第十二讲 两条直线平行和垂直的判定 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦两条直线平行和垂直的判定，课堂导入从已学斜率公式切入，通过对比倾斜角关系引导学生发现斜率与平行垂直的内在联系，构建从斜率概念到判定条件的学习支架，明确不重合、斜率存在与否等前提。 资料亮点在于易错点归纳帮助学生规避常见错误，培养严谨数学思维，多样题型结合坐标法发展直观想象与数学运算素养，解题策略指导“一看二代三求”步骤，助力学生形成有条理的推理能力，巩固提升题分层设计，便于自主学习与应用。

第十二讲 两条直线平行和垂直的判定 【学习目标】1.能说明两条直线平行或垂直与两条直线斜率的关系的内在统一性，能根据斜率判定两条直线平行或垂直; 2.能利用两条直线平行或垂直的条件解决问题，体会坐标法思想，发展直观想象、数学运算等素养. 【学习重点】两条直线平行与垂直的判定. ( 图 6 )【学习难点】利用直线的平行与垂直解决有关问题. 必掌握知识点： 一 两条直线平行　 对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，有l1∥l2⇔k1＝k2. 注：1. l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件是： ①两条直线的斜率都存在．②l1与l2不重合． 2.当两条直线不重合且斜率都不存在时，与的倾斜角都是，则. 3.两条不重合直线平行的判定的一般结论是：或，斜率都不存在. 二 两条直线垂直　 如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直，即l1⊥l2⇔k1·k2＝－1. 注：1.l1⊥l2⇔k1·k2＝－1成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在．②k1≠0且k2≠0. 2.两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直． 3.判定两条直线垂直的一般结论为： 或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零． 三 解题策略： 1、两条直线平行的判定及应用 k1＝k2⇔l1∥l2是针对斜率都存在且不重合的直线而言的，对于斜率不存在或可能不存在的直线，要注意利用图形．　　　　 2、利用斜率公式来判定两直线垂直的方法 (1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在只需看另一条直线的两点的纵坐标是否相等，若相等，则垂直，若不相等，则进行第二步． (2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式． (3)三求：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论．　　　　 3、利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤 四.易错点归纳 1.混淆直线平行与重合 用一般式求直线参数，只解，忘记检验，会把重合误判为平行。求出参数后，一定要回代检验排除重合。 2.垂直只记斜率公式，忽略斜率不存在的情况 公式的前提是两条直线斜率都存在；一条斜率为 0，一条斜率不存在，两直线依然垂直。做含参题目优先选用一般式垂直条件，可以避开讨论斜率是否存在。 3.充分必要条件判断出错 解出平行 、 垂直对应的参数往往有多个解；题目条件只是其中一部分，要分清 “条件能推出结论” 还是 “结论推出条件”，尤其注意重合不属于平行。 4.恒过定点题目计算错误 整理含参直线方程时，分组出错，方程组解错定点坐标；做完可以回代参数验证该点是否满足直线方程。 必考题型全归纳： 题型一：两直线平行的判定（斜率、一般式） 斜率都存在：两条直线， 且； 若且，两直线重合，不是平行。 一般式 ， 重点：只算系数相等会把重合当成平行，必须排除重合情况。 平行直线倾斜角相等。 1．下列直线中与直线平行的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两直线平行的条件判断即可. 【详解】对于直线，可化为， 对于A，因为，所以，与目标直线不平行，故A错误， 对于B，因为，所以，与目标直线平行，故B正确， 对于C，因为，所以，与目标直线不平行，故C错误， 对于D，因为，所以，与目标直线不平行，故D错误. 故选：B 2．已知直线：，：，若，则实数的值为（     ） A．0 B．1 C．0或1 D．1或2 【答案】C 【详解】已知直线：，：，若， 则有， 化简方程得：， 解得或，C正确. 3．已知直线，若，则___________ 【答案】 【分析】由一般式得到两直线斜率，再由两直线平行，斜率相等求解即可； 【详解】当时，，，两直线不平行， 当时，两直线平行斜率相等， ，则 ，则， 又，则两直线斜率相等，即， 化简计算得：，解得：或， 又时，，，两直线重合， 故. 故答案为： 题型二：两直线垂直的判定（斜率、一般式） 斜率均存在：。 一般式 一般式优势：不用考虑斜率不存在的情况，直接用系数计算 拓展：方向向量，若方向向量，方向向量，垂直等价。 4．若直线与直线垂直，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由于直线与垂直，故，解得． 5．已知直线，则与的位置关系是（   ） A．平行 B．重合 C．相交但不垂直 D．垂直 【答案】D 【分析】根据判断. 【详解】因为直线，的斜率分别为，且，所以与的位置关系是垂直. 故选：D 6．已知直线经过，两点，直线的斜率为，那么与（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直 【答案】C 【分析】利用两直线的位置关系求解. 【详解】因为直线经过，两点， 所以直线的斜率为，而， 所以，所以与垂直，故选：C 题型三：充分条件、必要条件（平行 / 垂直与逻辑结合） 充分不必要：条件结论，但结论条件； 必要不充分：结论条件，但条件结论； 充要：条件结论。 解题步骤：①先解出直线平行 / 垂直对应的参数全部取值；②对比题干给的条件，判断推出关系。 注意：平行时要区分 “平行” 和 “重合”。 7．直线和直线，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先由两直线互相垂直可得或，再结合充分必要条件定义即可得解. 【详解】，则，即，解得或， 所以“”是“”的充分不必要条件.故选：B. 8．已知直线与，则“”是“”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【详解】由两条直线垂直的充要条件得，解得或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 9．设，，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由，若，则、重合，充分性不成立， 由，则必有，必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 题型四：点关于直线对称（垂直平分线性质） 点与对称点，对称轴为直线，满足两条： ，两点连线与对称轴垂直（斜率乘积）； 和的中点落在对称轴上。 联立两个方程求解对称点或者参数。 点关于直线对称，对称点在坐标轴上，求参数 10．已知点关于直线对称的点恰好在轴上，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D．无法确定的 【答案】C 【分析】利用 “对称轴是对称点连线的垂直平分线” 这一性质，通过两个关键条件建立方程组求解即可. 【详解】因为点在轴上，故设（为实数）， 因为直线的斜率为−1，直线与直线垂直，故两直线的斜率乘积为. 则直线的斜率为，即. 因为点与点的中点为，该点在直线上， 所以代入可得：. 所以，化简可得，解得.故选：C 题型五：斜率判定几何图形（四边形、三角形形状） 四边形：两组对边斜率分别相等 ⇒ 平行四边形； 平行四边形基础上，邻边斜率乘积（邻边垂直）⇒矩形； 对边平行，一组邻边垂直，另一组邻边不平行 ⇒直角梯形； 四边斜率对应相等且邻边斜率乘积、边长相等 ⇒正方形； 平行四边形 + 邻边长度相等 ⇒菱形。 三角形：两条边斜率乘积等于 ⇒直角三角形；结合边长可以判定等腰直角三角形。 11．已知点，，点在轴上，是直角三角形，这样的三角形的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】设点C的坐标，讨论当分别为直角时的情况，求得点C的坐标，得满足题意的三角形共有3个. 【详解】设.显然直线斜率都存在. 若为直角，则，所以，解得； 若为直角，则，所以，解得； 若为直角，则，所以，解得. 故有三个满足要求的直角三角形.故选：C 方法二：若为直角，则，解得； 若为直角，则，解得； 若为直角，则，解得. 故有三个满足要求的直角三角形.故选：C 方法三：当为直角顶点时，显然有两个这样的直角三角形； 若为直角顶点，中点，，则，而点到距离为5，此时有唯一点，符合要求. 故有三个满足要求的直角三角形.故选：C 12．以，，，为顶点的四边形是（    ） A．矩形 B．菱形 C．直角梯形 D．正方形 【答案】A 【详解】根据斜率公式 ​​，代入四个点坐标，，，， 则， 所以，，两组对边分别平行，该四边形是平行四边形， 又因为 ，所以，即邻边垂直，则该平行四边形为矩形， 再根据两点间距离公式可得： 由于邻边长度不相等，排除菱形、正方形,故该四边形是矩形. 13．已知的顶点，，，为的中点． (1)求直线的斜率； (2)判断的形状； 【答案】(1) (2)等腰直角三角形. 【分析】（1）根据题意，由中点公式求得，结合直线的斜率公式，即可求解； （2）利用直线的斜率公式，分别求得，得到且，得到和，进而得到的形状. 【详解】（1）解：因为，，且为的中点， 设，由中点公式得，即， 又因为，可得直线的斜率为. （2）解：因为，，，且， 由斜率公式，可得， 又因为，所以，即，所以为直角三角形， 又由为的中点，且，所以，所以为等腰三角形 所以为等腰直角三角形. 题型六：直线恒过定点问题 含参数的直线方程，整理成； 令，解方程组，得到固定点，与参数无关。 经常和平行、垂直、直线经过象限综合考查。 14（多选）．已知直线和直线，下列说法正确的是（   ） A．始终过定点 B．若，则 C．若，则 D．当时，始终不过第三象限 【答案】ABD 【分析】根据直线过定点、两直线平行、直线的图像以及两直线垂直逐项计算判断即可． 【详解】对于A，直线：， 由，得，，始终过定点，故A正确； 对于B，若，则有，解得，故B正确； 对于C，，则，解得或，故C错误； 对于D，当时，始终过， 因为，所以直线斜率，不会过第三象限，故D正确．故选：ABD． 15（多选）．已知直线和直线，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．恒过定点 C．若，则或 D．当时，不过第三象限 【答案】BCD 【分析】根据直线平行和垂直得到关于的方程，解出后即可判断AC，变形得，即可得到方程组，解出后即可判断B，将直线方程化为斜截式即可判断D. 【详解】对于A：若，则，解得或， 当时，，，则与重合，故舍去， 当时，，，则，故A错误； 对于B，直线，即， 令，解得，故直线过定点，故B正确； 对于C：若，则，解得或，故C正确； 对于D：当时，直线始终过点，且斜率为负，故该直线过第一、二、四象限，故D正确．故选：BCD． 题型七：直线与解三角形综合（正弦定理） 把三角形正弦定理，和直线一般式平行 / 垂直条件、结合； 得到边角关系，再三角恒等变换，判断三角形是等腰 、 直角三角形。 16．设a，b，c分别是中角A，B，C的对边，则直线与的位置关系是（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．无法确定 【答案】C 【分析】由正弦定理结合两直线方程系数之间的关系进行判断. 【详解】由正弦定理，得， 又两条直线的方程分别为，， 因为两直线的系数满足，所以两直线垂直． 故选：C. 17．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，直线与直线平行，则是______． 【答案】 等腰三角形或直角三角形 【分析】根据两直线平行的条件得到边角等式，结合正弦定理边化角与三角恒等变换判断三角形形状. 【详解】直线与直线平行， 则有，由正弦定理得，即， 中，，当时，有2种情况， 情况1：，即，此时为等腰三角形； 情况2：，即，则，此时为直角三角形， 综上， 是等腰三角形或直角三角形. 题型八：斜率与钝角、锐角、直角（数形结合） 由三点构成三角形： 某角为直角：两条边斜率乘积； 某角为钝角：向量点积小于 0，同时排除三点共线； 结合图形旋转，求斜率取值范围。 18．已知直线过点，直线与直线的交点在第一象限，点为坐标原点．若为钝角三角形，则直线的斜率的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据直线斜率的定义，运用数形结合思想、分类讨论进行求解即可. 【详解】当为直角三角形时，或，此时的斜率或0．如图，设时，与交于点； 时，与交于点． 当从直线开始，绕点顺时针旋转到轴之间时，为钝角三角形，此时；记过点且与平行的直线为， 当从直线开始，绕点逆时针旋转到直线之间时，为钝角三角形，此时1．综上，． 故答案为：    巩固提升： 1．若直线与互相垂直，则（    ） A． B．3 C．或3 D． 【答案】D 【详解】因为直线与互相垂直， 所以，解得． 2．直线的倾斜角为，的一个方向向量为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由直线的倾斜角和的方向向量分别求出两直线的斜率，再利用两直线垂直的条件计算即可. 【详解】直线的斜率，直线的斜率， 由，得，故.故选：B. 3．已知直线l过点且与直线垂直，则直线l方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两直线垂直时斜率的关系，以及点斜式方程定义，求出结果即可. 【详解】直线的斜率为，则与它垂直的直线l的斜率为， 又直线l过点，，即.故选：A. 4.已知直线的倾斜角为，直线，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直线的斜率公式与直线平行的性质求解即可. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以， 又，所以.故选：C. 5.已知过和的直线与斜率为－2的直线平行，则m的值是（    ） A．－8 B．0 C．2 D．10 【答案】A 【分析】由两点的斜率公式表示出直线的斜率，再由两直线平行斜率相等列出等式，即可解出答案. 【详解】由题意可知，，解得．故选：A 6.已知直线的倾斜角为，直线的斜率为，若∥，则的值为________． 【答案】/2或/或2 【分析】由直线倾斜角由斜率的关系可知直线的斜率为，再由两直线平行，斜率相等列出等式，即可求出答案. 【详解】由题意知，解得.故答案为： 7.已知直线经过，两点，直线倾斜角为，那么与（    ） A．平行 B．垂直 C．重合 D．相交但不垂直 【答案】B 【分析】根据两点求出直线的斜率，根据倾斜角求出直线的斜率，可知斜率乘积为，从而得到垂直关系. 【详解】由题意可得：直线的斜率，直线的斜率， ∵，则与垂直.故选：B. 8.已知直线的斜率是方程的两个根，则（    ） A． B． C．与相交但不垂直 D．与的位置关系不确定 【答案】C 【分析】由可知两直线不垂直，且知两直线不平行，由此可得结论. 【详解】设直线的斜率为，则， ，不垂直，A错误； 若，则，与矛盾，，不平行，B错误； 不平行，也不垂直，相交但不垂直，C正确，D错误.故选：C. 9.已知经过点和点的直线与经过点和点的直线互相垂直，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】求出直线的斜率为，分、两种情况讨论，在时，由两直线斜率之积为可求得实数的值；在时，直接验证.综合可得结果. 【详解】直线的斜率． ①当时，直线的斜率． 因为，所以，即，解得． ②当时，、，此时直线为轴， 又、，则直线为轴，显然． 综上可知，或.故选：C. 10.已知点，，，是的垂心．则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设点C的坐标,再求出直线的斜率，则可求出直线的斜率和直线的倾斜角，联立方程组求出C的坐标； 【详解】设C点标为，直线AH斜率， ∴，而点B的横坐标为6，则， 直线BH的斜率，∴直线AC斜率， ∴，∴点C的坐标为．故选:. 11.已知A(-4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(-3,0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，则四边形ABCD的形状是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．直角梯形 【答案】D 【分析】由斜率的两点式分别求出，进而可判断直线的位置关系，即可知正确选项. 【详解】∵ ∴ABCD，AD⊥AB，AD⊥CD，AD与BC不平行，∴四边形ABCD为直角梯形. 故选：D. 12．若直线的斜率为，经过点，，则直线和的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交不垂直 D．重合 【答案】B 【分析】根据直线斜率公式，结合两直线位置关系与斜率的关系进行判断即可. 【详解】因为直线经过点，， 所以直线的斜率为：，又因为，所以两直线垂直，故选：B 13.已知两条直线l1，l2的斜率是方程3x2＋mx－3＝0(m∈R)的两个根，则l1与l2的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．可能重合 D．无法确定 【答案】B 【分析】由韦达定理可知，由此可作出判断. 【详解】解析由方程3x2＋mx－3＝0，知＝m2－4×3×(－3)＝m2＋36>0恒成立． 故方程有两相异实根，即l1与l2的斜率k1，k2均存在．设两根为x1，x2，则k1k2＝x1x2＝－1，所以l1⊥l2．故选：B 14.过点和点的直线与直线的位置关系是（    ） A．相交 B．平行 C．重合 D．以上都不对 【答案】B 【分析】根据斜率公式求得的斜率，得出直线的方程，进而得出两直线的位置关系. 【详解】由题意，点和点，可得，所以的方程为， 又由直线的斜率为0，且两直线不重合， 所以两直线平行. 故选：B. 15.已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，那么与 A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【答案】A 【解析】根据两点求出直线的斜率，根据倾斜角求出直线的斜率；可知斜率乘积为，从而得到垂直关系. 【详解】直线经过，两点    直线的斜率： 直线的倾斜角为    直线的斜率：      本题正确选项： 【点睛】本题考查直线位置关系的判定，关键是利用两点连线斜率公式和倾斜角求出两条直线的斜率，根据斜率关系求得位置关系. 16.若直线与直线平行，则实数k的值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】利用两直线平行斜率相等，求出实数k的值. 【详解】因为直线与直线平行， 所以两直线斜率相等，即. 故选：D. 17．已知两条直线：，：，若，则实数______. 【答案】 【详解】两条直线：，：， 因为，则，所以. 18．若直线：与直线：平行，则实数________. 【答案】 【详解】直线的斜率为，在轴上的截距为， 因为两条直线平行， 故直线的斜率存在，且与直线的斜率相等，在轴上的截距不为，故， 所以直线的斜率为，在轴上的截距为， 所以，且，解得，即实数. 19．若与垂直，则________. 【答案】 【详解】因为与垂直，则，解得. 20．若直线与直线垂直，则__________. 【答案】 【详解】因为，所以，解得. 21．已知直线与经过，两点的直线垂直，则直线的斜率为_______． 【答案】 【分析】根据斜率的定义和斜率垂直的知识计算即可. 【详解】因为直线与经过，两点的直线垂直，直线的斜率为. 所以直线的斜率为. 22．已知直线与直线垂直，则______． 【答案】 【详解】因为直线与直线垂直， 所以，得. 23．若直线，且直线的倾斜角为，则直线的斜率为______． 【答案】 【分析】根据倾斜角和斜率的关系求得正确答案. 【详解】由题得直线与的倾斜角相等， 直线的倾斜角为，则直线的斜率为． 故答案为： 24．若直线与平行，求的值. 【答案】3或5 【分析】根据直线平行的性质求参数即可. 【详解】因为直线与平行， 当时，，两直线平行，符合题意； 当时，由得（舍去）或， 此时，两直线平行，符合题意. 综上，的值为3或5. 25．已知两条直线 和 (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用直线与直线垂直的条件直接求解； （2）利用直线与直线平行的条件直接求解． 【详解】（1）若，则，解得：. （2）若，则， 当时，即，解得：或， 又，所以. 综上，； 26．已知四边形的四个顶点分别为，，试判断四边形的形状，并给出证明． 【答案】四边形是平行四边形，证明如下： 由题得，边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 因为，所以， 所以四边形是平行四边形． . 【分析】根据直线的斜率和图象进行判断. 【详解】略 27．已知点，，，，试判定四边形的形状． 【答案】直角梯形 【分析】根据题意求直线的斜率，利用斜率结合平行、垂直关系分析判断. 【详解】由斜率公式可得：，，，，因为，可知， 因为，可知与BC不平行， 又因为，可知，所以四边形ABCD是直角梯形． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十二讲 两条直线平行和垂直的判定 【学习目标】1.能说明两条直线平行或垂直与两条直线斜率的关系的内在统一性，能根据斜率判定两条直线平行或垂直; 2.能利用两条直线平行或垂直的条件解决问题，体会坐标法思想，发展直观想象、数学运算等素养. 【学习重点】两条直线平行与垂直的判定. ( 图 6 )【学习难点】利用直线的平行与垂直解决有关问题. 必掌握知识点： 一 两条直线平行　 对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，有l1∥l2⇔k1＝k2. 注：1. l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件是： ①两条直线的斜率都存在．②l1与l2不重合． 2.当两条直线不重合且斜率都不存在时，与的倾斜角都是，则. 3.两条不重合直线平行的判定的一般结论是：或，斜率都不存在. 二 两条直线垂直　 如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直，即l1⊥l2⇔k1·k2＝－1. 注：1.l1⊥l2⇔k1·k2＝－1成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在．②k1≠0且k2≠0. 2.两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直． 3.判定两条直线垂直的一般结论为： 或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零． 三 解题策略： 1、两条直线平行的判定及应用 k1＝k2⇔l1∥l2是针对斜率都存在且不重合的直线而言的，对于斜率不存在或可能不存在的直线，要注意利用图形．　　　　 2、利用斜率公式来判定两直线垂直的方法 (1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在只需看另一条直线的两点的纵坐标是否相等，若相等，则垂直，若不相等，则进行第二步． (2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式． (3)三求：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论．　　　　 3、利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤 四.易错点归纳 1.混淆直线平行与重合 用一般式求直线参数，只解，忘记检验，会把重合误判为平行。求出参数后，一定要回代检验排除重合。 2.垂直只记斜率公式，忽略斜率不存在的情况 公式的前提是两条直线斜率都存在；一条斜率为 0，一条斜率不存在，两直线依然垂直。做含参题目优先选用一般式垂直条件，可以避开讨论斜率是否存在。 3.充分必要条件判断出错 解出平行 、 垂直对应的参数往往有多个解；题目条件只是其中一部分，要分清 “条件能推出结论” 还是 “结论推出条件”，尤其注意重合不属于平行。 4.恒过定点题目计算错误 整理含参直线方程时，分组出错，方程组解错定点坐标；做完可以回代参数验证该点是否满足直线方程。 必考题型全归纳： 题型一：两直线平行的判定（斜率、一般式） 1．下列直线中与直线平行的是（    ） A． B． C． D． 2．已知直线：，：，若，则实数的值为（     ） A．0 B．1 C．0或1 D．1或2 3．已知直线，若，则___________ 题型二：两直线垂直的判定（斜率、一般式） 4．若直线与直线垂直，则（     ） A． B． C． D． 5．已知直线，则与的位置关系是（   ） A．平行 B．重合 C．相交但不垂直 D．垂直 6．已知直线经过，两点，直线的斜率为，那么与（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直 题型三：充分条件、必要条件（平行 / 垂直与逻辑结合） 7．直线和直线，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知直线与，则“”是“”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 9．设，，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型四：点关于直线对称（垂直平分线性质） 10．已知点关于直线对称的点恰好在轴上，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D．无法确定的 题型五：斜率判定几何图形（四边形、三角形形状） 11．已知点，，点在轴上，是直角三角形，这样的三角形的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 12．以，，，为顶点的四边形是（    ） A．矩形 B．菱形 C．直角梯形 D．正方形 13．已知的顶点，，，为的中点． (1)求直线的斜率； (2)判断的形状； 题型六：直线恒过定点问题 含参数的直线方程，整理成； 令，解方程组，得到固定点，与参数无关。 经常和平行、垂直、直线经过象限综合考查。 14（多选）．已知直线和直线，下列说法正确的是（   ） A．始终过定点 B．若，则 C．若，则 D．当时，始终不过第三象限 15（多选）．已知直线和直线，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．恒过定点 C．若，则或 D．当时，不过第三象限 题型七：直线与解三角形综合（正弦定理） 16．设a，b，c分别是中角A，B，C的对边，则直线与的位置关系是（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．无法确定 17．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，直线与直线平行，则是______． 题型八：斜率与钝角、锐角、直角（数形结合） 18．已知直线过点，直线与直线的交点在第一象限，点为坐标原点．若为钝角三角形，则直线的斜率的取值范围是___________． 巩固提升： 1．若直线与互相垂直，则（    ） A． B．3 C．或3 D． 2．直线的倾斜角为，的一个方向向量为，若，则（    ） A． B． C． D． 3．已知直线l过点且与直线垂直，则直线l方程为（    ） A． B． C． D． 4.已知直线的倾斜角为，直线，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 5.已知过和的直线与斜率为－2的直线平行，则m的值是（    ） A．－8 B．0 C．2 D．10 6.已知直线的倾斜角为，直线的斜率为，若∥，则的值为________． 7.已知直线经过，两点，直线倾斜角为，那么与（    ） A．平行 B．垂直 C．重合 D．相交但不垂直 8.已知直线的斜率是方程的两个根，则（    ） A． B． C．与相交但不垂直 D．与的位置关系不确定 9.已知经过点和点的直线与经过点和点的直线互相垂直，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 10.已知点，，，是的垂心．则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 11.已知A(-4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(-3,0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，则四边形ABCD的形状是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．直角梯形 12．若直线的斜率为，经过点，，则直线和的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交不垂直 D．重合 13.已知两条直线l1，l2的斜率是方程3x2＋mx－3＝0(m∈R)的两个根，则l1与l2的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．可能重合 D．无法确定 14.过点和点的直线与直线的位置关系是（    ） A．相交 B．平行 C．重合 D．以上都不对 15.已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，那么与 A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 16.若直线与直线平行，则实数k的值为（    ） A． B． C． D．3 17．已知两条直线：，：，若，则实数______. 18．若直线：与直线：平行，则实数________. 19．若与垂直，则________. 20．若直线与直线垂直，则__________. 21．已知直线与经过，两点的直线垂直，则直线的斜率为_______． 22．已知直线与直线垂直，则______． 23．若直线，且直线的倾斜角为，则直线的斜率为______． 24．若直线与平行，求的值. 25．已知两条直线 和 (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 26．已知四边形的四个顶点分别为，，试判断四边形的形状，并给出证明． 27．已知点，，，，试判定四边形的形状． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $