1.3.2 空间向量运算的坐标表示-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（人教A版）

020 1.3.2空间向量运算的坐标表示 新课程标准解读 学科核心素养 1.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示. 数学运算 2.掌握空间向量的数量积运算及其坐标表示， 逻辑推理 3.能利用空间向量运算的坐标表示解决夹角和距离的计算问题 逻辑推理、数学运算 教材梳理明要点 ●情境导入 在平面向量学习中，通过引入向量的坐标使向量表示和运算代数化，将数 与形紧密结合起来.类似地，利用空间向量基本定理和空间的单位正交基 底，建立空间直角坐标系，进而定义空间向量的坐标，把空间向量的运算 化归为数的运算，通过代数方法解决几何问题， 台新知初探 知识点一空间向量运算的坐标表示 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),空间向量的坐标运算法则如下表所示： 运算 坐标表示 [知识点反思1] 加法 a+b= 空间向量的坐标运算 是平面向量坐标运算 减法 a-b= 的推广，比平面向量 数乘 入a= 多了个竖坐标 数量积 a·b= [知识点反思1] 知识点二空间向量的平行、垂直、模与夹角公式的坐标表示 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则 平行 a∥b(b≠0)→a=λb台 ,入∈R [知识点反思2] 空间两向量平行与平 面两向量平行的坐标 表达式不同，但实质 垂直 a⊥b台a·b=0曰 (a,b均为非零向量) 一致，即对应坐标成 比例，注意分母不能 模 lal=√a·a=√Ja+a+a 为零即：若a∥b,则 夹角 cosa,b)=a·b a by+azb2 +a3b3 41=2=成立的条 lallbl= b1 b2 b3 a+a西+a√++ 件是b1b2b3≠0. D[知识点反思2] 021 知识点三向量的坐标及两点间的距离公式 在空间直角坐标系中，设A(x1,y1,2),B(x2,y2,3),则 [知识点反思3] (1）在空间直角坐标 1.向量AB的坐标为：AB= 即一个空间向量的坐标等于表系中，向量起点是坐 标原点时，向量的坐 示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标 标与终点的坐标 2.A、B两点间的距离为 相同. (2)空间中线段的长 AB=IAB1=√(x2-x)2+(y2-y1)2+(2-名)尸. P[知识点反思3] 度即对应空间向量的 模，因此空间两点间 的距离公式就是空间 向量模的计算公式： 目预习自测 1.已知向量0A=(1,0,1),0B=（2,1,-1),那么向量AB= A.(3,1,0) B.(-1,-1,2) C.(1,1,-2) 2.已知空间向量a=(1,1,0),b=(0,-1,4),则1a+b1= 3.在空间直角坐标系中，已知两点A(0,1,2),B(1,2,3),则AB= 题型探究提技能 题型一空间向量的坐标运算 例1在△ABC中，4(2，-5,3)，B=(4,12),Bc=(3,-2,5). [方法总结1] (1)求顶点B,C的坐标； 空间向量坐标运算的 (2)求CA·BC. ●[方法总结1] 步骤 (1)将空间向量用坐 标表示出来， (2)运用空间向量坐 标运算公式计算. 】跟踪训练1 已知a=(2,-1,-2),b=(0,-1,4),则2a·(-b)=,(a+b)· (a-b)= 022 题型二 用向量运算解决平行与垂直问题 例2在正方体ABCD-AB,CD中，已知E,R,G分别是CC,A,G,CD的 [方法总结2] 中点.证明：AB1∥GE,AB1⊥EF, ●[方法总结2] 利用向量证明直线、 平面平行或垂直，则 要建立恰当的空间直 角坐标系，求出相关 向量的坐标，利用向 量平行、垂直的充要 条件证明。 )》跟踪训练2 正方体ABCD-AB,C,D1中，E是棱DD的中点，P,Q分别为线段BD1, BD上的点，且3B1P=PD1,若PQ⊥AE,BD=入DQ,求入的值 ●023 题型三用向量运算求夹角和距离 例3在四棱锥P-ACD中，PD1平面ABCD,PA与平面 ABCD所成的角为60°，在四边形ABCD中，∠ADC= [方法总结3] ∠DAB=90°，AB=4,CD=1,AD=2. 利用空间向量的坐标 运算求夹角与距离的 (1)求BP的长； 一般步骤 (2)求异面直线PA与BC所成角的余弦值. (1)建系：根据题目中 ●[方法总结3] 的几何图形建立恰当 的空间直角坐标系. (2)求坐标：①求出相 关点的坐标；@写出 向量的坐标。 (3)计算：求出向量的 模，两直线方向向量 夹角。 )》跟踪训练3 (4)转化：向量的模即 已知正三棱柱ABC-AB,C,中，底面边长AB=2,AB,⊥ 对应两点间距离，向 BC1,点0，O1分别是棱AC,A1C,的中点.建立如图所示 A 量夹角余弦值的绝对 值为两直线所成角的 的空间直角坐标系 余弦值. (1)求三棱柱的侧棱长； (2)求异面直线AB,与BC所成角的余弦值. 随堂检测重反馈 1.已知向量a=(3,-2,1),b=(-2,4,0),则4a+2b等于 ( A.(16,0,4) B.(8,-16,4) C.(8,16,4) D.(8,0,4) 2.已知向量=(1,0，-1)，则下列向量中与4成60°夹角的是 ( A.(-1,1,0) B.(1,-1,0) C.(0,-1,1) D.(-1,0,1) 3.向量a=(2x,1,3),b=(1,-2y,9),若a∥b,则 A*-6 Rx=6y=-3 2 C.x= 2y-、1 D.x=y=1 4.已知点A(2,3,-1),B(0,2,3),则AB=,IAB1= 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[6]例3：(-2，-1，-4)，（-4,2，-4)设0,02,00同向的单位 方向向量分别为i,j,k.因为D0=-0i=-(00+0)= -[o0+3o+]-00-2耐-2成=-2i- -4k,所以D0=(-2,-1,-4).因为A1B=0店-0A=0成 (0+AA)=02-0A-A4=-4i+2j-4k,所以A,B=(-4, 2,-4). 跟踪训练3：【解析】因为PA=AD=AB=1, 所以可设AB=,AD=广，AP=k 因为M=M+A+Pd =网+市+号武 =d+a+2(Pi+Ad+D心 =破+市+(-市+动+) =20+2动=为+ 所以=(0,7) 随堂检测重反馈 1.D因为点(x,y,z)关于原点的对称点坐标为(-x,-y,-z), 所以点A(-3,0,-4)关于原点的对称点B的坐标是(3,0， 4). 2.A点到平面Oz的距离就是点的横坐标的绝对值。 3.(2,-4,5),(1,2,-3)由空间向量坐标概念知a=(2,-4, 5),b=(1,2,-3) 4(-1,-分-） :Ci=Ct+C+A成=-cC-AC+ 办=-杯-店-花+之而--破-号市-=-i 为-kG成=(-1,3，-1）月 1.3.2空间向量运算的坐标表示 教材梳理明要点 新知初探 知识点一 (a1+b1,a2+b2,a3+b3)（a1-b,a2-b2,a3-b3) (Aa1,Aa2,Aa3),入∈Ra1b1+a2b2+a3b3 知识点二 a1=入b1a2=入b2a3=入b3a1b1+a2b2+a3b3=0 知识点三 1.(x2-x1-y1,-） 预习自测 1.C向量0A=(1,0,1),0B=(2,1,-1),.向量AB=0B 04=(1,1,-2). 2.√17a+b=(1,1,0)+(0,-1,4)=(1,0,4),所以1a+b1 =√2+4=7. 3.√3AB=√(1-0)2+(2-1)2+(3-2)2=5. 题型探究提技能 例1：【解析】(1)设B(x,y,z),则AB=(x-2,y+5,z-3),又 AB=(4,1,2), rx-2=4, x=6, 所以{y+5=1,解得{y=-4, z-3=2, z=5, 所以点B的坐标为(6，-4,5). 设C(x1,y1,1),则B元=(x1-6,y1+4,a1-5).又B元=(3， -2,5), 1-6=3, 出=9， 所以y+4=-2,解得{y1=-6, lz1-5=5, lz1=10, 所以点C的坐标为(9，-6,10). (2)因为C=(2,-5,3)-(9,-6,10)=(-7,1,-7),BC= (3,-2,5) 所以C.B元=-21-2-35=-58. 跟踪训练1：14-8易知2a·（-b)=-2(a·b)=-2(2× 0+(-1)×(-1)+(-2)×4)=-2×(-7)=14,(a+b) ·(a-b)=(2,-2,2)·(2,0,-6)=2×2+(-2)×0+2× (-6)=-8. 例2：【证明】如图，以A为原点建立空 间直角坐标系，设正方体的棱长为1， 则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0), D(0,1,0),A1(0,0,1),B(1,0,1), C(1,1,1), 由中点坐标公式得E(1,1,2), c(310）(22 所以G=(1,0,1),应=（分0，分）成=（-之，- 3) 所以AB=2C正 4孤，成=1×(-）+0+1×分=0， 所以AB∥G屁，AB⊥E 故AB∥GE,AB⊥EF 跟踪训练2：【解析】如图所示，以D为 坐标原点，DA,DC,DD,所在直线分别 为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标 A 系Dxyz,设正方体棱长为1，则A(1,0, 0),E(0.02)81.1,0),B1,1 A 1),D(0,0,1), 由题意，可设点P的坐标为(a,a,l), 因为3BP=PD, 所以3(a-1,a-1,0)=(-a,-a,0), 所以3a-3=-a,解得a=子 3 所以点P的坠标为（子子，1） 由题意可设点Q的坐标为(b,b,0), 因为PQ⊥AE,所以P·A正=0， 所以(6-子6-子-1）(-10，）=0， 解得6=子，所以点Q的坐标为（行，40）】 因为励=a成，所以(-1，-1,0)=A(行40）， 所以子=-1，故A=-4 例3：【解析】(1)如图，建立空间直角坐标系。 ∠ADC=∠DAB=90°，AB=4,CD= 1,AD=2, ∴A(2,0,0),C(0,1,0),B(2,4,0). 由PD⊥平面ABCD,得∠PAD为PA与 平面ABCD所成的角， .∠PAD=60 在Rt△PAD中，由AD=2,得PD=25. .P(0,0,23) .BP=√(0-2)2+(0-4)2+(25-0)2=42. (2)由(1)得，P=(2,0,-25),BC=(-2,-3,0), .cos(PAn)=-pA.B IPi·BC _2x(-2)+0×(-3)+(-25)×0-- 4×√13 13 异面直线PA与BC所成角的余弦值为 13 跟踪训练3：【解析】(1)设侧棱长为b,则A(0,-1,0), B(5,0,b),B(3,0,0),C1(0,1,b), 所以AB=(5,1,b),BC=(-√5,1，b). 因为AB,⊥BC1, 所以AB.BC=(5,1,b)·(-5,1,b) =-(5)2+12+62=0, 解得b=2.故侧棱长为2 (2)由(1)知AE=(5,1,2),BC=(-√5,1,0)， 因为1AB1=√(3)2+12+(2)2=6， 1BC=√(-3)2+12+02=2， AB.BC=(5,1,2)·(-5,1,0) =-(5)2+1×1+2×0=-2, 所以1ms(8,心1=·d-1-2.6 IAB1IBC16×26 所以异面直线AB,与BC所成角的余弦值为 6 随堂检测重反馈 1.D4a+2b=4(3,-2,1)+2(-2,4,0)=(12,-8,4)+ （-4,8,0)=(8,0,4). 2.B设b=(x,y,z),各选项给出的向量的模都是2，且1al= E.则ab=8流-片=方即x-:1,结合选项知 B项满足 3B由题设导名么，号故石之放选R 4.(-2,-1,4)2TAB=(-2,-1,4),1AB1= (-2)2+(-1)2+42=√21. 20 1.4空间向量的应用 1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系 第1课时空间中，点、直线和平面的向量表示 教材梳理明要点 新知初探 知识点一 OP OP 0A+ia 0A+AB OA+xAB+yAC 知识点二 法向量 预习自测 1.AAB=(2,4,6)=2(1,2,3).故选A. 2.B(-1,1,-1)·(1,2,1)=-1+2-1=0,(-1,1,-1) ·(-1,1,2)=1+1-2=0,.向量(-1,1，-1)是此平面的 法向量。 题型探究提技能 例1：(1)(0,0,1)(0,1,1)（答案不唯一）(2)A(1)因为 DD1∥AA1,AA1=(0,0,1),故直线DD1的一个方向向量为(0， 0,1);因为BC1∥AD,AD=(0,1,1),故直线BC1的一个方 向向量为(0,1,1). (2)A(0,y,3),B(-1,2,z),.AB=（-1,2-y,2-3),直 线1的一个方向向量为m=(2,-1,3),故设A正=m. 1 k=-2' -1=2k. 3 2-y=-k,解得y=2,·y-z=0. z-3=3k 3 z2 跟踪训练1：ABM=(1,1,3),M,N在直线I上，.向量(1， 1,3),(2,2,6)都可作为直线1的方向向量 例2：【解析】D(1,0,0),C(2,2,0),S(0,0,2), .D元=(1,2,0)，D=(-1,0,2), 设平面SCD的法向量为n=(x,y,z), 则n元=+2=0， 令x=1, n·D5=-x+2z=0, 解得y=方=方n=(山，分） 1 1 即平面S0D的一个法向量为n=(1,-之，分） .x轴⊥平面SAB .m=(1,0,0)即为平面SAB的一个法向量 注意：答案不唯一（所有与上述，共线的非零向量均可作 为相应平面的法向量) 跟踪训练2：【解析】设正方体ABCD-AB,C,D1的棱长为2， 则D(0,0,0),B(2,2,0),D1(0,0,2),E(1,0,2), (1)设平面BDDB,的法向量为n=(1,少1a), D2=(2,2,0),DD=(0,0,2), ,n=0,即2x+2=0, 则 DD·n=0,l2z1=0, 令x1=1,则y=-1,1=0, 3