2.2.1 直线的点斜式方程-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（人教A版）

050 2.2 直线的方程 2.2.1直线的点斜式方程 新课程标准解读 学科核心素养 1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程. 数学抽象、逻辑推理 2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程 数学抽象、数学运算 3.会利用直线的点斜式方程与斜截式方程解决有关的问题. 逻辑推理 教材梳理 明要点 ●情境导入 [提示] 在平面内有无数条直线，给定一点和一个方向可以唯 通过在平面直角坐标 系中建立直线的方程 一确定一条直线.这样，在平面直角坐标系中，给定一 来描述一条确定的 个点P(xo,y)和斜率k(或倾斜角)，就能唯一确定 直线。 一条直线.那么如何用代数的方法准确地描述这条直 [知识点反思1] 线呢？ D[提示] 点斜式应用的前提是 直线的斜奉存在，若 白新知初探 斜奉不存在，则不能 知识点一 直线的点斜式方程 应用此式；方程y-0 x-xo 名称 已知条件 示意图 方程 =k与y-0=k(x- x)是不同的，前者缺 (xo.Yo) 少一个点(x0,), 点斜式 点P(xo,yo)和斜率 后者才是整条直线。 [知识点反思2] (1)直线的斜截式方 特别地，当k=0时（如图1），过P。(x,yo)的直线可以写成 ;当k 程是直线的点斜式方 程的特殊情况. 不存在时（如图2），过P(xo,少)的直线可以写成 (2)截距是一个实 数，它是直线与坐标 轴交点的横坐标或纵 坐标，可以为正数、 负数和0.当直线过原 点时，它在x轴上的 图1 图2 P[知识点反思1] 截距和在y轴上的截 知识点二 直线的斜截式方程 距都为0. 名称 (3)斜截式方程与一 已知条件 示意图 方程 使用范围 次函数的解析式相 同，都是y=c+b的 形式，但有区别：当 斜截式 斜率k和在y 斜率存在的直线 k≠0时，y=x+b为 轴上的截距b 一次函数；当k=0 时，y=b,不是一次 函数.故一次函数y= 其中，直线1与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线1在y轴上的截距；直 kx+b(k≠0)一定可 看成一条直线的斜截 线l与x轴的交点(a,0)的横坐标a叫做直线l在x轴上的截距 式方程. >[知识点反思2] ●051 自预习自测 1写出经过点A(2,0),斜率k=3的直线的点斜式方程， 2.写出斜率k=-2,在y轴上的截距为7的直线的斜截式方程. 题型探究提技能 题型一直线的点斜式方程 [方法总结1] 例1，根据条件写出下列直线的点斜式方程： 求直线的点斜式方程 的步骤及注意点 (1)经过点A(-4,3),斜率k=3; (1)求直线的点斜式 (2)经过点B(-1,4),倾斜角为135° P[方法总结1] 方程的步骤：定点 (0,yo)→定斜奉k→ 写出方程y-= k(x-x0): (2)点斜式方程y-ya =k(x-x)可表示过 点P(x0,yo)的所有 直线，但x=除外 )》跟踪训练1 求满足下列条件的直线方程： （1)经过点(2，-3)，倾斜角是直线y=9:的倾斜角的2倍： (2)经过点P(5,-2),且与y轴平行； (3)过P(-2,3),Q(5,-4)两点. 052 题型二 直线的斜截式方程 例2已知直线4的方程为y=-2x+3,6的方程为y=4:-2,直线1与1 [方法总结2] 直线斜截式方程的应 平行且与2在y轴上的截距相同，求直线1的方程. 用前提是直线的斜奉 [方法总结2] 存在，只要分别求出 直线的斜奉和在y抽 上的截距，代入方程 即可. )跟踪训练2 (1)若k<0,且b<0,则直线y=x+b必不过 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 (2)当a为何值时，直线l1:y=-x+2a与直线l2:y=(a2-2)x+2平行？ [方法总结3] 判断或求直线过定点 问题，常将直线方程 题型三直线过定点问题 转化为点斜式的形式 例3.直线y=x-2k+3必过定点，则该定点的坐标是 求解 ●[方法总结3] 》跟踪训练3 直线y=x+5过的定点是 随堂检测 重反馈 1.已知直线1的倾斜角为60°，且在y轴上的截距为-2，则此直线的方程为 A.y=3x+2 B.y=-3x+2 C.y=-W3x-2 D.y=3x-2 2已知直线1的方程为y+子-？(x-1）,则1在y轴上的我矩为 ( A.9 B.-9 027 4 m头 3.若直线y=x+b通过第一、三、四象限，则有 A.k>0,b>0 B.k>0,b<0 C.k<0,b>0 D.k<0,b<0 4.已知直线y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直，则a= 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[14]4-2 2 kB=-2m-4-(-m-3)=-(m+1)/ 3m+2-m2(m+1) kcn=3-(-m) m+3 AB⊥CD,.kB·kcD=-1, 2一.2(m+=-1,解得m=1或m=-1(舍去). 即-(m+m+3 综上，m的值为1或-1. 例3：【解析】A,B,C,D四点在坐标平面 内的位置如图 4 5-31 3 由斜率公式可得ka=2-（-4)=了· D -302 6 -3, 3-51 kgc=6-2=kn=kcp, 由图可知AB与CD不重合，.AB∥CD. 由kD≠kc,.AD与BC不平行. 又ks·kw=3×(-3)=-1,AB⊥AD. 故四边形ABCD为直角梯形 跟踪训练3：【解析】设所求点D的坐标为(x,y),如图所示，由 于kB=3,kBc=0, ·.kAB·kc=0≠-1，即AB与BC不垂直，故AB,BC都不可作 为直角梯形的直角边 (1)若CD是直角梯形的直角腰， y 则BC⊥CD,AD⊥CD,:kc=0, .CD的斜率不存在，从而有x =3. (D) 又kw=kcY=3=0,即y=3. X 此时AB与CD不平行，故所求点 D的坐标为(3,3). (2)若AD是直角梯形的直角腰，则AD⊥AB,AD⊥CD, k如=：3ka= ry-3.3=-1, x Y-3.y (x-3s-1, 解得x=8y 5y 号D点坐标为（号） 等上，D点整标为3,3)或（侣号） 随堂检测重反馈 1.B由题意知，PQ的斜率存在，由kw=w,即3-（-m) 2m-2 4二二号，得m=分经检验知，m=号符合题意 2BD当a0时，由么·6=-1知，点=-，当a=0时，4 的斜率不存在 2,kw2 3.(1,0)或(6,0)设P点坐标为(，0)，则m2 写品由于2NMPv=0.放=-1，即，2。'5号 -2 =-1,解得x=1或xo=6,故P点坐标为(1,0)或(6,0). -21 4.8或-3由题意易得A,B,C三点所在直线不可能垂直于x 轴，因此其中任意两点所确定的直线的斜率都存在，设直线 5 AB,BC的斜率分别为kB,kc·由斜率公式，得kAB= 2*1 m -4= 2 -1+m-m m-4kc=4+4 8 .A,B,C三点在同一条直线上， .kAB=kgC,∴. 3-”g,即m2-5m-24=0,解得m=8或 m-4 8 -3. 2.2 直线的方程 2.2.1 直线的点斜式方程 教材梳理明要点 新知初探 知识点一 y-yo=k(x-xo)y=Yo x=xo 知识点二 y=hx+b 预习自测 1.y-0=3(x-2)由点斜式方程可知，所求直线的点斜式方程 为y-0=3(x-2). 2.y=-2x+7由斜截式方程可知，所求直线的斜截式方程为y =-2x+7. 题型探究提技能 例1：【解析】(1)由点斜式方程可知，所求直线的点斜式方程 为y-3=3(x+4). (2)由题意知，直线的斜率k=tan135°=-1，故所求直线的 点斜式方程为y-4=-(x+1). 跟踪训练1：【解析】()：直线了=的斜率为 3， 直线y= =3x的倾斜角为30 ∴.所求直线的倾斜角为60°，故其斜率为5. .所求直线方程为y+3=√5(x-2),即5x-y-25-3=0. (2)与y轴平行的直线，其斜率k不存在，不能用点斜式方程 表示. 但直线上点的横坐标均为5，故直线方程可记为x=5. (3)过P(-2,3),Q(5,-4)两点的直线斜率km=5-（-2） -4-3 -7 =7=-1 直线过点P(-2,3), .由直线的点斜式方程可得直线方程为y-3=-(x+2),即 x+y-1=0 例2：【解析】由斜截式方程知，直线1的斜率k1=-2, 又因为1∥L1,所以k,=-2. 由题意知，2在y轴上的截距为-2， 所以直线l在y轴上的截距b=-2. 由斜截式可得直线1的方程为y=-2x-2. 跟踪训练2：(1)A(2)见解析(1)由k<0,b<0可知直线过 第二、三、四象限 3 (2)由题意可知，k1=-1,k2=a2-2,41∥l2, 式方程为品引 ,02-2=-1解得a=-1,故当a=-1时，直线：y=- 整理，得4x-3y+5=0,这就是边AB所 2a≠2， +2a与直线42：y=(a2-2)x+2平行. 在直线的方程 直线AC垂直于x轴，故AC边所在直线 例：(2,3)将直线的方程转化为点斜式得y-3=k(x-2),所 -2 的方程为x=1. 以该直线过定点(2,3) B - 直线BC平行于x轴，故BC边所在直线 跟踪训练3：(0,5)把方程y=kx+5转化为y-5=k(x-0), 的方程为y=-1. 根据点斜式方程可知定点是(0,5) 例2：【解析】设直线与两坐标轴的交点为(a,0),(0,b). 随堂检测重反馈 1.D:直线l的倾斜角为60°，.k=tan60°=√3，.直线l的 ()当山≠0时，直线方程为名+古=1 方程为y=√3x-2. 由点P在比直线上，所以子+名=1,0 2B由y+2?=x-),得y=x-9,1在r轴上的截距 又由已知得Ial=Ib1,② 联立方程①②可得a=b=5或a=-1,b=1, 为-9. 所以直线方程为x+y-5=0或x-y+1=0. 3.B:直线经过第一、三、四象限，∴.图形如图所示，由图知，k (2)当a=b=0时，直线过原点和P(2,3),易知直线方程为3x >0,b<0. -2y=0. 综上所述，所求直线方程为x+y-5=0或x-y+1=0或3x -2y=0. 跟踪训练2：【解析】(1)当直线过原点时，由直线经过点(1,2)， 所以所求直线方程为y=2x,整理，得2x-y=0. 4.-1由题意可知a·(a+2)=-1,解得a=-1. (2)当直线不过原点时，设直线1的方程为后+名=1 2.2.2直线的两点式方程 代入点1,2)的坐标得+品=1，解得a=2。 教材梳理 明要点 此时直线1的方程为子+子=1，整理得2x+y-4=0 新知初探 故直线l的方程为2x-y=0或2x+y-4=0. 知识点一 例3：【解析】(1)当直线1过原点时，符合题意 y-y1 x-x1 y2-y1x2-x1 则子所以y=子，期3数4=0 3 知识点二 当直线不过原点时，设b为直线（的纵截距，直线l的方程为 告+古 嘉+片=1，且过点P4,3), 预习自测 1B因为所求直线过点1,2，(5,3)，所以子--子即 所以去+子=1，解得6=5,0+方=山，即x+2y-10=0, 故直线1的方程为3x-4y=0或x+2y-10=0. y-2x-1 3-2-5-1 (2)设A(a,0),B(0.6),则直线1的方程为产+古=1(a>0, 2.C因为直线在x轴、y轴上的截距分别是-2,3，所以直线方 程是2+方=1，即号-之=1.故选C 6>0,直线过点P4,3),所以号+子-1 又Ap=(4-a,3),PB=(-4,b-3), 题型探究提技能 所以A.Pi=-16+4a+3b-9=4a+3b-25=(4a+ 例1：【解析】(1)由A(0,4),B(-2,6)可得AB所在直线的两 点式方医后子8。即+y4=0 36)(任+2）-25 (2)设AC边上的中点为D(x0,%),由中点坐标公式可得= =16+9+-25,22√-4， -4,%=2,所以BD所在直线的两点式方程为}-6=+2 2-6 =-4+2' 当且仅当2b=20,即a=b=7时等号成立，故市.P店的最 b 即2x-y+10=0. 小值为24， (3)易知AB的中点的坐标为(-1,5)，AC的中点的坐标为 (-4,2), 直线1的方程为号+片=1，即直线1的方程为x+y-7=0 所以所求直线的方程为衫号品即y+6=0 跟踪训练3.【解析】解法一：设直线方程为。+古=1(a>0, 跟踪训练1：【解析】直线AB过A(1,3),B(-2,-1),其两点b>0), —214