2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦两条直线平行和垂直的判定，通过过山车轨道的现实情境导入，联系平面几何中平行直线被截形成的角关系旧知，以问题链引导学生从倾斜角过渡到斜率关系，构建知识支架。 以“数学眼光”观察现实情境激发兴趣，“数学思维”驱动问题探究与分类讨论，例题和跟踪训练层次分明，注重斜率存在与否的严谨分析，帮助学生掌握判定方法，培养逻辑推理与几何应用能力。

2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 导学案2.1.2　两条直线平行和垂直的判定 [学习目标]　1.理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件.(重点)2.会运用条件判定两直线是否平行或垂直.3.运用两直线平行和垂直时的斜率关系解决相应的几何问题.(难点) 导语 过山车是一项富有刺激性的娱乐项目.实际上，过山车的运动包含了许多数学和物理学原理.过山车的两条铁轨是相互平行的轨道，它们靠着一根根巨大的柱形钢筋支撑着，为了使设备安全，柱子之间还有一些小的钢筋连接，这些钢筋有的互相平行，有的互相垂直，你能感受到过山车中的平行和垂直吗？两条直线的平行与垂直用什么来刻画呢？本节课我们就来研究一下. 一、两条直线平行的判定 问题1　在平面几何中，两条平行直线被第三条直线所截，形成的同位角、内错角、同旁内角有什么关系？ 问题2　如图所示，设两条直线l1与l2的倾斜角分别为α1与α2，斜率分别为k1与k2. ①当l1∥l2时，α1与α2，k1与k2满足什么关系？ ②当k1=k2时，两条直线l1与l2是什么关系？ 知识梳理 两条直线l1与l2平行关系的判定如下： 类型 斜率存在 斜率不存在 前提 条件 α1≠90°，α2≠90° α1=α2=90° 对应 关系 l1∥l2⇔k1=k2 l1∥l2⇔两条直线的斜率都不存在 图示 注意点： (1)若没有特别说明，说“两条直线l1，l2”时，指两条不重合的直线；说“直线l1，l2”时，两直线的位置关系是任意的，可以重合. (2)l1∥l2⇔k1=k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②l1与l2不重合. (3)k1=k2⇒l1∥l2或l1与l2重合(斜率存在). (4)l1∥l2⇒k1=k2或两条直线的斜率都不存在. (5)若斜率存在的直线l1，l2重合，仍有k1=k2，可用来证明三点共线. 例1　(1)(课本例2)已知A(2，3)，B(-4，0)，P(-3，1)，Q(-1，2)，试判断直线AB与PQ的位置关系，并证明你的结论. (2)(课本例3)已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0，0)，B(2，-1)，C(4，2)，D(2，3)，试判断四边形ABCD的形状，并给出证明. 例2　判断下列各题中的直线l1与l2是否平行： (1)l1经过点A(-1，-2)，B(2，1)，l2经过点M(3，4)，N(-1，-1)； (2)l1的斜率为1，l2经过点A(1，1)，B(2，2)； (3)l1经过点A(0，1)，B(1，0)，l2经过点M(-1，3)，N(2，0)； (4)l1经过点A(-3，2)，B(-3，10)，l2经过点M(5，-2)，N(5，5)； (5)l1经过点A(-4，-3)，B(-2，-1)，l2经过点M(1，2)，N(3，4). 反思感悟　由斜率判断两条不重合的直线是否平行的方法 (1)如果两条直线的斜率都不存在，则两直线平行. (2)如果一条直线的斜率存在，另一条直线的斜率不存在，则两直线不平行. (3)如果两条直线的斜率都存在，若相等则平行，若不相等则不平行. 跟踪训练1　已知A(-2，m)，B(m，4)，M(m+2，3)，N(1，1)，若AB∥MN，则m的值为　　　　　. 二、两条直线垂直的判定 问题3　平面中，两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则两条直线的方向向量分别为a=(1，k1)，b=(1，k2)，当两条直线互相垂直时，可以得出什么结论？ 知识梳理 两条直线l1与l2垂直关系的判定如下： 类型 斜率存在 l1(或l2)的斜率不存在 前提 条件 α1≠90°，且α2≠90° α1=90°(或α2=90°) 对应 关系 l1⊥l2⇔k1k2=-1 l1⊥l2⇔l2(或l1)的斜率为0 图示 注意点： (1)l1⊥l2⇔k1k2=-1成立的条件是两条直线的斜率都存在. (2)当直线l1⊥l2时，有k1k2=-1或其中一条直线垂直于x轴，另一条直线垂直于y轴；而若k1k2=-1，则一定有l1⊥l2. (3)当两条直线的斜率都存在时，若这两条直线有垂直关系，则可以用一条直线的斜率表示另一条直线的斜率，即k1=-. 例3　(1)(课本例4)已知A(-6，0)，B(3，6)，P(0，3)，Q(6，-6)，试判断直线AB与PQ的位置关系. (2)(课本例5)已知A(5，-1)，B(1，1)，C(2，3)三点，试判断△ABC的形状. 例4　已知△ABC的顶点为A(5，-1)，B(1，1)，C(2，m)，若△ABC为直角三角形，求m的值. 反思感悟　判断两条直线是否垂直的方法 在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于-1即可；若有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合，这两条直线也垂直. 跟踪训练2　(多选)下列各对直线互相垂直的是(　　) A.l1过点M(1，1)，N(1，2)，l2过点P(1，5)，Q(3，5) B.l1的斜率为-，l2过点P(1，1)，Q C.l1的倾斜角为30°，l2过点P(3，)，Q(4，2) D.l1过点M(1，0)，N(4，-5)，l2过点P(-6，0)，Q(-1，3) 三、平行与垂直的综合应用 例5　已知A(-4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(-3，0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定四边形ABCD的形状. 反思感悟　利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤 跟踪训练3　已知点A(0，3)，B(-1，0)，C(3，0)，求点D的坐标，使四边形ABCD为直角梯形(A，B，C，D按逆时针方向排列). 1.知识清单： (1)两直线平行的判定. (2)两直线垂直的判定. (3)两直线平行、垂直的应用. 2.方法归纳：分类讨论、数形结合. 3.常见误区：研究两直线平行、垂直关系时忽略直线斜率为0或斜率不存在的情况. 1.若过点P(3，2m)和点Q(-m，2)的直线与过点M(2，-1)和点N(-3，4)的直线平行，则m的值是(　　) A. B.- C.2 D.-2 2.(多选)已知直线l1的斜率为a，l1⊥l2，则l2的斜率可以为(　　) A. B.- C.a D.不存在 3.已知两点M(2，2)，N(-1，-2)，点P在y轴上，且∠MPN=90°，则点P的坐标为(　　) A.(0，) B.(0，-) C.(0，)或(0，-) D.(0，6)或(0，-6) 4.已知A(0，1)，B(1，0)，C(3，2)，D(2，3)，则四边形ABCD的形状为　　　　. 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 导学案2.1.2　两条直线平行和垂直的判定参考答案 [学习目标]　1.理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件.(重点)2.会运用条件判定两直线是否平行或垂直.3.运用两直线平行和垂直时的斜率关系解决相应的几何问题.(难点) 导语 过山车是一项富有刺激性的娱乐项目.实际上，过山车的运动包含了许多数学和物理学原理.过山车的两条铁轨是相互平行的轨道，它们靠着一根根巨大的柱形钢筋支撑着，为了使设备安全，柱子之间还有一些小的钢筋连接，这些钢筋有的互相平行，有的互相垂直，你能感受到过山车中的平行和垂直吗？两条直线的平行与垂直用什么来刻画呢？本节课我们就来研究一下. 一、两条直线平行的判定 问题1　在平面几何中，两条平行直线被第三条直线所截，形成的同位角、内错角、同旁内角有什么关系？ 提示　两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补. 问题2　如图所示，设两条直线l1与l2的倾斜角分别为α1与α2，斜率分别为k1与k2. ①当l1∥l2时，α1与α2，k1与k2满足什么关系？ ②当k1=k2时，两条直线l1与l2是什么关系？ 提示　①α1=α2，k1=k2.②l1∥l2. 知识梳理 两条直线l1与l2平行关系的判定如下： 类型 斜率存在 斜率不存在 前提 条件 α1≠90°，α2≠90° α1=α2=90° 对应 关系 l1∥l2⇔k1=k2 l1∥l2⇔两条直线的斜率都不存在 图示 注意点： (1)若没有特别说明，说“两条直线l1，l2”时，指两条不重合的直线；说“直线l1，l2”时，两直线的位置关系是任意的，可以重合. (2)l1∥l2⇔k1=k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②l1与l2不重合. (3)k1=k2⇒l1∥l2或l1与l2重合(斜率存在). (4)l1∥l2⇒k1=k2或两条直线的斜率都不存在. (5)若斜率存在的直线l1，l2重合，仍有k1=k2，可用来证明三点共线. 例1　(1)(课本例2)已知A(2，3)，B(-4，0)，P(-3，1)，Q(-1，2)，试判断直线AB与PQ的位置关系，并证明你的结论. 解　如图，由已知可得直线BA的斜率kBA==， 直线PQ的斜率kPQ==. 因为kBA=kPQ，所以直线AB∥PQ. (2)(课本例3)已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0，0)，B(2，-1)，C(4，2)，D(2，3)，试判断四边形ABCD的形状，并给出证明. 解　如图，由已知可得AB边所在直线的斜率kAB=-， CD边所在直线的斜率kCD=-， BC边所在直线的斜率kBC=， DA边所在直线的斜率kDA=. 因为kAB=kCD，kBC=kDA， 所以AB∥CD，BC∥DA. 因此四边形ABCD是平行四边形. 例2　判断下列各题中的直线l1与l2是否平行： (1)l1经过点A(-1，-2)，B(2，1)，l2经过点M(3，4)，N(-1，-1)； (2)l1的斜率为1，l2经过点A(1，1)，B(2，2)； (3)l1经过点A(0，1)，B(1，0)，l2经过点M(-1，3)，N(2，0)； (4)l1经过点A(-3，2)，B(-3，10)，l2经过点M(5，-2)，N(5，5)； (5)l1经过点A(-4，-3)，B(-2，-1)，l2经过点M(1，2)，N(3，4). 解　(1)k1==1，k2==， k1≠k2，l1与l2不平行. (2)k1=1，k2==1，k1=k2， 故l1∥l2或l1与l2重合. (3)k1==-1，k2==-1， 则有k1=k2.又kAM==-2≠-1， 则A，B，M三点不共线.故l1∥l2. (4)由已知点的坐标，得l1与l2均与x轴垂直且不重合，故有l1∥l2. (5)k1==1，k2==1， 则有k1=k2.又kAM==1， 则A，B，M三点共线，故l1与l2重合，不平行. 反思感悟　由斜率判断两条不重合的直线是否平行的方法 (1)如果两条直线的斜率都不存在，则两直线平行. (2)如果一条直线的斜率存在，另一条直线的斜率不存在，则两直线不平行. (3)如果两条直线的斜率都存在，若相等则平行，若不相等则不平行. 跟踪训练1　已知A(-2，m)，B(m，4)，M(m+2，3)，N(1，1)，若AB∥MN，则m的值为　　　　　. 答案　0或1 解析　当m=-2时，直线AB的斜率不存在，而直线MN的斜率存在，MN与AB不平行，不符合题意；当m=-1时，直线MN的斜率不存在， 而直线AB的斜率存在， MN与AB不平行，不符合题意； 当m≠-2，且m≠-1时， kAB==，kMN==.因为AB∥MN，所以kAB=kMN， 即=，解得m=0或m=1. 当m=0或1时，经检验，两直线不重合. 综上，m的值为0或1. 二、两条直线垂直的判定 问题3　平面中，两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则两条直线的方向向量分别为a=(1，k1)，b=(1，k2)，当两条直线互相垂直时，可以得出什么结论？ 提示　k1·k2=-1. 知识梳理 两条直线l1与l2垂直关系的判定如下： 类型 斜率存在 l1(或l2)的斜率不存在 前提 条件 α1≠90°，且α2≠90° α1=90°(或α2=90°) 对应 关系 l1⊥l2⇔k1k2=-1 l1⊥l2⇔l2(或l1)的斜率为0 图示 注意点： (1)l1⊥l2⇔k1k2=-1成立的条件是两条直线的斜率都存在. (2)当直线l1⊥l2时，有k1k2=-1或其中一条直线垂直于x轴，另一条直线垂直于y轴；而若k1k2=-1，则一定有l1⊥l2. (3)当两条直线的斜率都存在时，若这两条直线有垂直关系，则可以用一条直线的斜率表示另一条直线的斜率，即k1=-. 例3　(1)(课本例4)已知A(-6，0)，B(3，6)，P(0，3)，Q(6，-6)，试判断直线AB与PQ的位置关系. 解　直线AB的斜率kAB=， 直线PQ的斜率kPQ=-. 因为kABkPQ=×=-1， 所以直线AB⊥PQ. (2)(课本例5)已知A(5，-1)，B(1，1)，C(2，3)三点，试判断△ABC的形状. 解　边AB所在直线的斜率kAB=-， 边BC所在直线的斜率kBC=2. 由kABkBC=-1，得AB⊥BC， 即∠ABC=90°. 所以△ABC是直角三角形. 例4　已知△ABC的顶点为A(5，-1)，B(1，1)，C(2，m)，若△ABC为直角三角形，求m的值. 解　若∠A为直角，则AC⊥AB，∴kAC·kAB=-1， 即·=-1，解得m=-7； 若∠B为直角，则AB⊥BC，∴kAB·kBC=-1， 即·=-1，解得m=3； 若∠C为直角，则AC⊥BC， ∴kAC·kBC=-1， 即·=-1，解得m=±2. 综上所述，m=-7或m=3或m=±2. 反思感悟　判断两条直线是否垂直的方法 在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于-1即可；若有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合，这两条直线也垂直. 跟踪训练2　(多选)下列各对直线互相垂直的是(　　) A.l1过点M(1，1)，N(1，2)，l2过点P(1，5)，Q(3，5) B.l1的斜率为-，l2过点P(1，1)，Q C.l1的倾斜角为30°，l2过点P(3，)，Q(4，2) D.l1过点M(1，0)，N(4，-5)，l2过点P(-6，0)，Q(-1，3) 答案　ABD 解析　A中，l1与x轴垂直，l2与x轴平行， 故两直线垂直； B中，l2过点P(1，1)，Q， kPQ=，故两条直线垂直； C中，kPQ=，故l1不与l2垂直； D中，l1过点M(1，0)，N(4，-5)，kMN=-， l2过点P(-6，0)，Q(-1，3)， kPQ=，故两条直线垂直. 三、平行与垂直的综合应用 例5　已知A(-4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(-3，0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定四边形ABCD的形状. 解　A，B，C，D四点在坐标平面内的位置如图， 由斜率公式可得 kAB==，kCD==，kAD==-3， kBC==-，∴kAB=kCD， 由图可知AB与CD不重合，∴AB∥CD. 由kAD≠kBC，∴AD与BC不平行. 又kAB·kAD=×(-3)=-1， ∴AB⊥AD.故四边形ABCD为直角梯形. 反思感悟　利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤 跟踪训练3　已知点A(0，3)，B(-1，0)，C(3，0)，求点D的坐标，使四边形ABCD为直角梯形(A，B，C，D按逆时针方向排列). 解　设所求点D的坐标为(x，y)，如图所示， 由于kAB=3，kBC=0， ∴kAB·kBC=0≠-1， 即AB与BC不垂直， 故AB，BC都不可作为直角梯形的直角腰. (1)若CD是直角梯形的直角腰， 则BC⊥CD，AD⊥CD， ∵kBC=0，∴CD的斜率不存在， 从而有x=3. 又kAD=kBC，∴=0，即y=3， 此时AB与CD不平行， 故所求点D的坐标为(3，3). (2)若AD是直角梯形的直角腰， 则AD⊥AB，AD⊥CD， ∵kAD=，kCD=， ∴解得x=，y=， ∴D点坐标为. 综上，D点坐标为(3，3)或. 1.知识清单： (1)两直线平行的判定. (2)两直线垂直的判定. (3)两直线平行、垂直的应用. 2.方法归纳：分类讨论、数形结合. 3.常见误区：研究两直线平行、垂直关系时忽略直线斜率为0或斜率不存在的情况. 1.若过点P(3，2m)和点Q(-m，2)的直线与过点M(2，-1)和点N(-3，4)的直线平行，则m的值是(　　) A. B.- C.2 D.-2 答案　B 解析　由题意知，直线PQ的斜率存在， 由kPQ=kMN，即=， 得m=-.经检验知，m=-符合题意. 2.(多选)已知直线l1的斜率为a，l1⊥l2，则l2的斜率可以为(　　) A. B.- C.a D.不存在 答案　BD 解析　当a≠0时，由k1·k2=-1知，k2=-，当a=0时，l2的斜率不存在. 3.已知两点M(2，2)，N(-1，-2)，点P在y轴上，且∠MPN=90°，则点P的坐标为(　　) A.(0，) B.(0，-) C.(0，)或(0，-) D.(0，6)或(0，-6) 答案　C 解析　设点P的坐标为(0，y0)， 则kPM=，kPN=， 因为∠MPN=90°，所以kPM·kPN=-1， 即·=-1， 解得y0=或y0=-，故点P的坐标为(0，)或(0，-). 4.已知A(0，1)，B(1，0)，C(3，2)，D(2，3)，则四边形ABCD的形状为　　　　. 答案　矩形 解析　由题意，可得kAB==-1，kCD==-1，kBC==1， kDA==1， ∴kAB=kCD，kBC=kDA. ∴AB∥CD，BC∥DA. ∴四边形ABCD为平行四边形. 又kABkBC=-1， ∴直线AB与BC垂直，即∠ABC=90°. ∴平行四边形ABCD为矩形. . 学科网（北京）股份有限公司 $