1.4.3 用空间向量研究直线、平面的垂直关系学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦“用空间向量研究直线、平面的垂直关系”，引导学生掌握线线、线面、面面垂直的向量表示，通过课前自主梳理与检测搭建基础，课堂以证明题型为支架衔接知识，结合小结对比几何与向量法，形成完整学习脉络。 资料特色在于向量法与几何法系统对比，题型从基础到能力提升，注重坐标法和基向量法应用。帮助学生用数学语言表达空间关系，培养逻辑推理和运算能力，提升数学思维与应用意识，适合教学与自主学习。

1.4.3 用空间向量研究直线、平面的垂直关系 学习目标 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系（重点）； 2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的垂直关系（难点）； 课前预习 自主梳理 知识点1：直线、平面垂直的向量表示 1. 线线垂直的向量表示: 设直线 的方向向量分别为 , 则 2. 直线和平面垂直的向量表示: 设直线 的方向向量为 , 平面 的法向量为 , 则 ，使得 3. 平面和平面垂直的向量表示: 设平面 的法向量分别为 , 则 . 自主检测 1.判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)两直线的方向向量垂直，则两直线垂直．(　　) (2)若一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面垂直．(　　) (3)若两平面垂直，则这两个平面的法向量所成的角一定是90°.(　　) (4)若直线l是平面α外的一条直线，直线m垂直于直线l在平面α内的投影，则l与m垂直.( ) 【答案】(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 【解析】(1)正确．由线线垂直的向量表示可知正确． (2)错误．若一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行或在平面内． (3)正确．若两平面垂直，则这两个平面的法向量也垂直，所以这两个平面的法向量所成的角一定是90°. (4)错误．若直线m在平面α外，例如m⊥α，尽管m垂直于 直线l在平面α内的投影，但也不能得出l⊥m的结论． 题型一 证明线线垂直 例1.已知正方体的棱长为 1， 求证：. 【分析】建立空间直角坐标系，由题意求出相关点的坐标，求得 ，，用数量积为0得到向量垂直，即可得到线线垂直. 【详解】 法一：（判定法）以为原点， 为单位正交基底， 建立空间直角坐标系，如图，,，， 则， ,, 点拨：用向量法证明空间中两条直线l1，l2相互垂直，只需证明两条直线的方向向量a·b＝0即可，具体方法如下： 1.坐标法：根据图形的特征，建立适当的空间直角坐标系，准确地写出相关点的坐标，表示出两条直线的方向向量，计算出其数量积为0即可． 2.基向量法：利用向量的加减运算，结合图形，将要证明的两条直线的方向向量用基向量表示出来，利用数量积运算说明两向量的数量积为0. 变式1-1 已知正方体的棱长为 1， 求证：C 【分析】建立空间直角坐标系，由题意求出相关点的坐标，求得，，用数量积为0得到向量垂直，即可得到线线垂直. 【详解】 法一：（判定法）以为原点， 为单位正交基底， 建立空间直角坐标系，如图，,，， 则， ,, 题型二 空间中直线与平面垂直问题 例2.已知正方体的棱长为 1， 求证： 【分析】法一：建立空间直角坐标系，由题意求出相关点的坐标，求得，，，，，得且，利用线面垂直判定定理即得结论 法二：建立空间直角坐标系，由题意求出相关点的坐标，求得，，设平面的法向量为，可得，解方程组，可得答案. 【详解】 法一：（判定法）以为原点， 为单位正交基底， 建立空间直角坐标系，如图，，, 则，， ,, 同理得，，， 法二（法向量法）以为原点， 为单位正交基底， 建立空间直角坐标系，如图，，， 则，， 设平面的法向量为， 则，即 ， 取，则， ∴平面的一个法向量为∶, ,, 点拨：坐标法证明线面垂直的两种方法 法一：(1)建立空间直角坐标系；(2)将直线的方向向量用坐标表示； (3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量； (4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0. 法二：(1)建立空间直角坐标系；(2)将直线的方向向量用坐标表示； (3)求出平面的法向量；(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行． 变式2-1 如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点， G为CC1的中点．求证：A1O⊥平面GBD. 变式2-1 【分析】法一：建立空间直角坐标系，设棱长为2，由题意求出相关点的坐标，求得＝(1，－1,2)，＝(1,1,0)，＝(－2,0,1)，·＝0，·＝0.得OA1⊥OB，OA1⊥BG， 利用线面垂直判定定理即得结论 法二：建立空间直角坐标系，由题意求出相关点的坐标，求得＝(1,1,0)，＝(－2,0,1)，，设平面GBD的法向量为，可得，解方程组，可得答案. 证明　方法一　如图取D为坐标原点，DA、DC、DD1所在的 直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系． 设正方体棱长为2，则O(1,1,0)，A1(2,0,2)，G(0,2,1)， B(2,2,0)，D(0,0,0)， ∴＝(1，－1,2)，＝(1,1,0)，＝(－2,0,1)， 而·＝1－1＋0＝0，·＝－2＋0＋2＝0. ∴⊥，⊥，即OA1⊥OB，OA1⊥BG， 而OB∩BG＝B，∴OA1⊥平面GBD. 方法二　同方法一建系后，设面GBD的一个法向量为 则，∴，即 令x＝1得z＝2，y＝－1， ∴平面GBD的一个法向量为(1，－1,2)，显然＝(－1,1，－2)＝- ∴∥n，∴A1O⊥平面GBD. 题型三 空间中直线与平面垂直问题 例3. 如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点， G为CC1的中点．求证：平面A1BD⊥平面GBD. 【分析】法一：建立空间直角坐标系，设棱长为2，由题意求出相关点的坐标，求得＝(1，－1,2)，＝(1,1,0)，＝(－2,0,1)，·＝0，·＝0.得OA1⊥OB，OA1⊥BG，利用线面垂直判定定理即得A1O⊥平面GBD,再利用面面垂直的判定定理得到结论. 法二：建立空间直角坐标系，由题意求出相关点的坐标，求得＝(1,1,0)，＝(－2,0,1)，，设平面的法向量为，可得，解方程组，得到设平面GBD的一个法向量.同理得到平面A1BD的一个法向量,由,得到，得到结论 证明　方法一　如图取D为坐标原点，DA、DC、DD1所在的 直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系． 设正方体棱长为2，则O(1,1,0)，A1(2,0,2)，G(0,2,1)， B(2,2,0)，D(0,0,0)， ∴＝(1，－1,2)，＝(1,1,0)，＝(－2,0,1)， 而·＝1－1＋0＝0，·＝－2＋0＋2＝0. ∴⊥，⊥，即OA1⊥OB，OA1⊥BG， 而OB∩BG＝B，∴OA1⊥平面GBD. ，平面A1BD⊥平面GBD 方法二 由变2-1得到平面GBD的一个法向量. 设平面A1BD的一个法向量,而＝(1，－1,2)， 则,解得, 令，故 平面A1BD的一个法向量 又 , 平面A1BD⊥平面GBD 点拨：利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个方法 一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直． 变3-1如图所示，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，BB1＝1，E为BB1的中点，证明：平面AEC1⊥平面AA1C1C. 例3 解：由题意得AB，BC，B1B两两垂直．以B为原点， BA，BC，BB1分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 则A(2,0,0)，A1(2,0,1)，C(0,2,0)，C1(0,2,1)，E， 则＝(0,0,1)，＝(－2,2,0)，＝(－2,2,1)，＝. 设平面AA1C1C的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)． 则⇒ 令x1＝1，得y1＝1.∴n1＝(1,1,0)． 设平面AEC1的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)． 则⇒ 令z2＝4，得x2＝1，y2＝－1.∴n2＝(1，－1,4)． ∵n1·n2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0. ∴n1⊥n2，∴平面AEC1⊥平面AA1C1C. 【课堂小结】 空间垂直关系的解决方法： 几何法 向量法 线线 垂直 (1)证明两直线所成的角为90°. (2)若直线与平面垂直，则此直线与平面内所有直线垂直 两直线的方向向量互相垂直 线面 垂直 对于直线l，m，n和平面α (1)若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，m与n相交，则l⊥α. (2)若l∥m，m⊥α，则l⊥α (1)证明直线的方向向量分别与平面内两条相交直线的方向向量垂直． (2)证明直线的方向向量与平面的法向量是平行向量 面面垂直 对于直线l，m和平面α，β (1)若l⊥α，l⊂β，则α⊥β. (2)若l⊥α，m⊥β，l⊥m，则α⊥β. (3)若平面α与β相交所成的二面角为直角，则α⊥β 证明两个平面的法向量互相垂直 能力提升 例4如图1.4-14，在平行六面体中，， ，求证：直线平面． 分析：根据条件，可以为基底，并用基向量表示和 平面，再通过向量运算证明是平面的法向量即可． 证明：设，，，则为空间的一个基底，且，，．因为，， 所以，． 在平面上，取，为基向量，则对于平面上任意一点， 存在唯一的有序实数对，使得 ． 所以， ． 所以是平面的法向量．所以平面． 而是平面的法向量，所以．所以． 作业布置 2 如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直， AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：AM⊥平面BDF. 【跟踪训练】2 证明：以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(，，0)，B(0，，0)，D(，0,0)，F(，，1)，M 所以＝，＝(0, ，1)，＝(，－，0)． 设＝(x，y，z)是平面BDF的法向量，则⊥，⊥， 所以⇒ 取y＝1，得x＝1，z＝－.则＝(1,1，－)． 因为＝.所以＝－ ，得与共线． 所以AM⊥平面BDF. 3如图，在四棱锥S­ABCD中，底面ABCD是正方形，AS⊥底面ABCD， 且AS＝AB，E是SC的中点．求证：平面BDE⊥平面ABCD. 3 证明：设AS＝AB＝1，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则B(1,0,0)，D(0,1,0)，A(0,0,0)，S(0,0,1)，E. 法一：如图，连接AC，交BD于点O，连接OE，则点O的坐标为.易知＝(0,0,1)，＝，∴＝，∴OE∥AS. 又AS⊥底面ABCD，∴OE⊥平面ABCD. 又OE⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABCD. 法二：设平面BDE的法向量为＝(x，y，z)． 易知＝(－1,1,0)，＝， 由得 令x＝1，可得平面BDE的一个法向量为＝(1,1,0)． ∵AS⊥底面ABCD，∴平面ABCD的一个法向量为＝＝(0,0,1)． ∵，∴平面BDE⊥平面ABCD. 1.4.3 用空间向量研究直线、平面的垂直关系第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4.3 用空间向量研究直线、平面的垂直关系 学习目标 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系（重点）； 2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的垂直关系（难点）； 课前预习 自主梳理 知识点1：直线、平面垂直的向量表示 1. 线线垂直的向量表示: 设直线 的方向向量分别为 , 则 2. 直线和平面垂直的向量表示: 设直线 的方向向量为 , 平面 的法向量为 , 则 ，使得 3. 平面和平面垂直的向量表示: 设平面 的法向量分别为 , 则 . 自主检测 1.判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)两直线的方向向量垂直，则两直线垂直．(　　) (2)若一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面垂直．(　　) (3)若两平面垂直，则这两个平面的法向量所成的角一定是90°.(　　) (4)若直线l是平面α外的一条直线，直线m垂直于直线l在平面α内的投影，则l与m垂直.( ) 题型一 证明线线垂直 例1.已知正方体的棱长为 1， 求证：. 点拨：用向量法证明空间中两条直线l1，l2相互垂直，只需证明两条直线的方向向量a·b＝0即可，具体方法如下： 1.坐标法：根据图形的特征，建立适当的空间直角坐标系，准确地写出相关点的坐标，表示出两条直线的方向向量，计算出其数量积为0即可． 2.基向量法：利用向量的加减运算，结合图形，将要证明的两条直线的方向向量用基向量表示出来，利用数量积运算说明两向量的数量积为0. 变式1-1已知正方体的棱长为 1， 求证：C 题型二 空间中直线与平面垂直问题 例2.已知正方体的棱长为 1， 求证： 点拨：坐标法证明线面垂直的两种方法 法一：(1)建立空间直角坐标系；(2)将直线的方向向量用坐标表示； (3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量； (4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0. 法二：(1)建立空间直角坐标系；(2)将直线的方向向量用坐标表示； (3)求出平面的法向量；(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行． 变式2-1 如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点， G为CC1的中点．求证：A1O⊥平面GBD. 题型三 空间中直线与平面垂直问题 例3. 如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点， G为CC1的中点．求证：平面A1BD⊥平面GBD. 点拨：利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个方法 一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直． 变3-1如图所示，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，BB1＝1，E为BB1的中点，证明：平面AEC1⊥平面AA1C1C. 【课堂小结】 空间垂直关系的解决方法： 几何法 向量法 线线 垂直 (1)证明两直线所成的角为90°. (2)若直线与平面垂直，则此直线与平面内所有直线垂直 两直线的方向向量互相垂直 线面 垂直 对于直线l，m，n和平面α (1)若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，m与n相交，则l⊥α. (2)若l∥m，m⊥α，则l⊥α (1)证明直线的方向向量分别与平面内两条相交直线的方向向量垂直． (2)证明直线的方向向量与平面的法向量是平行向量 面面垂直 对于直线l，m和平面α，β (1)若l⊥α，l⊂β，则α⊥β. (2)若l⊥α，m⊥β，l⊥m，则α⊥β. (3)若平面α与β相交所成的二面角为直角，则α⊥β 证明两个平面的法向量互相垂直 能力提升 例4如图1.4-14，在平行六面体中，， ，求证：直线平面． 作业布置 1. 如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直， AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：AM⊥平面BDF. 2.如图，在四棱锥S­ABCD中，底面ABCD是正方形，AS⊥底面ABCD， 且AS＝AB，E是SC的中点．求证：平面BDE⊥平面ABCD. 1.4.3 用空间向量研究直线、平面的垂直关系第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1.4.3 用空间向量研究直线、平面的垂直关系 答案 课前预习 自主梳理 1. 2., 3. 自主检测 1.【答案】(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 【解析】(1)正确．由线线垂直的向量表示可知正确． (2)错误．若一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行或在平面内． (3)正确．若两平面垂直，则这两个平面的法向量也垂直，所以这两个平面的法向量所成的角一定是90°. (4)错误．若直线m在平面α外，例如m⊥α，尽管m垂直于 直线l在平面α内的投影，但也不能得出l⊥m的结论． 例1.【分析】建立空间直角坐标系，由题意求出相关点的坐标，求得 ，，用数量积为0得到向量垂直，即可得到线线垂直. 【详解】 法一：（判定法）以为原点， 为单位正交基底， 建立空间直角坐标系，如图，,，， 则， ,, 变式1-1 【分析】建立空间直角坐标系，由题意求出相关点的坐标，求得，，用数量积为0得到向量垂直，即可得到线线垂直. 【详解】 法一：（判定法）以为原点， 为单位正交基底， 建立空间直角坐标系，如图，,，， 则， ,, 例2.【分析】法一：建立空间直角坐标系，由题意求出相关点的坐标，求得，，，，，得且，利用线面垂直判定定理即得结论 法二：建立空间直角坐标系，由题意求出相关点的坐标，求得，，设平面的法向量为，可得，解方程组，可得答案. 【详解】 法一：（判定法）以为原点， 为单位正交基底， 建立空间直角坐标系，如图，，, 则，， ,, 同理得，，， 法二（法向量法）以为原点， 为单位正交基底， 建立空间直角坐标系，如图，，， 则，， 设平面的法向量为， 则，即 ， 取，则， ∴平面的一个法向量为∶, ,, 变式2-1 【分析】法一：建立空间直角坐标系，设棱长为2，由题意求出相关点的坐标，求得＝(1，－1,2)，＝(1,1,0)，＝(－2,0,1)，·＝0，·＝0.得OA1⊥OB，OA1⊥BG， 利用线面垂直判定定理即得结论 法二：建立空间直角坐标系，由题意求出相关点的坐标，求得＝(1,1,0)，＝(－2,0,1)，，设平面GBD的法向量为，可得，解方程组，可得答案. 证明　方法一　如图取D为坐标原点，DA、DC、DD1所在的 直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系． 设正方体棱长为2，则O(1,1,0)，A1(2,0,2)，G(0,2,1)， B(2,2,0)，D(0,0,0)， ∴＝(1，－1,2)，＝(1,1,0)，＝(－2,0,1)， 而·＝1－1＋0＝0，·＝－2＋0＋2＝0. ∴⊥，⊥，即OA1⊥OB，OA1⊥BG， 而OB∩BG＝B，∴OA1⊥平面GBD. 方法二　同方法一建系后，设面GBD的一个法向量为 则，∴，即 令x＝1得z＝2，y＝－1， ∴平面GBD的一个法向量为(1，－1,2)，显然＝(－1,1，－2)＝- ∴∥n，∴A1O⊥平面GBD. 例3.【分析】法一：建立空间直角坐标系，设棱长为2，由题意求出相关点的坐标，求得＝(1，－1,2)，＝(1,1,0)，＝(－2,0,1)，·＝0，·＝0.得OA1⊥OB，OA1⊥BG，利用线面垂直判定定理即得A1O⊥平面GBD,再利用面面垂直的判定定理得到结论. 法二：建立空间直角坐标系，由题意求出相关点的坐标，求得＝(1,1,0)，＝(－2,0,1)，，设平面的法向量为，可得，解方程组，得到设平面GBD的一个法向量.同理得到平面A1BD的一个法向量,由,得到，得到结论 证明　方法一　如图取D为坐标原点，DA、DC、DD1所在的 直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系． 设正方体棱长为2，则O(1,1,0)，A1(2,0,2)，G(0,2,1)， B(2,2,0)，D(0,0,0)， ∴＝(1，－1,2)，＝(1,1,0)，＝(－2,0,1)， 而·＝1－1＋0＝0，·＝－2＋0＋2＝0. ∴⊥，⊥，即OA1⊥OB，OA1⊥BG， 而OB∩BG＝B，∴OA1⊥平面GBD. ，平面A1BD⊥平面GBD 方法二 由变2-1得到平面GBD的一个法向量. 设平面A1BD的一个法向量,而＝(1，－1,2)， 则,解得, 令，故 平面A1BD的一个法向量 又 , 平面A1BD⊥平面GBD 变3-1 解：由题意得AB，BC，B1B两两垂直．以B为原点， BA，BC，BB1分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 则A(2,0,0)，A1(2,0,1)，C(0,2,0)，C1(0,2,1)，E， 则＝(0,0,1)，＝(－2,2,0)，＝(－2,2,1)，＝. 设平面AA1C1C的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)． 则⇒ 令x1＝1，得y1＝1.∴n1＝(1,1,0)． 设平面AEC1的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)． 则⇒ 令z2＝4，得x2＝1，y2＝－1.∴n2＝(1，－1,4)． ∵n1·n2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0. ∴n1⊥n2，∴平面AEC1⊥平面AA1C1C. 能力提升 例4分析：根据条件，可以为基底，并用基向量表示和 平面，再通过向量运算证明是平面的法向量即可． 证明：设，，，则为空间的一个基底， 且，，．因为，， 所以，． 在平面上，取，为基向量，则对于平面上任意一点， 存在唯一的有序实数对，使得 ． 所以， ． 所以是平面的法向量．所以平面． 而是平面的法向量，所以．所以． 作业布置 1. 证明：以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(，，0)，B(0，，0)，D(，0,0)，F(，，1)，M 所以＝，＝(0, ，1)，＝(，－，0)． 设＝(x，y，z)是平面BDF的法向量，则⊥，⊥， 所以⇒ 取y＝1，得x＝1，z＝－.则＝(1,1，－)． 因为＝.所以＝－ ，得与共线． 所以AM⊥平面BDF. 2. 证明：设AS＝AB＝1，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则B(1,0,0)，D(0,1,0)，A(0,0,0)，S(0,0,1)，E. 法一：如图，连接AC，交BD于点O，连接OE，则点O的坐标为.易知＝(0,0,1)，＝，∴＝，∴OE∥AS. 又AS⊥底面ABCD，∴OE⊥平面ABCD. 又OE⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABCD. 法二：设平面BDE的法向量为＝(x，y，z)． 易知＝(－1,1,0)，＝， 由得 令x＝1，可得平面BDE的一个法向量为＝(1,1,0)． ∵AS⊥底面ABCD，∴平面ABCD的一个法向量为＝＝(0,0,1)． ∵，∴平面BDE⊥平面ABCD. 1.4.3 用空间向量研究直线、平面的垂直关系答案第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $1.4.3用空间向量研究直线、平面的垂直关系 学习月标 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系（重点)； 2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的垂直关系（难点)； 课前预习自主梳理 知识点1：直线、平面垂直的向量表示 1.线线垂直的向量表示： 设直线1,12的方向向量分别为山，42， 则l11l2台 台 2.直线和平面垂直的向量表示： 设直线1的方向向量为u,平面x的法向量为， 则1⊥a曰」 曰ER,使得 3.平面和平面垂直的向量表示： 设平面a,B的法向量分别为4，山2， 则a1阝台 台 自主检测 1.判断正误，正确的画√，错误的画×”. (1)两直线的方向向量垂直，则两直线垂直.() (2)若一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面垂直.() (3)若两平面垂直，则这两个平面的法向量所成的角一定是90°.() (4)若直线1是平面c外的一条直线，直线m垂直于直线1在平面a内的投影，则1与m垂直.() 题型一 证明线线垂直 例1.已知正方体ABCD-ABCD的棱长为1，求证：BD11AB1 B 1.4.3用空间向量研究直线、平面的垂直关系第1页共4页 点拨：用向量法证明空间中两条直线1,2相互垂直，只需证明两条直线的方向向量b=0即 可，具体方法如下： 1.坐标法：根据图形的特征，建立适当的空间直角坐标系，准确地写出相关点的坐标，表示出 两条直线的方向向量，计算出其数量积为0即可. 2基向量法：利用向量的加减运算，结合图形，将要证明的两条直线的方向向量用基向量表示 出来，利用数量积运算说明两向量的数量积为0. 变式1-1已知正方体ABCD-AB,CD的棱长为1，求证：BD11AC C B 题型二空间中直线与平面垂直问题 例2.已知正方体ABCD-ABCD的棱长为1，求证：BD11平面ABC D 点拨：坐标法证明线面垂直的两种方法 法一：(1)建立空间直角坐标系；（②）将直线的方向向量用坐标表示； (③)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量； (4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0. 法二：(1)建立空间直角坐标系；(2)将直线的方向向量用坐标表示； (3)求出平面的法向量；(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行. 1.4.3用空间向量研究直线、平面的垂直关系第2页共4页 变式2-1 D 如图所示，在正方体ABCD一A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点， B G为CC1的中点.求证：A1O⊥平面GBD. D B 题型三空间中直线与平面垂直问题 D C 例3.如图所示，在正方体ABCD一A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点 A B G为CC1的中点.求证：平面A1BD⊥平面GBD. 点拨：利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个方法 一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直； 二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直. 变3-1如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB⊥BC,AB=BC=2,BB1=1,E为BB1的中 点，证明：平面AEC1⊥平面AA1C1C B1 C ----- E B 1.4.3用空间向量研究直线、平面的垂直关系第3页共4页 【课堂小结】 空间垂直关系的解决方法： 几何法 向量法 (1)证明两直线所成的角为90° 线线 (②)若直线与平面垂直，则此直线与平 两直线的方向向量互相垂直 垂直 面内所有直线垂直 对于直线1，m,n和平面a (1)证明直线的方向向量分别与平面 线面 (1)若1⊥m,1Ln,mCa,nc,m与n 内两条相交直线的方向向量垂直. 垂直 相交，则1La (②)证明直线的方向向量与平面的法 (2)若1∥，⊥a,则1⊥a 向量是平行向量 对于直线1，m和平面a,B (1)若1La,1cp,则a⊥β. 面面垂 (2)若1⊥a,⊥B,1⊥m,则a⊥B. 证明两个平面的法向量互相垂直 直 (3)若平面α与B相交所成的二面角为直 角，则⊥B D 能力提升 例4如图1.4-14，在平行六面体ABCD-AB,C,D,中，AB=AD=AA=1, ∠AAB=∠AAD=∠BAD=60°，求证：直线A,C⊥平面BDDB,· 图1.4-14 作业布置 1.如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直， AB=V2,AF=1,M是线段EF的中点，求证：AM⊥平面BDF. 2.如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是正方形，AS⊥底面ABCD, 且AS=AB,E是SC的中点.求证：平面BDE⊥平面ABCD. U 1.4.3用空间向量研究直线、平面的垂直关系第4页共4页 1.4.3用空间向量研究直线、平面的垂直关系 答案 课煎预习自主梳理 1.1⊥13⊙4⊥4台4w2=0 21⊥a.台iI元台λeR,元=n 3.0x1B台h⊥n3令hh=0 自主检测 1.【答案】(1)N(2)×3)V(4× 【解析】()正确.由线线垂直的向量表示可知正确 (2)错误.若一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行或在平面内. (3)正确，若两平面垂直，则这两个平面的法向量也垂直，所以这两个平面的法向量所成 的角一定是90° (④)错误.若直线m在平面外，例如mLa,尽管m垂直于 D 直线1在平面α内的投影，但也不能得出1⊥m的结论， 例1.【分析】建立空间直角坐标系，由题意求出相关点的坐标，求得 A码=(0,1，)，BD=(-1一，1,1)用数量积为0得到向量垂直，即可得到线线垂 D A 【详解】法-：（判定法）以D为原点，{DA,DC,DD}为单位正交基底 建立空间直角坐标系，如图，B(1,1,0)D1(0,0,1),A(1,0,0),B1(1,1,1) 则BD=(-1-,1,1),AB=(01,1) ~AB1·BD1=0×(-1)+1×(-1)+1×1=0,.BD11AB1,BD11AB1 变式1-1 【分析】建立空间直角坐标系，由题意求出相关点的坐标，求得AB,=(0,1,1),BD1=(-1-,1,1),用数 量积为0得到向量垂直，即可得到线线垂直， 1.4.3用空间向量研究直线、平面的垂直关系答案第1页共6页 D 【详解】法-：（判定法）以D为原点，{DA,DC,DD}为单位正交基底， A 建立空间直角坐标系，如图，B(1,1,0),D1(0,0,1),A(1,0,0).C(0,1,0) 则BD1=(-1-,1,1),AC=(-1,1,0) C ~AC·BD1=(-1)×(-1)+1×1+1×0=0.BD11AC÷BD11AC 例2.【分析】法一：建立空间直角坐标系，由题意求出相关点的坐标，求得AB=(0,1,1),BD=(-1-,1,1) AC=(-1,L,0),BD·AB=0,AC.BD=0,得BD11AB1且BD11AC,利用线面垂直判定定理即得结论 法二：建立空间直角坐标系，由题意求出相关点的坐标，求得AB=(0,1,1),AC=(-1,L,0),设平面ABC的 iAB=0 法向量为i=(x,y,z),可得 nAC=0 ,解方程组，可得答案 【详解】法一：（判定法）以D为原点.{DA,DC,DD}为单位正交基底， 建立空间直角坐标系，如图，B,1,1,1),A(1,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0)D1(0,0,1) 则AB=(0,1,1),AC=(-1,1,0),BD1=(-1-,1,1) AB1·BD1=0×(-1)+1×(-1)+1×1=0.AB11BD1AB11BD1 同理得.AC⊥BD1,AB1∩AC=A,且AB1,ACC平面AB1C,.BD11平面AB1C 法二（法向量法）以D为原点，DA,DC,DD}为单位正交基底. 建立空间直角坐标系，如图，B(1,1,1),A(1,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),D1(0,0,1) 则AB=(0,1,1),AC=(-1,1,0),BD1=(-1-,1,1) C 设平面AB,C的法向量为i=(x,y,z), B i·AB=0 y+z=0 则 即 nAC=0 -x+y=0 D 取y=1,则x=1,2=-1, ∴.平面AB,C的一个法向量为：i=Q,1,-1), ·BD1=-iBD1Ii,.BD11平面AB1C 变式2-1 【分析】法一：建立空间直角坐标系，设棱长为2，由题意求出相关点的坐标，求得OA1=(1,-1,2).可2= 1.4.3用空间向量研究直线、平面的垂直关系答案第2页共6页 (1,1,0),BG=(-2,0,1),OA1Oi=0.OA1B亡=0.得OA1⊥0B,OA1⊥BG 利用线面垂直判定定理即得结论 法二：建立空间直角坐标系，由题意求出相关点的坐标，求得OB=(1,1,0),BG=(-2,0,1),,设平面GBD 的法向量为元=(x,,),可得0三卫=0.解方程组.可得答案 (BG.元=0' 证明方法一如图取D为坐标原点，DA、DC、DD1所在的 直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系· 设正方体棱长为2，则O(1,1,0),A1(2,0,2),G(0,2,1). D B(2,2,0).D(0,0,0). C 0A1=(1,-1,2),O3=1,1,0).BG=(-2,0,1). B G 而OA1OB=1-1+0=0.OA1BG=-2+0+2=0. D OA1⊥OB,OA1LBG.即OA1⊥OB,OA1⊥BG 而OB∩BG=B,∴.OA1⊥平面GBD 方法二同方法一建系后，设面GBD的一个法向量为元=(x,y,Z) 则82。吧=2 令x=1得z=2,y=-1, ∴.平面GBD的一个法向量为1，-1,2)，显然410=(-1,1.-2)=-元 A1O∥n,A1O⊥平面GBD. 例3.【分析】法一：建立空间直角坐标系，设棱长为2，由题意求出相关点的坐标，求得OA1=(1,-1,2). O3=(1,1,0),BG=(-2,0,1),OA1OB=0OA1BG=0.得OA1⊥OB,OA11BG,利用线面垂直判定定理即 得A1OL平面GBD,再利用面面垂直的判定定理得到结论， 法二：建立空间直角坐标系，由题意求出相关点的坐标，求得OB=(1,1,0),BG=(-2,0,1),,设平面A8C的 法向量为元=（化，y,,可得0丽.元二0.解方程组、得到设平面GBD的一个法向量方=口，-1,2.同理得到 (BG.n=0 平面ABD的一个法向量m=(1,-1,-1),由m·元=0，得到m1元，得到结论 证明方法一如图取D为坐标原点，DA、DC、DD1所在的 D C 直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， A B 设正方体棱长为2，则O(1,1,0),A1(2,0,2),G(0,2,1) G B(2,2,0).D(0,0,0) x 1.4.3用空间向量研究直线、平面的垂直关系答案第3页共6页 ∴0A1=(1,-1,2).03=(1,1,0),B亡=(-20,1). 而0A102=1-1+0=0,OA1BG=-2+0+2=0. ∴.OA1LOB.OA1LBG.即OA1⊥OB,OA1LBG 而OB∩BG=B,∴.OA1⊥平面GBD. OA1C平面A1BD,平面A1BD⊥平面GBD 方法二由变2-1得到平面GBD的一个法向量元=(1，-1,2). 设平面A1BD的一个法向量元=(x1,y1,z1),而OA1=(1,-1,2),DB=(2,2,0) 则。w收二 令x1=,则y1=-121=-1,故m=(1,-1,-1) 平面A1BD的一个法向量m=(1,-1,-1) 又m·元=1×1+(-1)×(-1)+2×(-1)=0 ∴mI元，平面A1BD⊥平面GBD 变3-1解：由题意得AB,BC,B1B两两垂直.以B为原点， BA,BC,BB1分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系· 则A(2,0,0).A1(2,0,1),C(02,0).C(02,1).E(0,0,). 则441=(0,0,1)A记=(-2,2,0)，AC1=(-22,1),A2=(-2,0,) 设平面AA1C1C的一个法向量为1=(x1,y1,1). m1AA1=0, 21=0, 则1 B rAC=0 -2x1+2y1=0. A 令x1=1,得y1=1..1=(1,1,0). 设平面AEC1的一个法向量为2=(2,2,2). Ad=0, [-2x2+2y3+z2=0, 则1 2A立=0 2+29=0, 令2=4，得x2=1,y2=-1.2=(1,-1,4). .12=1×1+1×(-1)+0×4=0. ,.1⊥2，∴.平面AEC1⊥平面AA1C1C 1.4.3用空间向量研究直线、平面的垂直关系答案第4页共6页 能力提升 D 例4分析：根据条件，可以{AB,AD,AA)为基底，并用基向量表示AC和 平面BDDB,再通过向量运算证明AC是平面BDDB的法向量即可· 证明：设AB=a,AD=b,A4=c,则a,五，c为空间的-个基底 图1.4-14 且AC=a+b-c,BD=i-a,BE=c.因为AB=AD=AA1=1,∠AAB=∠AAD=∠BAD=60° 所以a=6=c=1a-i=b.c=ca=1 在平面BDDB,上，取BD,BB,为基向量，则对于平面BDDB,上任意一点P, 存在唯一的有序实数对(2，川，使得 BP=ABD+uBB 所以， AC.BP=AAC.BD+LAC.BB=4@+B-c).6-a)+u@+B-c)c=0. 所以A,C是平面BDD,B,的法向量·所以A,C⊥平面BDD,B· 而n是平面B的法向量，所以u⊥n.所以a⊥B· 作业布置 1.证明：以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(V2,V2,0),B0,V2,0), D2,0,0,22,).M经号1) 所以=(-9，-号，1)，D=0,2,),ò=62，-V2,0. M 设元=(c,y,)是平面BDF的法向量，则元LB方，元⊥D立， B -0,源。 元1DF=V2x+z=0 取y=1,得x=1,2=-2.则元=(1,1，-2). 因为=(-号，竖，1)所以元=-2，得元与供线 1.4.3用空间向量研究直线、平面的垂直关系答案第5页共6页 所以AM⊥平面BDF. 2.证明：设AS=AB=1,建立如图所示的空间直角坐标系A3z,则B(1,0,0),D(0,1,0),A(0,0,0), s00,10.g5 法一：如图，连接AC,交BD于点O,连接OE,则点的从为上上且n衣-n,0,1),O立 =(0,0),∴O应=0E∥4S S 又AS⊥底面ABCD,∴.OE⊥平面ABCD 又OEC平面BDE,∴.平面BDE⊥平面ABCD. A D 法二：设平面BDE的法向量为=(x,y,)· 0、 易知动=(-1,10.励=(-). B 由 元1BDa元·BD=-x+y=0 1B距得西1BE=-+y+=0 令x=1,可得平面BDE的一个法向量为n=(1,1,0) :AS⊥底面ABCD,.平面ABCD的一个法向量为m2=A=(0,0,1). .·2=0,∴.平面BDE⊥平面ABCD, 1.4.3用空间向量研究直线、平面的垂直关系答案第6页共6页