)到直线3x-4y-11=0的距离 为5×34x3-"=故选A 32+(-4)2 (2)将直线-子=1化为一般式方程可得3x-4-12=0, 由点到直线距离公式可得坐标原点(0,0)到直线1的距离为d =-121-12 √32+45 2(1)C(2)35 0 (1)依题意，直线x-y=0与直线x-y+2 =0之间的距离是12-01 =√2.故选C. w/12+(-1)2 —21 (2)由题知，l1:x-2y-2=0,即2x-4y-4=0,2:2x-4y=1, 即2x-4y-1=0,所以4与5之间的距离为-4=（-1)1三 /22+42 335 25=0 题型探究提技能 例1：【解析】当直线1的斜率不存在时，直线l的方程为x=2, 符合题意； 当直线1的斜率存在时，设直线↓的方程为y+1=k(x-2), 即kx-y-2k-1=0, 由点到直线的距离公式得-24-=2， /1+k 3 解得k=4, 所以直线1的方程为3x-4y-10=0. 故直线1的方程为x=2或3x-4y-10=0. 踪训练1：88因为直线y=6与y轴垂直，所以点P到它 的距离d=1-2-61=8直线y=子+子化为一般式为3x -4y+1=0,由点到直线的距离公式可得d= 13×3-4×(-2)+1118 √32+(-4)7 5 例2：(1)B(2)见解析(1)由题意，可得直线m与直线1， 垂直，则由两平行线间的距离公式，得1AB1=一1+3=万. /12+12 7 (2)42x-4y+7=0即x-2y+2=0, 73 所以L1,l2间的距离为d= 5-2_235 个+2店6 跟踪训练2A由两条直线平行可得9-受，解得m=24则直 线10x+24y+20=0,即5x+12y+10=0,由两条平行直线间 的距离公式得d=一-3-10=l, √52+122 例3：【解析】(1)如图，显然有0<d≤ 1ABI. A(6.2) 而1AB1=(6+3)2+(2+1)2= 3/10. 故所求的d的变化范围为(0， 310]. (2)由图可知，当d取最大值时，两直线与AB垂直. 2-(-1)1 而a=6-（-3)=3, 所以所求直线的斜率为-3. 故所求的直线方程分别为y-2=-3(x-6)和y+1=-3(x +3), 即3x+y-20=0和3x+y+10=0. 跟踪训练3：x+2y-3=0当两条平行直线与A,B两点的连线 垂直时，两条平行直线间的距离最大.因为A(1,1),B(0,-1) 所以。。2，所以两条平行直线的斜车为-了，所以 直线4的方程为y-1=x-1),即x+2-3=0 7