2.2.3 直线的一般式方程(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版)

该高中数学导学案聚焦直线的一般式方程，涵盖方程定义、与其他形式互化及两直线平行垂直判定。通过对比已学四种方程的适用局限，以“是否存在通用方程”设问导入，搭建从特殊到一般的学习支架，衔接旧知与新知。 特色在于问题驱动的探究设计，引导学生抽象概括一般式定义，通过例题变式训练提升逻辑推理与数学运算能力，含参问题分析培养严谨思维，随堂自测与分层训练助力知识内化，发展数学思维与应用意识。

2.2.3　直线的一般式方程 课标要求 情境导入 1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的一般式方程（数学抽象、逻辑推理）． 2.理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C=0（A，B不同时为0）都表示直线（逻辑推理）． 3.会进行直线方程的五种形式间的转化（逻辑推理、数学运算）． 　　前面我们学习了直线方程的四种形式，但它们各自有自己的适用条件，也就是说上述方程形式不是对任何直线都适用．是否存在一种方程形式，对任何直线都适用呢？ 知识点一　直线的一般式方程 问题　（1）平面直角坐标系中任意一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？ （2）任意一个关于x，y的二元一次方程都可以表示一条直线吗？ 1.定义：关于x，y的二元一次方程　　　　　（其中A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称　　　　． 提醒：系数的几何意义：①当B≠0时，则－=k（斜率），－=b（y轴上的截距）；②当B=0，A≠0时，则－=a（x轴上的截距），此时斜率不存在． 2.一般式与其他形式的互化 （链接教材P65例5）根据下列条件求直线的一般式方程： （1）直线的斜率为2，且经过点A（1，3）； （2）斜率为 ，且在y轴上的截距为4； （3）经过两点A（2，－3），B（－1，－5）； （4）在x，y轴上的截距分别为2，－4. 规律方法 1.由直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程去分母、移项就可以转化为直线的一般式方程（化为一般式方程后原方程的限制条件就消失了）． 2.反过来，也可以由直线的一般式方程化为斜截式、截距式方程，注意斜截式、截距式方程的适用条件． 训练 1　（1）与直线y=2x－6交于点（a，0）且倾斜角为135°的直线的一般式方程为　　　　； （2）将直线方程x－2y＋6=0作如下转换： ①化成斜截式，并指出它的斜率与在y轴上的截距； ②化成截距式，并指出它在x轴、y轴上的截距． 知识点二　一般式下两直线的平行或垂直 问题　（1）已知直线l1：A1x＋B1y＋C1=0，l2：A2x＋B2y＋C2=0.若B1，B2≠0，则由l1∥l2，l1⊥l2可得出什么结论？ （2）在问题（1）中若B1=0，则由l1∥l2，l1⊥l2可得出什么结论？ 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1=0（A1，B1不同时为0），l2：A2x＋B2y＋C2=0（A2，B2不同时为0）． （1）l1∥l2⇔　　　　　　=0，且B1C2－B2C1≠0（或A1C2－A2C1≠0）； （2）l1⊥l2⇔　　　　　　=0. 角度1　由平行、垂直求直线方程 〔一题多解〕已知直线l：x－2y－2=0，则过点（0，1）与l平行的直线的方程是　　　　　　；过点（－1，3）与l垂直的直线的方程是　　　　． 听课记录　　 　　 规律方法 与已知直线平行（垂直）的直线方程的求法 （1）由已知直线求出斜率，再利用平行（垂直）的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写出方程； （2）可利用待定系数法：与直线Ax＋By＋C=0（A，B不同时为0）平行的直线方程可设为Ax＋By＋C1=0（C1≠C）；与直线Ax＋By＋C=0（A，B不同时为0）垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋C2=0.　 角度2　由直线的平行或垂直求参数 已知直线l1：x＋2ay－1=0与l2：（a－1）x＋ay＋1=0，a∈R．分别求a的值，使： （1）l1∥l2；（2）l1⊥l2. 规律方法 判定平行、垂直的两种方法 （1）化成斜截式方程看斜率和截距的关系，但要注意k=0和k不存在的情况； （2）化成一般式方程，用充要条件判断． 训练 2　（1）直线l过点（－1，2），且与直线2x－3y＋4=0垂直，则l的方程是（　　） A．3x＋2y－1=0　 B．3x＋2y＋7=0 C．2x－3y＋5=0　 D．2x－3y＋8=0 （2）已知直线l1：x＋ay－1=0和直线l2：（3a－2）x－ay－2=0，则“a=”是“两直线平行的”（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件提能点　含参一般式方程的应用 已知方程（m2－2m－3）x＋（2m2＋m－1）y＋6－2m=0（m∈R）． （1）若该方程表示一条直线，求实数m的取值范围； （2）当m为何实数时，方程表示的直线斜率不存在？求出此时的直线方程； （3）已知方程表示的直线l在x轴上的截距为－3，求实数m的值． 变式 　若直线l的方程为（a2－1）x＋y＋2－a=0（a∈R），求直线倾斜角的取值范围． 规律方法 含参直线方程的研究策略 （1）若方程Ax＋By＋C=0表示直线，则需满足A，B不同时为0； （2）令x=0可得在y轴上的截距；令y=0可得在x轴上的截距．若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式； （3）解分式方程要注意验根． 训练 3　设直线l的方程为（a＋1）x＋y＋2－a=0（a∈R）． （1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程； （2）是否存在实数a，使直线l不经过第二象限？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，请说明理由． 1.判断正误．（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C=0来表示．（　　） （2）垂直于x轴的直线方程可表示为Ax＋C=0（A≠0）．（　　） （3）直线l：Ax＋By＋C=0的斜率为－．（　　） （4）若方程Ax＋By＋C=0表示直线，则A，B应满足A2＋B2≠0.（　　） 2.在直角坐标系中，直线x＋y－3=0的倾斜角是（　　） A．30°　 B．60° C．150°　 D．120° 3.已知直线l1：ax＋（a＋2）y＋2=0与l2：x＋ay＋1=0平行，则实数a的值为（　　） A．－1或2　 B．0或2 C．2　 D．－1 4.分别写出满足下列条件的直线方程，并化成一般式： （1）经过点B（－，2），倾斜角是30°； （2）经过点（1，2）且与直线x－y＋1=0垂直． 完成课后作业　第二章　2.2　2.2.3 答案 2.2.3　直线的一般式方程 知识点一　 导入新知 问题　（1）提示：可以．直线斜率存在时，由点斜式y－y0=k（x－x0），方程为二元一次方程；斜率不存在时，x－x0=0也可以认为是y的系数为0的二元一次方程． （2）提示：可以．任意一个二元一次方程Ax＋By＋C=0（A，B不同时为0），B≠0时，y=－x－；B=0时，x=－均表示直线． 学习新知 1.Ax＋By＋C=0　一般式 【例 1】　解：（1）因为k=2，且经过点A（1，3），由直线的点斜式方程可得y－3=2（x－1），整理可得2x－y＋1=0，所以直线的一般式方程为2x－y＋1=0. （2）由直线的斜率k=，且在y轴上的截距为4，得直线的斜截式方程为y=x＋4． 整理可得直线的一般式方程为x－y＋4=0. （3）由直线的两点式方程可得=，整理得直线的一般式方程为2x－3y－13=0. （4）由直线的截距式方程可得＋=1，整理得直线的一般式方程为2x－y－4=0. 训练 1　（1）x＋y－3=0　解析：依题意，a=3，直线斜率k=－1，所以直线的点斜式方程为y=－（x－3），即x＋y－3=0. （2）解：①将原方程移项，得2y=x＋6， 两边同除以2，得斜截式方程为y=x＋3， 因此它的斜率k=，在y轴上的截距为3. ②将原方程移项，得x－2y=－6，两边同除以－6，得截距式方程为＋=1. 所以直线在x轴、y轴上的截距分别为－6，3. 知识点二　 导入新知 问题　（1）提示：l1∥l2时，=且≠，即A1B2=A2B1且B1C2≠B2C1； l1⊥l2时，（－）（－）=－1，即A1A2＋B1B2=0. （2）提示：l1∥l2时，B1=B2=0且≠，即B1=B2=0且A1C2≠A2C1；l1⊥l2时，A2=0，A1≠0. 学习新知 （1）A1B2－A2B1　（2）A1A2＋B1B2 【例 2】　x－2y＋2=0　2x＋y－1=0 解析：法一　直线l：x－2y－2=0的斜率为，所以平行于直线l的直线的斜率等于，又因为直线经过点（0，1），故直线的斜截式方程为y=x＋1，所求直线的一般式方程为x－2y＋2=0.垂直于直线l的直线的斜率为－2，又因为直线经过点（－1，3），故直线的点斜式方程为y－3=－2（x＋1），所求直线方程为2x＋y－1=0. 法二　设平行于直线l的直线方程为x－2y＋c=0（c≠－2），又因为直线经过点（0，1），得c=2，所求直线方程为x－2y＋2=0.设垂直于直线l的直线方程为2x＋y＋m=0，又因为直线经过点（－1，3），得m=－1，所求直线方程为2x＋y－1=0. 【例 3】　解：（1）由直线l1：A1x＋B1y＋C1=0与l2：A2x＋B2y＋C2=0平行⇔A1B2－A2B1=0，且A1C2－A2C1≠0， 得a－2a（a－1）=0，且－（a－1）≠1， 解得a=． （2）由直线l1：A1x＋B1y＋C1=0与l2：A2x＋B2y＋C2=0垂直⇔A1A2＋B1B2=0， 得a－1＋2a2=0，解得a=或a=－1． 训练 2　（1）A　（2）A　解析：（1）依题意可设所求直线方程为3x＋2y＋c=0，又直线l过点（－1，2），代入可得c=－1，故所求直线方程为3x＋2y－1=0. （2）若直线l1：x＋ay－1=0和直线l2：（3a－2）x－ay－2=0平行，则解得a=或a=0，因此“a=”是“两直线平行”的充分不必要条件． 提能点　 【例 4】　解：（1）当x，y的系数不同时为零时，方程表示一条直线． 令m2－2m－3=0，解得m=－1或m=3； 令2m2＋m－1=0，解得m=－1或m=． 所以x，y的系数同时为零时m=－1， 故若方程表示一条直线，则m≠－1， 即实数m的取值范围为{m|m≠－1}． （2）当x的系数不为0，y的系数为0时斜率不存在， 由（1）知当m=时，2m2＋m－1=0且m2－2m－3≠0，方程表示的直线的斜率不存在， 此时直线方程为3x－4=0. （3）易知m≠－1且m≠3时，直线在x轴上的截距存在． 依题意，令y=0得直线在x轴上的截距=－3，解得m=－（m=3舍去）． 所以实数m的值为－． 变式　解：因为直线的斜截式方程为y=（1－a2）x＋a－2，（a∈R），所以直线的斜率k=1－a2≤1， 当0≤k≤1时，直线的倾斜角的取值范围是［0，］； 当k＜0时，直线的倾斜角的取值范围是（，π）， 综上所述，直线的倾斜角的取值范围是［0，］⋃（，π）． 训练 3　解：（1）当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，显然相等．∴a=2时满足条件，此时直线方程为3x＋y=0； 当a=－1时，直线平行于x轴，在x轴无截距，不符合题意； 当a≠－1，且a≠2时，由=a－2，即a＋1=1.∴a=0时，直线在x轴，y轴截距都为－2，直线方程为x＋y＋2=0.∴a=2或a=0时，l在两坐标轴上的截距相等，直线方程分别为3x＋y=0或x＋y＋2=0. （2）假设存在实数a，使直线l不经过第二象限，将直线l的方程化为斜截式方程为y=－（a＋1）x＋a－2，∴或解得a≤－1， 故实数a的取值范围为（－∞，－1］． 随堂自测 1.（1）√　（2）√　（3）×　（4）√ 2.C　直线斜率k=－，所以倾斜角为150°，故选C． 3.D　由l1∥l2知，a×a=1×（a＋2），即a2－a－2=0，∴a=2或a=－1.当a=2时，l1与l2重合，不符合题意，舍去；当a=－1时，l1∥l2.∴a=－1． 4.解：（1）因为直线经过点B（－，2），倾斜角是30°，所以斜率为，所以直线的点斜式方程为y－2=（x＋），即x－y＋2＋=0. （2）设所求直线方程为y=－x＋b， 将点（1，2）的坐标代入可得b=1＋2=3， 所以所求的直线方程为y=－x＋3，即x＋y－3=0. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $