1.4.1 第3课时空间中直线、平面的垂直-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（人教A版）

(a=ua, 则有0=A·受+受解得山 -a=X·号-u 4=1. a 所以Pi=-D正+E或，所以P,D正，E成共面 又PA丈平面EDB, 所以PA∥平面EDB 跟踪训练2：【证明】如图以A为坐标原点建立空间直角坐标 系.设正三棱柱的底面边长为a(a>0),侧棱长为b(b>0), 则40,0)，（停号0： 8(停号6）c(0,a6).D0, A, 瓜=（受6）励=(-， 0,0） DC=(0,号，b）月 设平面DBC,的法向量为n=(x,y,z), 成=0. rx=0, 则 n…DC=2y+e=0,=-2方 不妨令y=2b,则n=(0,2b,-a). 由于AB,·n=ab-ab=0,因此AB⊥n. 又AB,￠平面DBC1,∴.AB,∥平面DBC 例：【证明】证法一：设该正方体的棱长为1，以D为原点建立 如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0),B'(1,1,1), D'(0,0,1),B(1,1,0),D(0,0,0),C'(0,1,1), 于是AB=(0,1,1),DB=(1,1,0) D=(1,1,0),DC=(0,1,1). 设平面ABD'的法向量为n1=(x1,y1, 31), 则·孤=+0， n1·D'B2=x+y1=0. 令y1=1,则x1=-1,a1=-1,可得n1= (-1,1,-1). 设平面BDC的法向量为n2=(2,2,2), 则·i=6+5=0, n2·DC=2+a2=0. 令y2=1,则x2=-1,2=-1,可得n2=(-1,1,-1) 所以n1=n2,所以n1∥n2 故平面AB'D'∥平面BDC 证法二：由证法一知AD=(-1,0,1),BC=(-1,0,1),AB =(0,1,1),DC=(0,1,1), 所以AD=BC,AB=DC 即AD'∥BC',AB∥DC',又AD'I平面BDC',AB'丈平 面BDC', 所以AD'∥平面BDC',AB'∥平面BDC' 又AD'∩AB'=A,且AD'C平面AB'D',AB'C平面AB'D', 所以平面AB'D'∥平面BDC. 证法三：由证法一得平面AB'D'的一个法向量为n1=(-1,1, -1). 易知D2=(1,1,0),DC=(0,1,1). 因为n1·DB=(-1,1,-1)·(1,1,0)=0, n1·DC=(-1,1,-1)·(0,1,1)=0, 所以n1也是平面BDC的一个法向量，所以平面AB'D'∥平 面BDC' 跟踪训练3：【证明】如图所示，建立空间直角坐标系，不妨设 正方体的棱长为2，则E(1,1,0),F(1,0,1),G(2,1,1),H(1, 1,2),M(1,2,1),N(0,1,1) .E=(0,-1,1),EC=(1,0,1),= D (0,1,-1),=(-1,0,-1) A 设m=(x1,少1,1)，n=（为，y2,2)分别 B 是平面EFG和平面HMW的法向量， 由m=0得1+0， m·E元=0lx1+a=0, 令x=1,得m=(1,-1,-1) 0 令x2=1,得n=(1,-1,-1), 于是有m=n,所以m∥n. 又平面EFG与平面HMN无公共点， 故平面EFG∥平面HMN 随堂检测重反馈 1.Db=-2a,∴.41与2平行或重合 2.AD若l∥a,则a·n=0.而A中a·n=0,B中a·n=1+5 =6,C中a·n=-1,D中a·n=-3+3=0. 3.平行v=-3(1,2,-2)=-3u,∴.∥B. 4.-3l∥平面ABC,.存在实数x,y,使a=xAB+yAC,又 AB=(1,0,-1),AC=(0,1,-1),.(2,m,1)=x(1,0,-1) 2=x, +y(0,1,-1)=(x,y,-x-y),.{m=y, ∴.m=-3. L1=-x-y, 第3课时空间中直线、平面的垂直 教材梳理明要点 新知初探 知识点 u1⊥u2u∥nn1⊥n2 预习自测 1.B因为m·n=2×1+(-1)×1+(-1)×1=0,所以m⊥ n,所以L1⊥2. 2.Da=(2,-4,7),n=（-2,4,-7),∴.a=-n,则a∥n, 所以l⊥a. 3.C因为(1,2,3)·(3,0，-1)=1×3+2×0+3×(-1)=0， 所以平面⊥平面B. 题型探究提技能 例1：【证明】因为CC1⊥平面ABC,平面ABC∥平面AB,C, 所以CC1上平面AB,C, 因为C1A1,C1B,C平面AB,C1, 所以CC1⊥CA1,CC1⊥CB, 因为AC⊥BC,所以A1C1,B,C1,CC,两两垂直， 所以以C为原点，CA,CB,CC 所在的直线分别为x轴，y轴，z轴 建立如图所示的空间直角坐标系， 则C(0,0,4),C1(0,0,0),B1(0,4, 0),A(4,0,0),A(4,0,4),B(0,4 4),D(2,2,2), 所以CB=(0,4,-4),C,D=(2, 2,2), 所以CB·Ci=0+8-8=0, 所以CB⊥C,D,故CB1⊥C,D. 跟踪训练1：【证明】设AB的中点为O,作OO1∥A4· 以0为坐标原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴 00,所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz. 由已知得4（-2,0,0 B(30.0) coo)o.） B(分0,1 因为M为BC的中点，所以M(4,年.0） 所以m-(-子9）丽-=10.). 所以·丽=-子+0+子=0， 所以M⊥AB,所以AB,⊥MW. 例2：【证明】证法一：设AB=a,4Ad=c,A4=b 则成=8+B户=之(BE+B,D) =子(+=之(+心-) =2(-a+b+c) .AB=AB+AA=a+b, 应.aG=分(-a+b+c)(a+b) =3(B-a+ca+c…) =2(h12-aP+0+0=0 :E市LAB,即EF⊥AB 同理，EF⊥BC. 又AB∩BC=B1,AB,BCC平面B1AC, ∴.EF⊥平面BAC. 证法二：设正方体的棱长为2，以D 为原点，DA,DC,DD1所在直线分别 为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空 间直角坐标系， 则A(2,0,0),C(0,2,0),B1(2,2, 2),E(2,2,1),F(1,1,2). .E=(-1,-1,1),AB=(0,2, 2),A元=(-2,2,0). .E.AB=(-1,-1,1)·(0,2,2)=(-1)×0+(-1)× 2+1×2=0, E7.Ad=(-1,-1,1)·(-2,2,0)=2-2+0=0, .E⊥AB,E市⊥AC,EF⊥AB,EF⊥AC. 又AB,∩AC=A,AB,ACC平面BAC,∴EF⊥平面B1AC. 证法三：由证法二得AB,=(0,2,2), A元=(-2,2,0)，E=(-1,-1,1). 设平面B,AC的法向量n=(x,y,z), 则AB·n=0,A⑦·n=0, 即2+2z=0,。取x=1,则y=1,=-1, L-2x+2y=0. .n=(1,1,-1),.E7=-n, E7∥n,.EFL平面B,AC. 跟踪训练2：【证明】由已知，直三棱柱ABC-AB,C1中， ∠ACB=90°， 所以以C为坐标原点，分别以CB,CC1,CA所在直线为x轴，y 轴，2轴建立空间直角坐标系 则C(0,0,0),A(0,0,1), B(2,0,0),C(0,1,0) B,(,10),M(Ξ，1.0 401,,(停） 所以d-(停子）， 励-(-） =(0,2,） 因为励-竖×(-号)+×+×分=0， 所以C心LB,即CD⊥BD, 因为ad.m成-号×0+3×7+分×(-）=0， 所以C⊥DM,即CD⊥DM, 而BD∩DM=D,且BD,DMC平面BDM,所以CD⊥平 面BDM. 例3：【证明】以D为坐标原点，分别以DA,DC,DD1所在直线 为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dz 设正方体的棱长为2，则D(0,0,0), A(2,0,0) E(2,2,1),F(0,1,0),A(2,0,2), D1(0,0,2), 所以DA=D1A=(2,0,0),D2=(2,2, 1), DF=(0,1,-2). 设平面AED的一个法向量为n1=(x1,y1,1. ·i=()2,00=0得2=0 的人 m·D2=(x1)·(2,2,1)=0,l2x+2+=0, 令y1=1,得n1=(0,1,-2). 同理，平面AFD1的一个法向量为2=(0,2,1). 06 因为m1·n2=(0,1,-2)·(0,2,1)=0, 所以n1⊥n2, 所以平面AED⊥平面A,FD,: 跟踪训练3：【证明】由题意知直线AB,BC, B,B两两垂直，以，点B为坐标原点， 分别以BA,BC,BB,所在直线为x轴y轴、z C 轴建立如图所示的空间直角坐标系， B 则A(2,0,0),A1(2,0,1),C(0,2,0), c0,20,(0.0,7） 故AA=(0,0,1),A亡=(-2,2,0)，AC=(-2,2,1),A2= (-2.0,2） 设平面AM1C,C的法向量为n1=(x,y,z), 则了-0常0 m1·A元=0,1-2x+2y=0, 令x=1,得y=1,故n1=(1,1,0) 设平面AEC,的法向量为2=(a,b,c), 风∫22·AC=0,r-2a+26+c=0 即 1 lm·Ai=0,1-2a+2c=0, 令c=4,得a=1,b=-1.故m=(1,-1,4). 因为n1·n2=1×1+1×(-1)+0×4=0, 所以n1⊥n2·所以平面AEC⊥平面AA,C,C. 随堂检测重反馈 1.Ba·b=1×(-2)+2×3+(-2)×2=0,∴.a⊥b, ∴.l1⊥l2: 2.A由题意，AB=(-1,1,0),B元=(0，-1,1)，又n·A店=0 n·BC=0,所以以n为方向向量的直线与平面ABC垂直. 3.5平面a与平面B垂直，∴.平面a的法向量u与平面B的 法向量v互相垂直，u·v=0,即-1·t+0×5+5×1=0,解 得t=5. 47以4为原点，分别以，心，所在直线为x,y轴，建 立空间直角坐标系（图略），设正方体的棱长为1，则A(0,0, 0),0(分，号0）N(分.0,1小设M0.1,)(0≤a≤1)则 i.=(0,1a)·(0,-7,1）=-+a=0a=2 当-方时.0N与垂直所以oN1A 1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题 第1课时用空间向量研究距离问题 教材梳理明要点 新知初探 知识点 a-(a·u)2 IAP.nl Inl 预习自测 1.B依题意，因为直线1的方向向量为m=(1,0,-1),所以取 直线的个单位方向向量为红=册=（受.0，一号），由 2 A(1,1,1),P(-1,2,1)可得P=(2,-1,0),所以1P1= 公+(-+0=5，μ=(2，-1,0)·（号0， 号)=万，所以4=-(P=5-2=月故 选B. 2Da的-个法向量为n=(-2,-21)=分= (-号-号号）又点4(-1,3.0)在@内亦=(-1山， -2,4),.点P到平面a的距离为1A·n。1= (-1,-24(子号)川号 题型探究提技能 例1：【解析】以D点为原点，DA,DC,DD1所在直线分别为x 轴y轴、z轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则A(2,0,0), E(0,2,1),F(1,0,2), 则E=(1,-2,1),F=(1,0,-2) 取a=F=(1,0,-2), ==6(1,-2,1)=0 u= 6 -66 3’6 则r=5,a…w=- 6 所以点A到EF的距离为√a-(a·u)了= 5-6 74 6 跟踪训练1：【解析】以B为坐标原点，建立如图所示的空间直 角坐标系， 则A(4,0,1),C(0,3,1), 所以直线A1C1的方向向量A1C=(-4,3,0), BC=(0,3,1), 所以点B到直线A1C,的距离 d IA C 例2：【解析】取AC的中点O,连接OS,OB. 因为SA=SC,AB=BC, 所以AC⊥S0,AC⊥BO. 因为平面SAC⊥平面ABC,平面SAC∩平面ABC=AC, 所以SO⊥平面ABC. 又BOC平面ABC,所以SO⊥BO. 又因为△ABC为正三角形，O为AC的中点，所以A0LBO. 如图所示，分别以OA,OB,OS所在 直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直 角坐标系0xz, 则B(0,25,0),C(-2,0,0), S(0,0,22),M(1,√5,0)，030 第3课时空间中直线、平面的垂直 新课程标准解读 学科核心素养 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系， 直观想象 2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的垂直关系， 逻辑推理 教材梳理 明要点 ●情境导入 [提示] 直线方向向量和平面法向量是确定直线和平面的重要 线与线（面与面）垂 直时，它们的方向向 参考要素，在直线与直线、直线与平面、平面与平面的 量（法向量）垂直； 垂直关系中，直线的方向向量、平面的法向量之间有什 线与面垂直时，直线 么关系呢？ P[提示] 的方向向量和平面的 法向量平行 e新知初探 知识点空间中垂直关系的向量表示 [知识点反思] (1)证明直线与平面 设直线l1,l2的方向向量分别为w1,w2,则l1⊥l2台 线线垂直 垂直时，除了证明直 →u1·2=0 线的方向向量和平面 的法向量平行外，也 设直线l的方向向量为u,平面a的法向量为n,则l上a台 可证明直线（的方向 线面垂直 台3入∈R,使得u=λn 向量与平面a内两条 相交直线的方向向量 设平面a,B的法向量分别为n1,n2,则ax⊥B台 都垂直， 面面垂直 (2)利用空间向量证 n1·n2=0 明面面垂直通常有两 个途径：一是利用两 [知识点反思] 个平面垂直的判定定 自预习自测 理将面面垂直问题转 化为线面垂直进而转 1.若直线11，的方向向量分别为m=(2,-1,-1),n=(1,1,1),则这两条 化为线线垂直；二是 直线 直接求解两个平面的 A.平行 B.垂直 法向量，由两个法向 C.异面垂直 D.垂直相交 量垂直，得面面垂直. 2.直线1的方向向量a=(2,-4,7),平面ax的法向量n=(-2,4,-7),则有 () A.l∥a B.lCax或l∥a C.l与x斜交 D.l⊥x 3.平面α的一个法向量是(1,2,3)，平面B的一个法向量是(3,0，-1)，则平 面a与B的位置关系是 A.平行 B.相交且不垂直 C.相交且垂直 D.不确定 ●031 题型探究提技能 题型一利用空间向量证明线线垂直 例1如图，在三棱柱ABC-AB,G中，C,1平面ABC,AC ⊥BC,BC=AC=CC1=4,D为AB1的中点，CB1交 BC1于点E.证明：CB1⊥C,D. [方法总结1] 证明两直线垂直的基 本步骤 (1)坐标法：建立空 间直角坐标系→写出 >[方法总结1] 点的坐标→求直线的 方向向量→证明向量 垂直→得到两直线 垂直. (2)基向量法：确定 基向量→表示直线的 》跟踪训练1 方向向量→证明向量 已知正三棱柱ABC-AB,C,的各棱长都为1，M是底面上 垂直→得到两直线 BC边的中点，V是侧棱CG,上的点，且CW=子CC.求证： 垂直 AB,⊥MN 题型二利用空间向量证明线面垂直 [方法总结2] 例2如图所示，在正方体ACD-AB,GD,中，E,F分别 用向量法证明线面垂 直的两种思路 是BB,D,B,的中点.求证：EF⊥平面BAC. (1)证明直线的方向 向量与平面内的两条 相交直线的方向向量 垂直. P[方法总结2] (2)证明直线的方向 向量与平面的法向量 平行. 032 》跟踪训练2 如图，直三棱柱ABC-A,B,C1中，∠ACB=90°，AC=1, CB=√2，侧棱AA,=1,侧面AMBB的两条对角线交点为 D,BC1的中点为M.求证：CD⊥平面BDM. [方法总结3] 题型三利用空间向量证明面面垂直 例3在正方体ABCD-A,BCD,中，E,F分别是BB,CD的中点求证：平 向量法证明面面垂直 的两种思路 面AED⊥平面AFD,· ●[方法总结3] (1)证明两个平面的 法向量垂直 (2)根据面面垂直的 判定定理，证明一个 平面内的向量垂直于 另一个平面 )】跟踪训练3 在三棱柱ABC-AB,C1中，AA1⊥平面ABC,AB⊥BC,AB=BC=2,A41=1, E为BB,的中点，求证：平面AEC,⊥平面AAC,C. 033 随堂检测重反馈 1.若直线1，l2的方向向量分别为a=(1,2,-2),b=（-2,3,2),则 A.1∥12 B.11⊥l2 C.1,12相交但不垂直 D.不能确定 2.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1)三点，n=(1,1,1),则以n为方向向量的直线与平面ABC 的位置关系是 () A.垂直 B.不垂直 C.平行 D.以上都有可能 3.已知平面α与平面B垂直，若平面与平面B的法向量分别为u=（-1,0,5),y=(t,5,1),则t 的值为 4.如图所示，在正方体ABCD-AB,C,D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是 棱D,D上一点N是4A的中点则当兴 时，ON⊥AM. 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[9] 1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题 第1课时用空间向量研究距离问题 新课程标准解读 学科核心素养 1.理解点线距、点面距、线线距、线面距、面面距的概念与向量表示。 数学抽象、直观想象 2.会利用向量解决立体几何中的距离问题 直观想象、数学运算 教材梳理 明要点 ●情境导入 立体几何中的距离问题包括点到直线、点到平面、互相平行的直线、互相 [提示] 可借助向量的模，投 平行的平面间的距离问题等.如何用向量的方法解决这些距离问题呢？ 影向量的模来解决距 >[提示] 离问题. 台新知初探 [知识点反思] 知识点空间距离的向量求法 互相平行的直线间距 分类 向量求法 离可以转化为其中一 条直线上任一点到另 设直线1的单位方向向量为u,A∈1， 点线距 一条直线的距离；互 Pl,设AP=a,则点P到直线l的距离d= 相平行的直线和平面 间的距离、互相平行 已知平面的法向量为n,A∈，P使，则点P到平面a的距离 的平面间的距离都可 点面距 d 转化为直线或平面上 任一点到另一个平面 >[知识点反思] 的距离.