第八讲 直线的倾斜角和斜率 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦直线的倾斜角和斜率，涵盖概念、关系及斜率公式等核心知识点，通过具体图形引导学生探索确定直线位置的几何要素，衔接平面直角坐标系知识，为后续直线方程学习搭建认知支架。 资料题型系统全面，从基础概念到综合应用，注重数形结合与逻辑推理，帮助学生用数学眼光抽象几何特征，用数学思维建立代数与几何的联系，提升数学表达与应用能力，适合自主学习与课堂教学。

第八讲 直线的倾斜角和斜率 【学习目标】1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素； 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式. 【学习重点】直线的倾斜角和斜率的概念，过两点的直线斜率公式. 【学习难点】用直线的倾斜角和斜率刻画直线的几何特征，建立直线的倾斜角、斜率与直 线上任意两点坐标之间的关系. 必掌握知识点： 一 直线的倾斜角与斜率 直线的倾斜角 定义 当直线与轴相交时，取轴作为基准，轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角. 特别地，当直线与轴平行或重合时，规定. 范围 与轴垂直时，. 直线的斜率 定义 直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，记作. 当直线与轴平行或重合时，， 当直线与轴垂直时，不存在. 倾斜角与斜率之间的关系 ，， 如左图，当时，是递增的； 右图中斜率为的直线对应的倾斜角为，其中，而； 如左图，当时，也是递增的； 右图中斜率为的直线对应的倾斜角为， 其中，而. (简而言之，斜率大小看倾斜角，直线越陡斜率绝对值越大) 斜率公式 经过两点的直线的斜率公式是 使用斜率公式的时候要注意的前提条件. (4)求斜率的方法 已知直线上两点，根据斜率公式求斜率； 已知直线的倾斜角或的某种三角函数根据来求斜率. (5) 利用斜率证明三点共线的方法 已知， 若 或，则有三点共线. 必考题型全归纳： 题型一：倾斜角的概念与范围 核心知识 倾斜角定义：直线向上方向与 x 轴正方向所成最小正角； 倾斜角范围：； 倾斜角与斜率关系：； ，； ，为锐角，； ，斜率不存在； ，为钝角，。 题型说明 直接考查倾斜角取值范围； 已知斜率求倾斜角； 已知倾斜角求斜率； 给定倾斜角范围求斜率范围。 1．直线倾斜角的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由的斜率为，其范围是， 设倾斜角为，则，解得， 因为倾斜角的范围是，所以. 2．已知直线，则直线l的倾斜角为（    ） A．120° B．60° C．30° D．150° 【答案】D 【分析】根据直线方程得到，然后根据斜率与倾斜角的关系求倾斜角即可. 【详解】直线方程可整理为，即，所以直线的斜率， 设倾斜角为，则，因为，所以. 故选：D. 3．直线的倾斜角是__________. 【答案】 【详解】由于直线的斜率，设其倾斜角为， 则，又，所以. 题型二：两点求直线斜率 核心知识 已知两点， 时，斜率公式：； ，斜率不存在，直线垂直 x 轴。 题型说明 已知两点，直接计算斜率； 已知两点和斜率，反求参数； 已知两点和倾斜角，反求参数。 4．已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用两点求出斜率，再结合倾斜角及斜率关系求解. 【详解】直线经过，两点，直线斜率为， 设直线的倾斜角为，则，得， 即直线的倾斜角为. 5．已知直线经过， 两点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先计算直线AB的斜率，再根据斜率与倾斜角的关系，结合倾斜角的取值范围求出倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为，其中 . 根据过两点的直线斜率公式，得 ， 由 ，结合 ，可得. 6．直线经过、两点，且倾斜角是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由直线的倾斜角为，所以 直线的斜率； 又直线经过、两点，可得，且， 整理得， 解得，经检验符合题意. 题型三：三点共线问题 核心知识 三点共线 （斜率都存在）；若有斜率不存在情况要单独检验。 题型说明 判断三点是否共线； 已知三点共线，求参数； 三点不能构成三角形（等价于三点共线）； 共线与充分必要条件结合。 7．已知三点，则“三点共线”是“或”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】求出三点共线时的所有值，再根据必要不充分条件的判断即可得到答案. 【详解】当时，三点均在直线上； 当时，，而直线的斜率不存在，显然三点不在一条直线上； 当时，若三点共线，则，即，解得或． 综上，若三点共线，则或或， 故“三点共线”是“－4或”的必要不充分条件． 故选：C. 8．下列三点在同一直线上的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】对于ABD：利用斜率来判断三点是否共线；对于C：根据三点结合直线分析判断. 【详解】对于选项A：因为，且， 所以三点不在同一直线上，故A错误； 对于选项B：因为，且， 所以三点不在同一直线上，故B错误； 对于选项C：显然三点在同一直线上，故C正确； 对于选项D：因为，且， 所以三点不在同一直线上，故D错误；故选：C. 9．已知，，，不能构成三角形，则______． 【答案】/ 【分析】根据已知分析出三点共线且斜率存在，应用斜率两点式列方程得，整理变形即可得. 【详解】三点不能构成三角形的情况，即三点共线， 因为斜率存在，所以，即，即, 因为，所以，即.故答案为： 题型四：直线与线段相交（斜率范围，数形结合高频考点） 核心知识 过定点的直线与线段相交：计算，画图判断斜率是 “中间区间” 还是 “两边区间”；注意竖直直线（斜率不存在）。 口诀：定点在外侧，相交斜率取两边；定点在线段中间，相交斜率取中间 题型说明 过定点直线和线段有交点，求斜率取值范围； 直线含参数恒过定点，和线段相交求参数范围； 直线与线段没有公共点，求斜率 / 倾斜角范围。 10．已知点，．若直线：与线段相交，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】先找出直线恒过的定点，再分别求出该定点与线段两端点连线的斜率，根据直线与线段相交时斜率介于这两条连线斜率之间得出参数范围. 【详解】直线：经过定点， 因为，， 又直线与线段恒相交，所以． 故选：D. 11．已知点，，过点的直线l与线段AB有交点，则直线l斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用斜率公式，分别求得直线和直线的斜率，结合图象，即可求解. 【详解】由，得直线的斜率分别为，， 而过点的直线与线段有交点，如图， 所以直线l斜率的取值范围为. 12．已知，若过点的直线与线段（含端点）总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线过点和过点时的斜率，数形结合求解. 【详解】 如图，设，当直线过点时，斜率，当直线过点时，斜率， 要使直线与线段（含端点）总有公共点，则直线的斜率需满足或. 所以直线的斜率的取值范围为.故选：C. 题型五：方向向量与斜率 核心知识 若直线方向向量，则斜率。 题型说明：给出方向向量，求直线斜率。 13．已知是直线的一个方向向量，则的斜率为_____________. 【答案】 【分析】根据直线的方向向量写出直线斜率. 【详解】是直线的一个方向向量，则的斜率为 题型六：斜率几何意义（表示点与连线斜率） 核心知识 表示曲线上 、 图像上动点和定点连线的斜率，利用斜率大小、倾斜角比较大小、求最值。 题型说明 多个分式比较大小，转化为斜率比较； 求分式形式的最值，数形结合求斜率最大最小值。 14．若，，且点在过点、，的直线上，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出直线约束 ；对配方，消去，转化为关于的二次函数；利用二次函数求出最大值，代回算出最大值. 【详解】过的直线的斜率是 直线方程是，整理得 点在直线上，故 ，又 ， 所以，，所以, 因为, 所以, 由，得 ，因此 , 令 ，则 ，这是开口向上的二次函数，且在上单调递增， 因此只需求的最大值， 二次函数 ，开口向下，对称轴 最大值即 ， 所以=. 15．已知函数，且，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把，，分别看作函数图象上的点与原点确定直线的斜率，结合图象即可得答案． 【详解】由，得的几何意义是过点和原点的直线的斜率， 画出函数的图象，如图， 直线的斜率分别为，，，而， 所以，，的大小关系是.故选：A 16．已知（为坐标原点）是等腰直角三角形的直角顶点，点在第一象限，点B在第二象限，，则斜边的斜率为_________. 【答案】 【分析】通过三角形求得，再结合斜率公式即可求解. 【详解】如图，设直线与轴的交点为， 则. 所以，即斜边的斜率为. 题型七：倾斜角之间关系（两条直线倾斜角） 核心知识 利用倾斜角的和差关系，结合正切公式求斜率。 倾斜角为锐角：； 倾斜角为钝角：； 注意排除（斜率不存在）。 题型说明： 已知两个倾斜角的角度关系，求直线斜率。 给两点，直线倾斜角是锐角 / 钝角，求参数取值范围 17．已知直线与直线的倾斜角分别为，若，则直线的斜率为（    ） A．3 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】求出直线的斜率，结合两条直线倾斜角的关系可求得结果. 【详解】由，且， ， ，解得，因为，故； 结合得，即可得. 18．过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（　　） A． B．C．D．或 【答案】B 【分析】利用斜率与倾斜角的关系可求解. 【详解】当时，直线的斜率不存在，此时； 当时，直线的斜率，即，解得； 当时，直线的斜率，即，解得； 综上可得实数的取值范围是. 19．若经过两点，的直线的倾斜角为锐角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由斜率计算公式，列出不等式求解即可. 【详解】因为直线的倾斜角为锐角，所以斜率，所以. 即的取值范围是. 巩固提升： 1．如果直线经过，两点，那么直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【详解】由点和，得， 所以直线的一个方向向量为，所以直线的斜率， 所以，又，所以或． 2．过点，的直线的斜率为1，那么m的值为（    ） A．1或4 B．4 C．1或3 D．1 【答案】D 【详解】因为直线过点，，且斜率为1， 所以，解得． 3．若经过，两点的直线的斜率是2，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知，整理得，解得. 4．设点，，若直线与线段相交，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过分析直线与线段相交的条件，解得a的取值范围. 【详解】当时，直线为轴，显然与线段相交；    又，当时，只需或，所以或. 综上，所以实数的取值范围是.故选：C. 5．设直线的倾斜角，则其斜率的取值范围是____________；若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是____________. 【答案】 【分析】根据直线的倾斜角和斜率的关系，，即可求解. 【详解】因为，，，， 所以或，所以斜率的取值范围是； 当时，. 6．已知直线过点 ，且倾斜角为，则实数 ____________. 【答案】 【分析】根据斜率公式可得关于m的方程，求解可得实数的值. 【详解】由题可知，直线的斜率为. 所以，化简得，即，解得.故答案为：. 7．已知点，若过点的直线与线段相交，则直线斜率的取值范围是_________ ． 【答案】 【详解】点，点，可得，， 如下图示，所以. 8．已知点，，若直线与线段有公共点，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】根据直线绕原点旋转且线段有公共点，再结合数形结合可得斜率的范围. 【详解】因为直线恒过点，且. 由图可知，直线与线段有公共点，所以，即. 故答案为：. 9．已知、，点在线段上，则的取值范围为________. 【答案】 【分析】根据直线与倾斜角的关系，再结合数形结合可得. 【详解】由直线的斜率公式可得：；.    将看成线段上一点与定点连线的斜率， 结合图形，要使直线经过点，且与线段有交点， 的斜率需满足或.故答案为： 10．已知实数满足，则的最大值为______． 【答案】8 【分析】根据斜率的两点式确定目标式的几何意义，再应用数形结合求目标式的最大值. 【详解】由的几何意义是图象上的点与点连线的斜率． 如图所示，直线的倾斜角始终为锐角，结合正切函数在上单调递增， 当直线过点时斜率最大，将代入，得最大值为8． 故答案为：8 11．若三点，，共线，则________. 【答案】 【分析】由三点共线可得其中任意两点的直线斜率相等，列出方程解之即得. 【详解】由题意，直线的斜率为，直线的斜率为：， 因三点共线，故，即，解得：.故答案为：. 12．经过两点的直线的倾斜角是钝角，则实数的范围是__________. 【答案】 【分析】由题意可得且斜率，计算即可得解. 【详解】根据题意，即，且斜率， 即，解得或.实数的范围是. 故答案为： 13．已知直线过点和，直线过点和，若两条直线的斜率相等，则的值为________ 【答案】 【分析】由斜率公式建立方程求解即可. 【详解】由直线过点，， 得直线的斜率， 又直线过点和，得直线的斜率， 因为两条直线的斜率相等，所以，解得.故答案为：. 14．已知两点、，过点的直线与线段没有公共点. (1)求直线的斜率的取值范围； (2)求直线的倾斜角的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由图可知要使直线与线段有公共点，只需直线的斜率满足或，由此可得出当直线与线段无公共点时直线的斜率的取值范围； （2）分、两种情况讨论，利用直线斜率与倾斜角的关系可得出直线倾斜角的取值范围. 【详解】（1）因为、、， 所以，， 先考虑直线与线段有公共点， 所以由图可知直线的斜率满足或， 所以，当直线与线段有公共点，直线的斜率的取值范围是．    故当直线与线段没有公共点时，直线的斜率的取值范围为. （2）因为，当时，， 当时，， 综上所述，直线的倾斜角的取值范围为. 15．已知三点. (1)若过两点的直线的倾斜角为，求的值； (2)若三点共线，求出的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据斜率公式计算即可； （2）由三点共线，可得，再根据斜率公式即可得解. 【详解】（1）由题意，解得； （2），因为三点共线，所以，即，解得. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八讲 直线的倾斜角和斜率 【学习目标】1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素； 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式. 【学习重点】直线的倾斜角和斜率的概念，过两点的直线斜率公式. 【学习难点】用直线的倾斜角和斜率刻画直线的几何特征，建立直线的倾斜角、斜率与直 线上任意两点坐标之间的关系. 必掌握知识点： 一 直线的倾斜角与斜率 直线的倾斜角 定义 当直线与轴相交时，取轴作为基准，轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角. 特别地，当直线与轴平行或重合时，规定. 范围 与轴垂直时，. 直线的斜率 定义 直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，记作. 当直线与轴平行或重合时，， 当直线与轴垂直时，不存在. 倾斜角与斜率之间的关系 ，， 如左图，当时，是递增的； 右图中斜率为的直线对应的倾斜角为，其中，而； 如左图，当时，也是递增的； 右图中斜率为的直线对应的倾斜角为， 其中，而. (简而言之，斜率大小看倾斜角，直线越陡斜率绝对值越大) 斜率公式 经过两点的直线的斜率公式是 使用斜率公式的时候要注意的前提条件. (4)求斜率的方法 已知直线上两点，根据斜率公式求斜率； 已知直线的倾斜角或的某种三角函数根据来求斜率. (5) 利用斜率证明三点共线的方法 已知， 若 或，则有三点共线. 必考题型全归纳： 题型一：倾斜角的概念与范围 1．直线倾斜角的范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知直线，则直线l的倾斜角为（    ） A．120° B．60° C．30° D．150° 3．直线的倾斜角是__________. 题型二：两点求直线斜率 4．已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为（     ） A． B． C． D． 5．已知直线经过， 两点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 6．直线经过、两点，且倾斜角是，则（    ） A． B． C． D． 题型三：三点共线问题 7．已知三点，则“三点共线”是“或”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 8．下列三点在同一直线上的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 9．已知，，，不能构成三角形，则______． 题型四：直线与线段相交（斜率范围，数形结合高频考点） 10．已知点，．若直线：与线段相交，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 11．已知点，，过点的直线l与线段AB有交点，则直线l斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 12．已知，若过点的直线与线段（含端点）总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型五：方向向量与斜率 13．已知是直线的一个方向向量，则的斜率为_____________. 题型六：斜率几何意义（表示点与连线斜率） 14．若，，且点在过点、，的直线上，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 15．已知函数，且，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 16．已知（为坐标原点）是等腰直角三角形的直角顶点，点在第一象限，点B在第二象限，，则斜边的斜率为_________. 题型七：倾斜角之间关系（两条直线倾斜角） 17．已知直线与直线的倾斜角分别为，若，则直线的斜率为（    ） A．3 B．1 C． D． 18．过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（　　） A． B．C．D．或 19．若经过两点，的直线的倾斜角为锐角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 巩固提升： 1．如果直线经过，两点，那么直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 2．过点，的直线的斜率为1，那么m的值为（    ） A．1或4 B．4 C．1或3 D．1 3．若经过，两点的直线的斜率是2，则（    ） A． B． C． D． 4．设点，，若直线与线段相交，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．设直线的倾斜角，则其斜率的取值范围是____________；若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是____________. 6．已知直线过点 ，且倾斜角为，则实数 ____________. 7．已知点，若过点的直线与线段相交，则直线斜率的取值范围是_________ ． 8．已知点，，若直线与线段有公共点，则的取值范围是______. 9．已知、，点在线段上，则的取值范围为________. 10．已知实数满足，则的最大值为______． 11．若三点，，共线，则________. 12．经过两点的直线的倾斜角是钝角，则实数的范围是__________. 13．已知直线过点和，直线过点和，若两条直线的斜率相等，则的值为________ 14．已知两点、，过点的直线与线段没有公共点. (1)求直线的斜率的取值范围； (2)求直线的倾斜角的取值范围. 15．已知三点. (1)若过两点的直线的倾斜角为，求的值； (2)若三点共线，求出的值. 学科网（北京）股份有限公司 $