1.4.1 1.空间中点、直线和平面的向量表示导学案——2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.4.1 1.空间中点、直线和平面的向量表示 预习提要 1.回顾空间向量运算的坐标表示； 2.阅读课本P26—P28内容，自主探究空间中点、直线和平面的向量表示，并根据阅读内容填写本节预习任务，把握本课重难点. 一、温故 1．一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的坐标减去坐标. 2．设，当时，，，. 3．设，当时，. 4．设，则. 5．设，则=. 6．设是空间中任意两点，则. 7．空间两点间的距离公式：设，则. 二、知新 1．在空间中，取一定点作为基点，空间中任意一点可以用向量来表示，我们把向量称为点的向量. 2．用向量表示直线是直线的方向向量，在直线上取，设是直线上的任意一点，点在直线上的充要条件是存在实数，使得，即. 3．空间直线的向量表示式（取定空间任意一点）：点在直线上的充要条件是存在实数，使；或将代入，得. 4．空间任意直线由直线上及直线的唯一确定. 5．平面的向量表示（平面向量基本定理形式）：设两条相交直线交于点，它们的方向向量分别为和为平面内任意一点，则存在唯一的有序实数对，使得. 6．空间平面的向量表示式：取定空间任意一点，空间一点位于平面内的充要条件是存在实数，使. 7．空间中任意平面由空间一点及两个向量唯一确定. 8．平面的法向量定义：直线，取直线的方向向量，我们称向量为平面的向量. 9．给定一个点和一个向量，那么过点，且以向量为法向量的平面可以表示为集合. 课前自测 1．若，在直线l上，则直线l的一个方向向量为( ) A. B. C. D. 2．在空间直角坐标系中，直线l过点且以为方向向量，为直线l上的任意一点，则点M的坐标满足的关系式是( ) A. B. C. D. 3．点，平面的一个法向量为( ) A. B. C. D. 4．（多选）下列说法不正确的是( ) A.平面的一个法向量垂直于与平面共面的所有向量 B.一个平面的所有法向量互相平行 C.一个平面的单位法向量是唯一的 D.如果a，b与平面共面，且，，那么n就是平面的一个法向量 5．若，，是平面内的三点，为平面的一个法向量，则____________________. 反思 爱尔兰数学家哈密顿创立三维向量体系后，法国数学家拉格朗日将向量与笛卡尔空间直角坐标系结合，建立起用向量统一描述空间中点、直线、平面的理论，彻底摆脱立体几何繁杂的辅助线证明，开创＂向量解析立体几何＂的研究方法. 在该理论诞生前，研究空间中点、线、面的位置关系只能依靠纯几何作图与逻辑推导，异面直线、面面夹角等问题很难量化计算.拉格朗日提出核心思想：空间所有几何元素都能借助点的位置向量与方向向量. 答案及解析 一、温故 1．终点；起点 2． 3． 4． 5． 6． 7． 二、知新 1．位置 2． 3． 4．一点；方向向量 5． 6． 7．不共线 8．法 9． 课前自测 1．答案：C 解析：依题意，直线l的一个方向向量为，其他三个均不符合要求.故选C. 2．答案：C 解析：依题意，，，则，所以点M的坐标满足的关系式是.故选C. 3．答案：B 解析：设平面的一个法向量，， 则，不妨取，则， ，即平面的一个法向量为． 故选：B． 4．答案：CD 解析：对于A，根据平面的法向量的定义可知，平面的法向量垂直于与平面共面的所有向量，故A不符合题意； 对于B，一个平面的所有法向量与平面都垂直，所以它们都互相平行，故B不符合题意； 对于C，一个平面的单位法向量有两个，方向相反，故C符合题意； 对于D，如果a，b与平面共面，且，， 那么当a，b共线时，n不一定是平面的一个法向量，故D符合题意. 选CD. 5．答案： 解析：由，，得，， 因为为平面的法向量，则有，，即， 由向量的数量积的运算法则有，解得，， 所以， 故正确答案为. 学科网（北京）股份有限公司 $