2.1.1 倾斜角与斜率-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（人教A版）

设n=(x,y,z)为平面ABC的法向量， …应-+宁-0， 则 3,2=-5,可取n=(-5,1,3), 5,5 代入d=D.m,得d22 J39 Inl √ 13 即点D到平面A0C的距离是骨 例4：【解析】(1)证明：由题意，设AD =1, .PD⊥平面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD, ∴.DA,DC,DP两两垂直. 如图，以D为原点，DA,DC,DP所在直 线分别为x,y,z轴建立空间直角坐 标系. 则CD=AD=4B=1,雨∠PAD=45,易知∠PDA=90,于 是PD=DA=1, 又E是PA的中点，故D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,2,0),C(0, 10P0.0,),5(分0,2） .BC=(-1,-1,0),C2=(0,-1,1), 设平面PBC的法向量为m=(x,y,z), m·BC=0, 则 即 「-x-y=0, 1m.C=0, L-y+z=0, 令y=1,则x=-1,2=1, m=(-11).又成=（分0,2） m:成：-1×分+0+1×号=0， .m1D正，又DE丈平面PBC,.DE∥平面PBC. (2)设点G的坐标为(1，t,0),0≤t≤2， 则C元=(1，t-1,0),由(1)知D=(1,2,0), 由cG1BD得.成=1+24-1)=0→t=7 c(1,20）.=(山，-20） 设平面GPC的法向量为n=(a,b,c), :0一60 1n.c元=0.a-2b20， 令a=l,则n=(山，2,2).则1cos(1,m1==35 平面GPC与平面PBC夹角的余弦值为 (3)假设在线段PA上存在点H,使得GH与平面GPC所成角 的正弦值为号 —21 AP=(-1,0,1),设A7=入A2=(-A,0,A),A∈[0,1]，G= (o,-20 a耐=d+i=(-a,号a .cos(Gi,n〉= GH·n2λ-2 IG1Inl3/8λ2+1 ?Gl与平面GPC所成角的正弦值为得， 2-25 382+131 整理得202+81-1=0，解得A=0或A=-(合去)， 之布在清足条件的点儿且仙：侣 第二章直线和圆的方程 2.1直线的倾斜角与斜率 2.1.1倾斜角与斜率 教材梳理明要点 新知初探 知识点一 x轴正向向上平行或重合 知识点二 1.正切值tan a 预习自测 1.BA项，任何一条直线都有倾斜角.但倾斜角为90°的直线没 有斜率.B项，当k=tana<0时，倾斜角a是钝角.C项，不能， 当直线与x轴垂直时，k-2二无意义.D项，与y轴垂直的 x2-x1 直线的斜率为0，与x轴垂直的直线的斜率不存在 2.-3k=tam120°=-/3 3.1由斜率公式k= 4-m=1,得m=1. m+2 题型探究提技能 例1：30°因为直线1的倾斜角为150°，所以∠BCA=30°，所以 4的倾斜角为7×(90°-30)=30 跟踪训练1：AB根据题意，画出图形，如图所示 通过图形可知，当0°≤a<135°时，4，的倾斜角为a+45°；当 135°≤a<180°时，41的倾斜角为45°+a-180°=a-135°. 伽解标】（国)布在直线4报的新率如一言1。 即tana=1, 又0°≤a<180°，所以倾斜角a=45° 3-3 (2)存在.直线CD的斜率km-2+2=0, 即tana=0 又0°≤a<180°，所以倾斜角=0° (3)当a=3时，斜率不存在，倾斜角a=90°： 当a≠3时，直线的斜率k=。且领斜角&清足ama 4 =3-d 2-1 -1-1 跟踪训练2：解析】k三元=2c=1（-1) 一 因为B,C两点的横坐标相等，所以直线BC的斜率不存在. 由6u=分>0,6x=-1<0可知，直线B的领斜角为锐角， 直线AC的倾斜角为钝角；因为直线BC的斜率不存在，所以 直线BC的倾斜角为直角. 例3：【解析】如图所示，由题意可知 a49=-16a号9=l 2-0 A(-3,41 所以PA的倾斜角是135°，PB的倾 B3,2) 斜角是45°， P1,0)x (1)要使直线1与线段AB有公共 点，直线1的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，所以α 的取值范围是45°≤≤135°. (2)要使直线l与线段AB有公共点，则直线I的斜率k的取值 范围是(-0，-1]U[1,+∞). 跟踪训练3：【解析】如图所示. e品 c-5,-1-v5 2-1 设直线CD的斜率为k, 当斜率k变化时，直线CD绕C点旋转， 当直线CD由CA逆时针方向旋转到CB时，直线CD与AB恒 有交点，即D在线段AB上， 此时长由k。增大到ka,所以长的取值范国为[？，厅] 随堂检测重反馈 1.Dk=√5时，a=60°；k=-√5时，a=120°. 2.A由题意知，an45°=2-3，得m=2, 1-m 3.3π因为A(-1,-2),B(2,1),C(x,2)三点共线，所以 4 u=c,即十片--解得x=3,设直线4B的倾斜角为0 由m0=1得0=牙，所以直线4B的倾斜角为平 4(-2.)）由题意知6。多得号-号因为直线的颜 斜角为纯角，所以e-<0,解得-2<1<1 21 2.1.2两条直线平行和垂直的判定 教材梳理明要点 新知初探 知识点一 90°k1=k2 知识点二 kk,=-1不存在 预习自测 .B6w-号3，/服6=3放选B 2.A由于直线L的斜率为2且L11l2,所以直线l2的斜率为 -7故选A 题型探究提技能 3-01 例1：【解析】(1)：ks=2-（-4)=2 2-1 w=-2=（-3)=l,hg≠kv, .1与2不平行. (2)由题意知，的斜率不存在，且不是y轴，，的斜率也不存 在，恰好是y轴，∴.1∥儿2. （3)由花知=号16号含1 .=k2,L1与2平行或重合， 4-(-12=1, 又kc=3-(-2) ∴.E,F,G,H四点共线，.41与2重合 0-1 0-3 (4)4==0=-1,6=2-n=-1, 则有k,=h2· 3-1 叉kw=1-0=-2≠-l, 则A,B,M三点不共线.故l1∥L2 限踪训练1：B由题意知2=1，解得m=1 做（解标】6仁-品-2二号分 kk2=1,.l1与l2不垂直. (26=-106-名品-046=-1414 (3)由A,B的横坐标相等得11的倾斜角为90°，则L1⊥x轴. 40-40=0,则6∥x轴，…412 k=10-(-10) 跟踪训练2：(1)-√5120°(2)±1(1)由1=30°得k1= tan30°=3 3’ 112,.k·k=-1,即k2=-5, 又0°≤a2<180°，.ax2=120°. (2):A,B两点纵坐标不相等，∴AB与x轴不平行 AB⊥CD,.CD与x轴不垂直， .-m≠3，即m≠-3. 当AB与x轴垂直时，-m-3=-2m-4,解得m=-1, 而当m=-1时，点C,D的纵坐标均为-1， 则CD∥x轴，此时AB⊥CD,满足题意. 当AB与x轴不垂直时，由斜率公式知，●043 第二章 直线和圆的方程 2.1直线的倾斜角与斜率 2.1.1倾斜角与斜率 新课程标准解读 学科核心素养 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握它们之间的关系 数学抽象、逻辑推理 2.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率. 数学运算 教材梳理明要点 ●情境导入 生活中随处可见的斜坡与水平方向的倾斜程度多有不同，一般用“坡度” 来描述它们或陡或缓的程度.在数学中，不同直线相对于x轴的倾斜程度 也不同，如何用数学的方式刻画这种不同呢？ [提示] 用直线的倾斜角和斜 P[提示] 奉来表示直线相对于 x轴的倾斜程度 e新知初探 知识点一直线的倾斜角 当直线1与x轴相交时，以 为基准，x轴 与直线1 定义 的方向之间所成的角α叫做直线1的倾斜角 规定 当直线1与x轴 时，它的倾斜角为0° 范围 0°≤a<180° [知识点反思1] ●[知识点反思1] 任何一条直线都有倾 知识点二直线的斜率 斜角；平行直线的倾 斜角是相同的、 1.定义：把一条直线的倾斜角ax(α≠90)的 叫做这条直线的斜率， 斜率常用小写字母k表示，即k= 044 2.过两点的直线的斜率公式 [知识点反思2] 经过两点P(xy),P,(x)(x≠x)的直线的斜率公式为k=-当 2-七1’ 每一条直线都有倾斜 角，但倾斜角为90度 当x1=x2时，直线PP2的斜率不存在 [知识点反思2] 的直线斜率不存在 知识点三直线的方向向量坐标与斜率的关系 直线的斜奉也反映了 若直线1的斜率为飞，它的一个方向向量的坐标为(x,y)(x不为零)， 直线相对于x轴的倾 斜程度.当0°≤a< 则k=名 >[知识点反思3] 90时，斜奉越大，直 目预习自测 线的倾斜程度越大； 当90°<a<180时， 1.下列命题中，正确的是 斜奉越大，直线的倾 A.任何一条直线都有倾斜角与斜率 斜程度也越大 B.当直线的斜率为负值时其倾斜角为钝角 [知识点反思3] C.利用过两点的直线的斜率公式可以求任意一条直线的斜率 求已知直线的方向向 D.与y轴垂直的直线的斜率不存在，与x轴垂直的直线的斜率为0 量时，除了任取两点 2.若直线的倾斜角为120°，则直线的斜率为 得到方向向量外，以 3.若过点P(-2,m),Q(m,4)的直线的斜率为1，则m的值为 (1,k）为坐标的向 量也是其方向向量 题型探究提技能 题型一 例1，如图，已知直线的倾斜角是150，上，垂足为月。 [方法总结1] 直线的倾斜角可以看 11,L2与x轴分别相交于点C,A,l3平分∠BAC,则13的 作是由x轴正半轴绕 倾斜角为 着交点按逆时针方向 旋转到与直线重合时 一[方法总结1] 所成的最小正角.所 以求直线的倾斜角 时，往往借助于图形 结合图形求倾斜角 》跟踪训练1 时，应注意倾斜角的 (多选)设直线过坐标原，点，它的倾斜角为，如果将1绕坐标原点按逆时 范围以及平面几何知 针方向旋转45°，得到直线11，那么1的倾斜角可能为 () 识的应用」 A.a+45° B.a-135° C.135°-x D.a-45° ●045 题型二直线的斜率 例2经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定 直线的倾斜角x. [方法总结2] (1)A(2,3),B(4,5); 求直线的斜奉的两种 方法 (2)C(-2,3),D(2,3); (1)若已知直线的倾 (3)P(a,2),Q(3,6). >[方法总结2] 斜角为a,且a≠ 90,则k=tana;a =90°时，斜奉不 存在 (2)若已知直线上两 点，首先判断两点的 横坐标是否相等，若 相等，则直线的斜率 不存在；若不相等，则 可以用两点的斜李公 式k=(x,≠x) X2-X1 计算. )》跟踪训练2 已知坐标平面内△ABC的三个顶点的坐标分别是A(-1,1),B(1,2), C(1,-1),求直线AB,BC,AC的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角、钝 角还是直角。 046 题型三 直线的倾斜角与斜率的应用 例3已知两点A(-3,4),B(3,2),过点P1,0)的直线1与线段AB有公共 点 [方法总结3] (1)求直线1的倾斜角a的取值范围： 涉及直线与线段有交 点问题常通过数形结 (2)求直线1的斜率的取值范围. ●[方法总结3] 合，先求出边界直线 的斜奉和倾斜角，确 定出动直线倾斜角的 范围，再结合正切函 数图象确定动直线斜 奉的范围. 》跟踪训练3 已知A(-1,1),B(1,1),C(2,3+1),若点D在线段AB(包括端点)上移 动时，求直线CD的斜率的变化范围. 随堂检测重反馈 1.若直线斜率的绝对值等于3，则直线的倾斜角为 ( A.60° B.30° C.120° D.60°或120° 2.若经过A(m,3),B(1,2)两点的直线的倾斜角为45°，则m等于 A.2 B.1 C.-1 D.-2 3.已知A(-1,-2),B(2,1),C(x,2)三点共线，则x= ,直线AB的倾斜角为 4.若经过点A(1-t,1+t)和点B(3,2t)的直线的倾斜角为钝角，则实数t的取值范围是 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[12]