2.2.2 直线的两点式方程(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版)

该高中数学导学案聚焦直线的两点式方程及截距式方程，以100米短跑情境导入，结合“两点确定一条直线”衔接点斜式知识，通过问题链引导推导两点式，再延伸至截距式，构建连贯的知识学习支架。 资料特色突出，情境贴近生活激发兴趣，问题设计推动逻辑推理，例题训练分层递进，融入数学运算与直观想象，助力学生用数学思维分析问题，提升解决实际问题能力，便于教师教学与学生自主学习。

2.2.2　直线的两点式方程 课标要求 情境导入 1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的两点式方程（逻辑推理、数学运算）． 2.能利用直线的两点式方程推导出直线的截距式方程（直观想象、数学运算）． 当前，男子100米短跑世界纪录为9.58秒，女子100米短跑世界纪录为10.49秒．在学校运动会上，如果你参加100米短跑比赛，那么你就会从起点努力冲刺直奔终点，可见，两点确定一条直线，本节课我们就来研究一下直线的两点式方程． 知识点一　直线的两点式方程 问题　（1）我们知道两点确定一条直线，如图，给定直线l上两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），x1≠x2，试用点斜式写出l的方程； （2）给定直线l上两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），x1≠x2，任选直线上一点P（x，y），其中P不与P1，P2重合，那么kPP1与kP1P2有什么关系？ （3）上面两个问题得到的结果所表示的直线一样吗？它们能表示所有直线吗？ 1.经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（其中x1≠x2，y1≠y2）的直线方程为　　　　，我们把它叫做直线的两点式方程，简称　　　　． 2.当x1=x2时，直线P1P2垂直于x轴，直线方程为x－x1=0，即　　　　；当y1=y2时，直线P1P2　　　　y轴，直线方程为y－y1=0，即y=y1. 提醒：（1）当经过两点（x1，y1），（x2，y2）的直线斜率不存在（x1=x2）或斜率为0（y1=y2）时，不能用两点式方程表示；（2）两点式方程与这两个点的顺序无关． 【微思考】 方程=和方程（y－y1）（x2－x1）=（x－x1）（y2－y1）的适用范围相同吗？ （链接教材P63例4）已知△ABC的三个顶点是A（1，3），B（－2，－1），C（1，－1）． （1）求这个三角形三边所在直线的方程； （2）求边AB上的中线所在直线的方程． 规律方法 利用两点式求直线方程的策略 （1）首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足即可考虑用两点式求方程； （2）在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程． 训练 1　已知直线经过点A（1，0），B（m，1），求这条直线的方程． 知识点二　直线的截距式方程 问题　若直线l经过两点P1（a，0），P2（0，b）（a≠0，b≠0），如何求直线的方程？ 我们把直线与x轴的交点（a，0）的　　　　　　叫做直线l在x轴上的　　　　，此时直线l在y轴上的截距是b．方程　　　　　　由直线l在两个坐标轴上的截距a与b确定，所以把此方程叫做直线的截距式方程，简称　　　　． 提醒：与坐标轴平行和过原点的直线都不能用截距式表示． 求过点A（3，4），且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程． 变式 　若将本例中“截距互为相反数”改为“截距相等”呢？ 规律方法 应用截距式方程的注意事项 （1）如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式方程，用待定系数法确定其系数即可； （2）选用截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直； （3）要注意截距式方程的逆向应用． 训练 2　根据下列条件，求直线的方程： （1）过点（0，3），且在两坐标轴上截距之差等于5； （2）过点（1，2），且在两坐标轴上截距之和为6. 提能点　直线截距式方程的应用 直线l过点P（，2），且与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点． （1）当△AOB的周长为12时，求直线l的方程； （2）当△AOB的面积为6时，求直线l的方程． 【破题思维】 题目信息 信息转化 直线过点P（，2）且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点 联想直线l在x轴、y轴上的截距为正数 △AOB的周长为12 联想|OA|＋|OB|＋|AB|=12 △AOB的面积为6 联想S△AOB=|OA|•|OB|=6 规律方法 直线方程与三角形的面积、周长之间的关系 　　解决直线与坐标轴围成的三角形面积或周长问题时，一般选择直线方程的截距式，若设直线在x轴，y轴上的截距分别为a，b，则直线与坐标轴所围成的三角形的面积S=|a||b|，周长C=|a|＋|b|＋． 训练 3　已知直线l过点P（2，1），且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点． （1）求△OAB的面积（用a，b表示）； （2）〔一题多解〕求△OAB面积的最小值及其对应的直线方程． 1.判断正误．（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）能用两点式方程表示的直线也可用点斜式方程表示．（　　） （2）能用截距式方程表示的直线都能用两点式表示．（　　） （3）直线y=x在x轴和y轴上的截距均为0.（　　） 2.过P1（2，0），P2（0，3）两点的直线方程是（　　） A．＋=0　 B．＋=0 C．＋=1　 D．－=1 3.过点A（5，6），B（－1，2）的直线的两点式方程是（　　） A．=　 B．= C．=　 D．= 4.求过点A（3，－1）且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线方程． 完成课后作业　第二章　2.2　2.2.2 答案 2.2.2　直线的两点式方程 知识点一　 导入新知 问题　（1）提示：y－y1=（x－x1）． （2）提示：kPP1=kP1P2，即=． （3）提示：不一样，问题（2）中直线上的动点不能表示点P1（x1，y1）；不能，两者都不能表示垂直于x轴的直线． 学习新知 1.=　两点式 2.x=x1　垂直于 微思考 提示：不同．前者为分式形式，要求x1≠x2，y1≠y2，后者为整式形式，适用于过任何两点的直线方程． 【例 1】　解：（1）直线AB过点A（1，3），B（－2，－1），其两点式方程为=，整理得4x－3y＋5=0，这就是边AB所在直线的方程． 直线AC垂直于x轴，故边AC所在直线的方程为x=1. 直线BC平行于x轴， 故边BC所在直线的方程为y=－1. （2）设边AB的中点为M（a，b）， 则a==－，b==1， 即M（－，1）， 又边AB的中线过点C（1，－1）， 所以=， 即4x＋3y－1=0， 所以边AB上的中线所在直线的方程为4x＋3y－1=0. 训练 1　解：由直线经过点A（1，0），B（m，1），因此该直线斜率不可能为零，但有可能不存在． ①当直线斜率不存在，即m=1时，直线方程为x=1； ②当直线斜率存在，即m≠1时，利用两点式，可得直线方程为=， 即x－（m－1）y－1=0. 综上可得，当m=1时，直线方程为x=1； 当m≠1时，直线方程为x－（m－1）y－1=0. 知识点二　 导入新知 问题　提示：由直线的两点式方程得=，即＋=1. 学习新知 横坐标a　截距　＋=1　截距式 【例 2】　解：①当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时，可设直线l的方程为＋=1. 又l过点A（3，4），所以＋=1，解得a=－1. 所以直线l的方程为＋=1，即x－y＋1=0. ②当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且为0时，即直线l过原点时，设直线l的方程为y=kx，因为l过点（3，4），所以4=k•3，解得k=，直线l的方程为y=x，即4x－3y=0. 综上，直线l的方程为x－y＋1=0或4x－3y=0. 变式　解：①当截距不为0时，设直线l的方程为＋=1， 又l过点A（3，4），所以＋=1，解得a=7， 所以直线l的方程为x＋y－7=0. ②当截距为0时，由例可得直线l的方程为4x－3y=0. 综上，直线l的方程为x＋y－7=0或4x－3y=0. 训练 2　解：（1）设直线方程为＋=1， 则解得或 则直线方程为＋=1或＋=1， 即3x＋8y－24=0或3x－2y＋6=0. （2）显然直线不经过原点，设直线的截距式方程为＋=1， 由直线经过点（1，2），得＋=1. 依题意，得a＋b=6，所以b=6－a， 代入＋=1，整理得a2－5a＋6=0， 解得a=2或a=3. 当a=2时，b=4，直线方程为＋=1，即2x＋y－4=0； 当a=3时，b=3，直线方程为＋=1，即x＋y－3=0. 提能点　 【例 3】　解：（1）设直线l的方程为＋=1（a＞0，b＞0）， 由题意知，a＋b＋=12.① 因为直线l过点P（，2）， 所以＋=1.② 联立①②，解得或 所以直线l的方程为3x＋4y－12=0或15x＋8y－36=0. （2）设直线l的方程为＋=1（a＞0，b＞0）， 由题意知，ab=6，即ab=12，③ 联立②③，解得或 所以直线l的方程为3x＋4y－12=0或3x＋y－6=0. 训练 3　解：（1）设直线l的截距式方程为＋=1， 依题意，a＞0，b＞0， 又因为点P（2，1）在直线l上， 所以＋=1，即2b＋a=ab． 所以△AOB的面积S=|OA|•|OB|=ab． （2）法一　由2b＋a=ab≥2＞0，得≥2，所以ab≥8. 从而S=ab≥4，当且仅当2b=a，即a=4，b=2时，S取得最小值4，此时直线的方程为＋=1， 即x＋2y－4=0. 法二　由S=ab=（2b＋a）=（2b＋a）•（＋）=（4＋＋）≥（4＋2）=4， 当且仅当2b=a，即a=4，b=2时，S取得最小值4， 此时直线的方程为＋=1， 即x＋2y－4=0. 随堂自测 1.（1）√　（2）√　（3）√ 2.C　由截距式，得所求直线的方程为＋=1. 3.C　由直线的两点式方程=（x1≠x2，y1≠y2），过点A（5，6）和点B（－1，2）的直线的两点式方程是=．故选C． 4.解：当截距都为零时满足题意要求，直线方程为y=－x，即x＋3y=0. 当截距不为零时，设直线方程为＋=1， ∴∴或 ∴直线方程为＋=1或＋=1，即x＋y－2=0或x－y－4=0， 故所求直线方程为x＋3y=0或x＋y－2=0或x－y－4=0. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $