第1章 空间向量与立体几何章末复习与总结-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（人教A版）

040 )跟踪训练3 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC,AD⊥DC,平面 PDL底面ABCD,Q为AD的中点，M为PC的中点，PA=PD=2,BC=AD=1, CD=3. (1)求证：PQLAB. (2)求平面PQB与平面MQB夹角的余弦值. 随堂检测重反馈 1若异面直线1的方向向量与4的方向向量的夹角为石，则4与，所成的角为 A君 B.5 6 C8欧8 D.以上均不对 61 2.已知两平面的法向量分别为m=(0,√2,0)，n=(√2，√2,2)，则两平面所成的二面角为( A.60° B.30°或150° C.60°或120° D.90° 3,在正方体ABCD-A,B,C,D,中，BB,与平面ACD1所成角的正弦值为 A.6 1 0.3 4.如图所示，点A,B,C分别在空间直角坐标系Oxyz的三条坐标轴上，OC= (0,0,2),平面ABC的一个法向量为n=(2,1,2),平面ABC与平面AB0的夹 角为0，则c0s0= 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[11] 章末复习与总结 知识体系构建 空间向量的定义 向量加、减法运算 空间向量的概念及其 及其表示 空间向量运算的定 向量数乘运算 运算 空间向量的线性运 义及其几何意义 向量数量积运算 算和数量积运算 空间向量运算的运算律 交换律、结合律、分配律 基向量 空间向量基本定理与 空间向量基本定理 基本定理 空间向量运算的坐标 空间直角坐标系 表示 空间向量运算的坐标表示 用空间向量解决立体 用空问向量表示点、直 用空间句量研究立体几何 把向量运算的结果“翻译 几何问题 中的直线、平面的位置关系 线、平面等元素 成相应的几何意义 距离和夹角问题 041 核心考点培优 考点一空间向量的概念及运算 [方法总结1] 例11)如图所示，在平行六面体BCn-ABCD中， (1)空间向量可以看 作是平面向量的推 AB=a,AD=b,A41=c.M是C1D1的中点，点VB, 广，有许多概念和运 是CA1上的点，且CN:NA1=4:1.用a,b,c表 算与平面向量是相 同的. 示以下向量： (2)向量的数量积运 ①AM:②AN. 算是解决空间线段长 (2)如图所示，在平行六面体ABCD-AB,C,D 度与夹角大小的 中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两 依据 两夹角为60°. [方法总结2] 利用空间向量证明空 ①求AC,的长； 间中的位置关系 ②求BD,与AC夹角的余弦值. (1)线线平行：证明两 [方法总结1] 直线的方向向量 共线 (2)线线垂直：证明两 直线的方向向量 垂直. (3)线面平行： ①证明直线的方向向 量与平面的法向量 垂直； ②证明在平面内找到 一个向量与直线的方 向向量是共线向量； 考点二利用空间向量证明线面位置关系 ③证明直线的方向向 例2如图，在直三棱柱4BC-AB,G中，点D,E,F分别为 量可用平面内两个不 共线向量线性表示。 线段AC1,AB,A1A的中点，A1A=AC=BC,∠ACB= (4)线面垂直： 90°.求证： ①证明直线的方向向 (1)DE∥平面BCC,B1; 量与平面的法向量 (2)EF⊥平面B,CE. 平行； ②利用线面垂直的判 ●[方法总结2] 定定理转化为线线垂 直问题. (5)面面平行： ①证明两个平面的法 向量共线； ②转化为线面平行、 线线平行问题 (6)面面垂直： ①证明两个平面的法 向量互相垂直； ②转化为线面垂直、 线线垂直问题. 042 考点三 利用空间向量解决空间距离问题 例3，在三棱锥B-ACD中，平面ABD1平面AGD,若棱长AC=CD=D= AB=1,且∠BAD=30°，求点D到平面ABC的距离 [方法总结3] 利用向量法求点面 ●[方法总结3] 距，只需求出平面的 一个法向量和该点、与 平面内任一点连线表 示的向量，代入公式 求解即可 考点四利用空间向量求空间角 例4.在四棱锥P-ABCD中，PDL平面ABCD,AB∥DC, AB1AD,CD=AD=)AB,∠PAD=45,E是PA的中 点，点G在线段AB上，且满足CG⊥BD [方法总结4] (1)求证：DE∥平面PBC; (1)在建立空间直角 (2)求平面GPC与平面PBC夹角的余弦值： 坐标系的过程中，一 (3)在线段PA上是否存在点H,使得GH与平面GPC所成角的正弦 定要依据题目所给几 值是，若存在，求出的长：若不存在，请说明理由 何图形的特征，建立 合理的空间直角坐标 [方法总结4] 系，这样才会容易求 得解题时需要的 坐标 (2)直线和平面所成 的角、两个平面的夹 角，此类问题有两种 思路：①转化为两条 直线所成的角求解； @利用平面的法向量 求解 素养等级测评 请同学们认真完成考案（一）由(1)，可知PQ⊥平面ABCD,故以 Q为坐标原点，建立空间直角坐标 系Qxz,如图所示， 则Q(0,0,0),A(1,0,0),P(0,0, 5),C(-1,5,0),B(0,5,0), 则QB=(0,5,0). 因为AQ⊥PQ,AQ⊥BQ,PQ∩BQ= Q,PQ,BQC平面PQB,所以AQ⊥平面PQB, 即Q为平面PQB的一个法向量，且QA=(1,0,0). 因为M是棱PC的中点， 所以点业的皇标为（分县），所以O=(-分号 ) 设平面MQB的法向量为=(x,y,z), 则m·0i=0, r3y=0, 即 1m.Qi=0, 所以可取m=(5,0,1), 所以1os(Oi,m)1=·ml=尽 IQAllml 2 所以平百POB与平百M0B夹角的余能位为号 随堂检测重反馈 1.A41与42所成的角与其方向向量的夹角相等或互补，且异 面直线所成角的范围为(0，受]，放选A 2c-(m0设万2万 2 2 ,所以(，n〉=60°、 因为二面角与二面角的两个半平面的法向量夹角相等或者互 补，所以两平面所成的二面角为60°或120° 3.C设该正方体的棱长为1，建立空间 直角坐标系如图所示.则D(0,0,0), A 、B B(1,1,0),B(1,1,1),BB=(0,0, 1),平面ACD1的一个法向量为DB,= ‘D (1,1,1).设BB,与平面ACD1所成的 角为0，则sin0=Icos(DB,BB)I= IDB·BB1-1-5 IDB1IBBI5×13 4号m0= 0d.nl-4-2 0d1m2×3=号 章末复习与总结 核心考点培优 例1：【解析】(1)①Ai=(AC+aD) =之[（店+d+a)+(市+）] =2(弦+2d+2)=2a+b+c 21 ②A=A元+C =+号(-d) =应+5动+号 =+b+c (2)记A2=a,Ai=b,AA=c,则1al=Ib1=lcl=1, (a,b〉=(b,c〉=(c,a〉=60°， a…b=bc=ca=2 1 ①1AC2=(a+b+c)2=d2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a) =1+1+1+2x(分+分+2）=6 .1AC1=6. ②BD=b+c-a,AC=a+b, .IBD1=2,1AC1=5, BD.Ad=(b+c-a)·(a+b)=b2-a2+a·c+b·c=1, .cos(BDc)= BD·A花-6 IBDIACI 6 例2：【证明】如图，建立空间直角坐 标系， D 设A,A=AC=BC=2, 则A(2,0,0),C(0,0,0),A(2,0, 2),B1(0,2,2),D(1,0,2),E(1,1, 0),F(2,0,1), 所以C=(2,0,0),D2=(0,1, -2), E=(1,-1,1),CB=(0,2,2),EB=(-1,1,2) (1)显然，C是平面BCC,B,的一个法向量， 因为D正.C=0,所以D2⊥C 因为DEt平面BCCB,所以DE∥平面BCCB. (2)设平面B,CE的法向量为n=(x,y,z), 则.-2+2=0， n·EB,=-x+y+2z=0, 令z=-1,则y=1,x=-1,即n=（-1,1,-1), 显然EF∥n,所以EF⊥平面B,CE. 例3：【解析】如图所示，以AD的中点O为 原点，分别以OD,OC所在直线为x轴、y 轴，过O作OM⊥平面ACD交AB于M, 以直线OM为z轴建立空间直角坐标系， 则A(-0.0）B(50,) co9.30o) 配=（分a=(90,）成=(-9 0 0 设n=(x,y,z)为平面ABC的法向量， …应-+宁-0， 则 3,2=-5,可取n=(-5,1,3), 5,5 代入d=D.m,得d22 J39 Inl √ 13 即点D到平面A0C的距离是骨 例4：【解析】(1)证明：由题意，设AD =1, .PD⊥平面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD, ∴.DA,DC,DP两两垂直. 如图，以D为原点，DA,DC,DP所在直 线分别为x,y,z轴建立空间直角坐 标系. 则CD=AD=4B=1,雨∠PAD=45,易知∠PDA=90,于 是PD=DA=1, 又E是PA的中点，故D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,2,0),C(0, 10P0.0,),5(分0,2） .BC=(-1,-1,0),C2=(0,-1,1), 设平面PBC的法向量为m=(x,y,z), m·BC=0, 则 即 「-x-y=0, 1m.C=0, L-y+z=0, 令y=1,则x=-1,2=1, m=(-11).又成=（分0,2） m:成：-1×分+0+1×号=0， .m1D正，又DE丈平面PBC,.DE∥平面PBC. (2)设点G的坐标为(1，t,0),0≤t≤2， 则C元=(1，t-1,0),由(1)知D=(1,2,0), 由cG1BD得.成=1+24-1)=0→t=7 c(1,20）.=(山，-20） 设平面GPC的法向量为n=(a,b,c), :0一60 1n.c元=0.a-2b20， 令a=l,则n=(山，2,2).则1cos(1,m1==35 平面GPC与平面PBC夹角的余弦值为 (3)假设在线段PA上存在点H,使得GH与平面GPC所成角 的正弦值为号 —21 AP=(-1,0,1),设A7=入A2=(-A,0,A),A∈[0,1]，G= (o,-20 a耐=d+i=(-a,号a .cos(Gi,n〉= GH·n2λ-2 IG1Inl3/8λ2+1 ?Gl与平面GPC所成角的正弦值为得， 2-25 382+131 整理得202+81-1=0，解得A=0或A=-(合去)， 之布在清足条件的点儿且仙：侣 第二章直线和圆的方程 2.1直线的倾斜角与斜率 2.1.1倾斜角与斜率 教材梳理明要点 新知初探 知识点一 x轴正向向上平行或重合 知识点二 1.正切值tan a 预习自测 1.BA项，任何一条直线都有倾斜角.但倾斜角为90°的直线没 有斜率.B项，当k=tana<0时，倾斜角a是钝角.C项，不能， 当直线与x轴垂直时，k-2二无意义.D项，与y轴垂直的 x2-x1 直线的斜率为0，与x轴垂直的直线的斜率不存在 2.-3k=tam120°=-/3 3.1由斜率公式k= 4-m=1,得m=1. m+2 题型探究提技能 例1：30°因为直线1的倾斜角为150°，所以∠BCA=30°，所以 4的倾斜角为7×(90°-30)=30 跟踪训练1：AB根据题意，画出图形，如图所示 通过图形可知，当0°≤a<135°时，4，的倾斜角为a+45°；当 135°≤a<180°时，41的倾斜角为45°+a-180°=a-135°. 伽解标】（国)布在直线4报的新率如一言1。 即tana=1,