2.3.1 两条直线的交点坐标 2.3.2 两点间的距离公式(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版)

该高中数学导学案聚焦两条直线的交点坐标及两点间的距离公式，通过情境导入衔接平面几何定性研究与坐标系下代数定量研究，以具体问题引导学生思考交点坐标与方程组解的关系，搭建从直线方程到交点及距离计算的学习支架。 资料突出问题驱动探究，融合数学运算（解方程组、距离公式应用）与逻辑推理（位置关系判定、公式推导），设置分层训练与方法总结，助力学生构建知识体系，培养数学思维与应用意识，提升分析解决问题能力。

2.3.1　两条直线的交点坐标 2.3.2　两点间的距离公式 课标要求 情境导入 1.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标（数学运算）． 2.会根据方程组的解的个数判定两条直线的位置关系（逻辑推理）． 3.探索并掌握平面上两点间的距离公式（逻辑推理）． 4.会用坐标法证明简单的平面几何问题（数学运算、直观想象）． 　　在平面几何中，我们对直线作了定性研究．引入平面直角坐标系后，我们用二元一次方程表示直线，直线的方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式．这样，我们可以通过方程把握直线上的点，进而用代数方法对直线进行定量研究，例如求两条直线的交点坐标，平面内与点、直线相关的距离问题等． 知识点一　两条直线的交点坐标 问题　已知两条直线l1：x＋y－5=0，l2：x－y－3=0，画出两条直线的图象，分析交点坐标M与直线l1，l2的方程有什么关系？ 1.两条直线的交点坐标 已知两条直线的方程l1：A1x＋B1y＋C1=0，l2：A2x＋B2y＋C2=0，设这两条直线的交点为P，则点P既在直线　　　上，也在直线　　　上．所以点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1=0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2=0，即点P的坐标就是方程组的解． 2.两条直线位置关系的判断 方程解的个数与两条直线的位置关系 直线位置关系 方程组的解 方程系数关系 l1与l2相交 　　　　 　　　　　　 l1与l2平行 　　　　 　　　　　　 l1与l2重合 无数个解 　　　　　　 1.判断正误．（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交．（　　） （2）若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．（　　） （3）直线x＋y=0和2x＋2y＋3=0的交点有无数个．（　　） （4）直线x=1与y=2的交点坐标是（1，2）．（　　） 2.（链接教材P70例1）若直线y=2x＋6与直线y=kx的交点纵坐标为4，则k=（　　） A．－4　 B．－2　　 C．2　　 D．4 3.（链接教材P71例2）判断下列各对直线的位置关系．如果直线相交，求出交点的坐标： （1）l1：2x－y=7和l2：3x－4y=18； （2）l1：2x－3y＋6=0和l2：4x－6y＋1=0； （3）l1：2x＋3y－3=0和l2：y=1－x． 规律方法 1.求两直线的交点坐标可直接建立方程组，利用加减消元法或代入消元法求解即可． 2.判断两直线位置关系的方法，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况． 知识点二　两点间的距离公式 问题　（1）在数轴上已知两点A，B，如何求A，B两点间的距离？ （2）如何用向量法求平面内两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）之间的距离？ 条件 点P1（x1，y1），P2（x2，y2） 结论 |P1P2|=　　　　　　 特例 点P（x，y）到原点O（0，0）的距离|OP|=　　　　　　 提醒：当A，B两点的连线平行x轴时，|AB|=|x1－x2|；当两点的连线平行y轴时，|AB|=|y1－y2|． 角度1　两点间的距离公式 （1）（链接教材P73例3）已知点P是直线y=x＋2上一点，点P与点（4，7）间的距离为5，则点P的坐标为　　　　； （2）已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，－1），B（－1，3），C（3，0），试判断△ABC的形状． 规律方法 求两点间距离的方法 　　首先根据题目条件确定点的坐标，再代入到两点间的距离公式求值，代入时注意点的坐标的对应位置要准确． 角度2　坐标法的应用 （链接教材P73例4）在△ABC中，AD是BC边上的中线，求证：|AB|2＋|AC|2=2（|AD|2＋|DC|2）． 规律方法 用坐标法解决几何问题的基本步骤 （1）建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示有关的量； （2）进行有关的代数运算； （3）把代数运算结果“翻译”成几何关系． 提醒：建系时让图形中尽可能多的点落在坐标轴上，这样便于运算． 训练 1　（1）（2026•北京期中）过点M（－2，a），N（a，4）的直线的斜率为，则|MN|=（　　） A．2　 B．2 C．4　 D．4 （2）（2026•常州月考）已知在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD．求证：|AC|=|BD|． 提能点　过定点的直线问题 角度1　定点的求解 〔一题多解〕求证：不论m为何值，直线（m＋3）x＋（2m＋1）y=9m－3恒过一个定点． 规律方法 解含参数的直线恒过定点问题的策略 （1）赋值法：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，求得这两条直线的交点即可； （2）直线系法：把方程整理为A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）=0，其中λ∈R，可由方程组解得． 角度2　过定点的直线系问题 〔一题多解〕求过两直线2x－3y－3=0和x＋y＋2=0的交点且与直线3x＋y－1=0平行的直线方程． 变式 　本例中若将“平行”改为“垂直”，其他条件不变，如何求解？ 规律方法 过两条直线交点的直线方程的求法 （1）常规解法（方程组法）：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程； （2）特殊解法（直线系法）：先设出过两条直线交点的直线系方程，再结合其他条件用待定系数法求出参数，最后确定直线方程． 训练 2　（1）（2026•长沙期中）无论λ为何值，直线（2λ＋3）x＋（λ＋4）y＋2（λ－1）=0过定点（　　） A．（－2，2）　 B．（－2，－2） C．（－1，－1）　 D．（－1，1） （2）直线l经过点（1，2），且经过直线2x＋3y＋8=0与x－y－1=0的交点，试求直线l的方程． 1.直线l1：x－y=5与l2：3x－2y=12的交点在（　　） A．第一象限　 B．第二象限 C．第三象限　 D．第四象限 2.已知点A（1，2），B（3，4），C（5，0），若A，B，C是△ABC的三个顶点，则△ABC是（　　） A．直角三角形　 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形　 D．等边三角形 3.经过两条直线l1：x＋y=2，l2：2x－y=1的交点，且直线的一个方向向量为v=（3，2）的直线方程为　　　　． 4.已知点A（－3，4），B（2，），在x轴上找一点P，使|PA|=|PB|，并求|PA|的值． 完成课后作业　第二章　2.3　2.3.1　2.3.2 答案 2.3.1　两条直线的交点坐标 2.3.2　两点间的距离公式 知识点一　 导入新知 问题　提示：直线l1，l2的图象如图所示．点M既在直线l1上，也在直线l2上．满足直线l1的方程x＋y－5=0，也满足直线l2的方程x－y－3=0.即交点坐标是方程组的解． 学习新知 1.l1　l2 2.有唯一解　A1B2≠A2B1　无解　A1B2=A2B1，且A1C2≠A2C1　A1B2=A2B1，且A1C2=A2C1 即学即练 1.（1）×　（2）√　（3）×　（4）√ 2.A　因为直线y=2x＋6与直线y=kx的交点纵坐标为4，所以将y=4代入直线方程y=2x＋6中，得x=－1，所以交点坐标为（－1，4）．将交点坐标（－1，4）代入y=kx中，得k=－4. 3.解：（1）解方程组得 所以直线l1和l2相交，交点坐标为（2，－3）． （2）解方程组无解，所以直线l1和l2没有公共点，即l1∥l2. （3）l1：2x＋3y－3=0即l1：y=－x＋1， 与l2：y=1－x为同一个方程，即l1与l2表示同一条直线，所以l1与l2重合． 知识点二　 导入新知 问题　（1）提示：|AB|=|xA－xB|． （2）提示：因为=（x2－x1，y2－y1），所以||=． 学习新知 　 【例 1】　（1）（1，3）或（8，10）　解析：因为点P是直线y=x＋2上一点，可设P（m，m＋2），则=5，解得m=1或m=8，所以点P的坐标为（1，3）或（8，10）． （2）解：如图所示，△ABC为直角三角形，下面进行验证． 因为|AB|= =2， |AC|==， |BC|==5. 所以|AB|2＋|AC|2=|BC|2，即△ABC是以A为直角顶点的直角三角形． 【例 2】　证明： 如图，以D为原点，以BC所在边的直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，设点A（b，c），C（a，0），则B（－a，0）， 因为|AB|2=（a＋b）2＋c2， |AC|2=（a－b）2＋c2，|AD|2=b2＋c2， |DC|2=a2， 所以|AB|2＋|AC|2=2（a2＋b2＋c2）， |AD|2＋|DC|2=b2＋c2＋a2， 所以|AB|2＋|AC|2=2（|AD|2＋|DC|2）． 训练 1　（1）B　因为过点M（－2，a），N（a，4）的直线的斜率k==，解得a=2，所以M（－2，2），N（2，4），所以|MN|==2．故选B． （2）证明：建立如图所示的平面直角坐标系，则A（0，0）， 设B（a，0），C（b，c），则点D的坐标是（a－b，c），所以|AC|= = ， |BD|= =． 故|AC|=|BD|． 提能点　 【例 3】　证明：法一　取m=0，得直线3x＋y＋3=0； 取m=1，得直线4x＋3y－6=0， 解方程组得 故两条直线的交点为（－3，6）． 下面验证直线（m＋3）x＋（2m＋1）y=9m－3恒过点（－3，6）． 将x=－3，y=6代入方程，左边=9m－3=右边， 故直线恒过点（－3，6）． 法二　直线方程可变形为（3x＋y＋3）＋m（x＋2y－9）=0. ∵对任意m该方程恒成立， ∴解得 故直线恒过点（－3，6）． 【例 4】　解：法一　解方程组 得 所以两直线的交点坐标为．又所求直线与直线3x＋y－1=0平行，所以所求直线的斜率为－3. 故所求直线方程为y＋=－3（x＋），即15x＋5y＋16=0. 法二　设所求直线方程为（2x－3y－3）＋λ（x＋y＋2）=0，即（2＋λ）x＋（λ－3）y＋（2λ－3）=0.（*） 由于所求直线与直线3x＋y－1=0平行，所以有 得λ=，代入（*）式得x＋y＋（2×－3）=0，即15x＋5y＋16=0. 变式　解：设所求直线方程为（2x－3y－3）＋λ（x＋y＋2）=0，即（2＋λ）x＋（λ－3）y＋（2λ－3）=0， 由于所求直线与直线3x＋y－1=0垂直，则3（2＋λ）＋（λ－3）×1=0，得λ=－， 所以所求直线方程为5x－15y－18=0. 训练 2　（1）A　由（2λ＋3）x＋（λ＋4）y＋2（λ－1）=0，得λ（2x＋y＋2）＋（3x＋4y－2）=0，由得所以直线（2λ＋3）x＋（λ＋4）y＋2（λ－1）=0恒过定点（－2，2）． （2）解：设所求直线方程为2x＋3y＋8＋λ（x－y－1）=0，即（2＋λ）x＋（3－λ）y＋8－λ=0.因为l过点（1，2），所以（2＋λ）＋2（3－λ）＋8－λ=0，解得λ=8.则直线l的方程为2x－y=0. 随堂自测 1.D　解方程组得所以两条直线的交点为（2，－3），在第四象限． 2.B　因为|AB|==2，|AC|==2，|BC|==2，所以|AC|=|BC|＞|AB|，△ABC为等腰三角形． 3.2x－3y＋1=0　解析：由解得故交点坐标为（1，1），因为直线的一个方向向量v=（3，2），所以直线方程为y－1=（x－1），即2x－3y＋1=0. 4.解：设点P的坐标为（x，0），则有 |PA|= =， |PB|= =． 由|PA|=|PB|，得x2＋6x＋25=x2－4x＋7，解得x=－． 故所求点P的坐标为． |PA|= =． 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $