1.3.1 空间直角坐标系-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（人教A版）

跟踪训练3：【解析】(1)证明：设AB=a,AD=b,C=c, 则{a,b,c}构成空间的一个基底， BD=AD-AB=b-a, AP=AB+BC+CP=a+b+c, 所以Bd.AP=(b-a)·(a+b+c)=b2-a2+b·c-a·c =32-32+3×4c0s60°-3×4cos60°=0， 所以PA⊥BD. (2)由(1)知AP=a+b+c, 所以A=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c =32+32+42+2×3×3cos60°+2×3×4c0s60°+2×3× 4c0s60°=9+9+16+9+12+12=67. 所以AP=1AP1=√67. 随堂检测重反馈 1.C0心=2a-b且a,6不共线，ab,0共面0心与 a,b不能构成一组空间基底。 2CC成=A成-AC=7(店+)-（店+B驼+C记）= 1 3片如图所示，=M+成-子 +3(i+P心)=-子i+m+ M 2元由空间向量基本定理得x=-子，小 =分=分故x+y+=写 4子迹+石丽-号成~示-不--不-}配-应 +成-号（应+心+）=子破+石不号而=子话+ 名8R-成 1.3空间向量及其运算的坐标表示 1.3.1空间直角坐标系 教材梳理明要点 新知初探 知识点一 1.x轴、y轴、z轴 2.0每两条坐标轴0 xy Oyz Ozx 3.x轴的正方向y轴的正方向z轴的正方向 知识点二 1.唯一（x,y,2)A(x,y,2) 2.(x,y,z)a=(x,y,z） 预习自测 1.D因为P点的横坐标为0，其他坐标不为0，故点P(0,2,4) 在Oyz平面上 2.A·B1的坐标为(4,3,2)，D为坐标原点，∴.BC=4,DC=3, CC1=2,∴.C的坐标为(0,3,2). 2 3.【解析】在正方形ABCD中，AB=6, .各点坐标分别为A(6,0,0),B(6,6,0),C(0,6,0),D(0,0, 0),A(6,0,4),B(6,6,4),C(0,6,4),D(0,0,4),0(3,3, 0),01(3,3,4),M(6,6,2),N(0,6,3). 题型探究提技能 例1：【解析】如图所示，取AC的中点O和 AC的中点O1,可得B0⊥AC,O01⊥AC O01⊥B0,分别以OB,0C,001所在直线为 x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系. ·三棱柱各棱长均为1， 0A=0c=0,4=0,G=3,0B= 2 A,B,C均在坐标轴上， A(0,-）a(900),c(0,分) 点A1与C,在0z平面内， A(0,-21）,c(0,21) 点B,在Oy平面内的射影为B,且BB,=1, B(停.0,1），即该三棱挂各顶点的坐标为4(0，-分 0）(50,0)c(0,20）4(0,-214(o. 1,c(o31 跟踪训练1：【解析】.·正四棱锥P-ABCD 的底面边长为4，侧棱长为10 .正四棱锥的高为223. 以正四棱锥的底面中心为原点，平行于 BC,AB所在的直线分别为x轴y轴，垂直 于平面ABCD的直线为z轴，建立如图所 示的空间直角坐标系， 则正四棱锥各顶点的坐标分别为A(2,-2,0),B(2,2,0), C(-2,2,0),D(-2,-2,0),P(0,0,223).(答案不唯-) 例2：【解析】(1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的投影 不变，在y轴、z轴的投影变为原来的相反数，所以对称点的坐 标为(-2，-1，-4). (2)由于点P关于Oxy平面对称后，它在x轴、y轴的投影不 变，在z轴的投影变为原来的相反数，所以对称点的坐标为 (-2,1,-4). (3)设对称点为P(x,y,z),则点M为线段PP的中点，由中 点坐标公式，可得x=2×2-（-2)=6, y=2×(-1)-1=-3,z=2×(-4)-4=-12, 所以P(6,-3,-12). 跟踪训练2：(1)ABC(2)(2,-3,1)(1)点P(x,y,z)关于x 轴的对称点坐标是(x,-y,-z),所以A不正确；点P(x,y,z) 关于Oz平面的对称点坐标是(-x,y,z),所以B不正确；点P 关于y轴的对称点坐标是(-x,y,-z),所以C不正确；点P 关于原点的对称点坐标是(-x,-y,-z),所以D正确.故 选ABC. (2)点P(2,3,-1)关于坐标平面Oxy的对称点P的坐标为 (2,3,1),点P关于坐标平面Oz的对称点P2的坐标为 （-2,3,1),点P,关于z轴的对称点P3的坐标是(2，-3,1). 例3：(-2，-1，-4)，（-4,2，-4)设0,02,00同向的单位 方向向量分别为i,j,k.因为D0=-0i=-(00+0)= -[o0+3o+]-00-2耐-2成=-2i- -4k,所以D0=(-2,-1,-4).因为A1B=0店-0A=0成 (0+AA)=02-0A-A4=-4i+2j-4k,所以A,B=(-4, 2,-4). 跟踪训练3：【解析】因为PA=AD=AB=1, 所以可设AB=,AD=广，AP=k 因为M=M+A+Pd =网+市+号武 =d+a+2(Pi+Ad+D心 =破+市+(-市+动+) =20+2动=为+ 所以=(0,7) 随堂检测重反馈 1.D因为点(x,y,z)关于原点的对称点坐标为(-x,-y,-z), 所以点A(-3,0,-4)关于原点的对称点B的坐标是(3,0， 4). 2.A点到平面Oz的距离就是点的横坐标的绝对值。 3.(2,-4,5),(1,2,-3)由空间向量坐标概念知a=(2,-4, 5),b=(1,2,-3) 4(-1,-分-） :Ci=Ct+C+A成=-cC-AC+ 办=-杯-店-花+之而--破-号市-=-i 为-kG成=(-1,3，-1）月 1.3.2空间向量运算的坐标表示 教材梳理明要点 新知初探 知识点一 (a1+b1,a2+b2,a3+b3)（a1-b,a2-b2,a3-b3) (Aa1,Aa2,Aa3),入∈Ra1b1+a2b2+a3b3 知识点二 a1=入b1a2=入b2a3=入b3a1b1+a2b2+a3b3=0 知识点三 1.(x2-x1-y1,-） 预习自测 1.C向量0A=(1,0,1),0B=(2,1,-1),.向量AB=0B 04=(1,1,-2). 2.√17a+b=(1,1,0)+(0,-1,4)=(1,0,4),所以1a+b1 =√2+4=7. 3.√3AB=√(1-0)2+(2-1)2+(3-2)2=5. 题型探究提技能 例1：【解析】(1)设B(x,y,z),则AB=(x-2,y+5,z-3),又 AB=(4,1,2), rx-2=4, x=6, 所以{y+5=1,解得{y=-4, z-3=2, z=5, 所以点B的坐标为(6，-4,5). 设C(x1,y1,1),则B元=(x1-6,y1+4,a1-5).又B元=(3， -2,5), 1-6=3, 出=9， 所以y+4=-2,解得{y1=-6, lz1-5=5, lz1=10, 所以点C的坐标为(9，-6,10). (2)因为C=(2,-5,3)-(9,-6,10)=(-7,1,-7),BC= (3,-2,5) 所以C.B元=-21-2-35=-58. 跟踪训练1：14-8易知2a·（-b)=-2(a·b)=-2(2× 0+(-1)×(-1)+(-2)×4)=-2×(-7)=14,(a+b) ·(a-b)=(2,-2,2)·(2,0,-6)=2×2+(-2)×0+2× (-6)=-8. 例2：【证明】如图，以A为原点建立空 间直角坐标系，设正方体的棱长为1， 则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0), D(0,1,0),A1(0,0,1),B(1,0,1), C(1,1,1), 由中点坐标公式得E(1,1,2), c(310）(22 所以G=(1,0,1),应=（分0，分）成=（-之，- 3) 所以AB=2C正 4孤，成=1×(-）+0+1×分=0， 所以AB∥G屁，AB⊥E 故AB∥GE,AB⊥EF 跟踪训练2：【解析】如图所示，以D为 坐标原点，DA,DC,DD,所在直线分别 为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标 A 系Dxyz,设正方体棱长为1，则A(1,0, 0),E(0.02)81.1,0),B1,1 A 1),D(0,0,1), 由题意，可设点P的坐标为(a,a,l), 因为3BP=PD, 所以3(a-1,a-1,0)=(-a,-a,0), 所以3a-3=-a,解得a=子 3 所以点P的坠标为（子子，1） 由题意可设点Q的坐标为(b,b,0), 因为PQ⊥AE,所以P·A正=0， 所以(6-子6-子-1）(-10，）=0，016 随堂检测重反馈 1.已知点0，A,B,C为空间不共面的四点，且向量a=OA+OB+0C,向量b=OA+0B-0C,则与a, b不能构成空间基底的向量是 A.OA B.OB C.OC D.OA或OB 2.如图，在平行六面体ABCD-A1B,C,D1中，AC与BD的交点为点M,AB=a, D AD=b,AA1=c,则下列向量中与C,M相等的向量是 ( A-0++c B.1.1 a+ b+c 2 C-ja-ib-e D.-za-zbre 3.在正四面体P-ABC中，M是PA上的点，且PM=2MA,N是BC的中点，若MN=xPA+yPB+ zPC,则x+y+z的值为 4正方体ABCD-A,B,C,D的棱长为a,AM=)MC,点N为B,B的中点，则Mm D 等于 （用向量AB,BB1,BC表示). 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[4] 1.3 空间向量及其运算的坐标表示 1.3.1空间直角坐标系 新课程标准解读 学科核心素养 1.了解空间直角坐标系的建立过程 直观想象 2.掌握空间直角坐标系中点的坐标的确定 直观想象 3.掌握空间向量的坐标表示. 直观想象 教材梳理 明要点 ●情境导入 在平面向量中，我们以平面直角坐标系中与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i了为基底，建立 了向量的坐标与点的坐标的一一对应关系，从而把平面向量的运算化归为数的运算.类似地，利 用空间向量基本定理和空间的单位正交基底，建立空间直角坐标系，进而建立空间向量的坐标 与空间点的坐标的一一对应关系，把空间向量的运算化归为数的运算. 台新知初探 知识点一空间直角坐标系 1.空间直角坐标系：在空间选定一点0和一个单位正交基底{i,j,k},以点0为原 点，分别以i,j,k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴： ,它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oyz. 017 2.相关概念： 叫做原点，i,j,k都叫做坐标向量，通过 的平面叫做坐标平面，分别称为 平面， 平面， 平 [知识点反思1] 面，它们把空间分成八个部分 在立体几何图形中， 3.右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向 ,食 先确定三条两两互相 指指向 ,如果中指指向 ,则称这个坐标系为右 垂直的直线，以此为 依托建立空间直角坐 手直角坐标系， ●[知识点反思1] 标系；在画空间直角 知识点二空间向量的坐标表示 坐标系Oxyz时，一般 1.点的坐标 使∠x0y=135°（或 在空间直角坐标系Oxyz中，i,j,k为坐标向量，对空间任意一点A,对应一 45°)，∠y0z=90 建立的坐标系均为右 个向量0A,存在 有序实数组(x,y,z),使OA=xi++k,则与0A 手直角坐标系 对应的有序实数组 叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作 其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖 坐标 [知识点反思2] 2.向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a,作OA=a.由空间向量 (1)过点A作垂直于 基本定理，存在唯一的有序实数组(x,y,z),使a=xi+i+k.有序实数组 坐标轴的平面，与x 叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，记作 轴、y轴、z轴分别交 于点A1、点A2和点 [知识点反思2] A,实际上就是作点 目预习自测 A在各条坐标轴上的 1.点P(0,2,4)在空间直角坐标系中的位置是在 投影，即从点、A向坐 A.y轴上 B.Oxy平面上 标轴引垂线，垂足分 C.Oxz平面上 D.Oyz平面上 别为点A1,A2,A3设 2.如图所示，以长方体ABCD-AB,CD1的顶点D为 点A1,A2,A3的坐标 坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建 D 分别为(x,0,0), 立空间直角坐标系，若B,的坐标为(4,3,2)，则C (0,y,0),(0,0, z),则点A的坐标为 的坐标是 (x,y,z). A.(0,3,2)》 B.(0,4,2) (2)空间直角坐标系 C.(4,0,2) D.(2,3,4) 中坐标轴、坐标平面 3.如图所示，在正四棱柱ABCD-AB,C,D1中，0，O1分别为 上的点的坐标的特点 底面ABCD,底面AB1C,D1的中心，AB=6,A41=4,M为 点的 x轴 y轴 名轴 B,B的中点，点N在C,C上，且C,N:NC=1:3.以D为 位置 上 上 上 坐标 原点，分别以DA,DC,DD,所在直线为x轴、y轴、2轴建立 的形x,0,0)0,y,0)(0,0,） 空间直角坐标系，求图中各点的坐标 点的 0灯y平 0平 Oa平 位置 面内 面内 面内 坐标 的形 x,y,0 (0,y,2 (x,0,2 式 018 题型探究提技能 题型一求空间中点的坐标 例1已知在直三棱柱ABC-AB,G中，所有的棱长都是1，试建立适当的 [方法总结1] (1)建立空间直角坐 空间直角坐标系，并写出各顶点的坐标 [方法总结1] 标系的原则 ①让尽可能多的点、落 在坐标轴上或坐标平 面内 ②充分利用几何图形 的对称性。 (2)求某点M的坐标 的方法 作MM'垂直于平面 Oxy,垂足为M',求 M的横坐标x,纵坐 》跟踪训川练1 标y,即为点M的横 已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，试建立适当的空间 坐标x,纵坐标y,再 直角坐标系，写出各顶点的坐标 求M点在z轴上射影 的竖坐标z,即为点M 的竖坐标，于是得 到点M的坐标(x, y,). 题型二求对称点的坐标 [方法总结2] 例2在空间直角坐标系中，点P(-2,1,4). 空间直角坐标系中求 (1)求点P关于x轴的对称点的坐标； 已知点、关于坐标轴和 (2)求点P关于Oxy平面的对称点的坐标； 坐标平面的对称点， 一般遵循“关于谁对 (3)求点P关于点M(2,-1,-4)的对称点的坐标 称谁不变，其余的符 >[方法总结2] 号均相反”原则. ●019 )跟踪训练2 (1)(多选)在空间直角坐标系中，已知点P(x,y,z),则下列说法不正确的 是 ( A.点P关于x轴的对称点坐标是(x,-y,z) B.点P关于Oyz平面的对称点坐标是(x,-y,-z) C.点P关于y轴的对称，点坐标是(x,-y,z) D.点P关于原点的对称点坐标是(-x,-y,-) (2)已知点P(2,3,-1)关于坐标平面Oxy的对称点为P,点P1关于坐标 平面Oz的对称点为P2,点P2关于z轴的对称点为P,则点P3的坐标 为 题型三空间向量的坐标表示 例3.在直三棱柱AB0-AB,0中，∠A0B=受，A0=4,B0 [方法总结3] =2,AA1=4,D为AB,的中点，在如图所示的空间直角 用坐标表示空间向量 的步骤： 坐标系中，D0,A,B的坐标分别为 B (1)观图形：观察图 形特征，寻找两两垂 直的三条直线。 (2)建系：根据图形 >[方法总结3] 特征建立空间直角坐 》跟踪训练3 标系。 已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M,N分别 （3）计算：将所求向 是AB,PC的中点，并且PA=AD=1.在如图所示的空 量用基向量表示 出来. 间直角坐标系中，求向量MN的坐标. (4)定结果：确定向 量的坐标. D 随堂检测重反馈 1.已知点A(-3,0,-4),点A关于原点的对称点为B,则点B的坐标是 A.(3,0,-4) B.(-3,0,4) C.（-4,0,-3) D.(3,0,4) 2.在空间直角坐标系中，点P(-1,-2,-3)到平面Oyx的距离是 A.1 B.2 C.3 D.√14 3.设{i,j,k}是空间向量的一个单位正交基底，a=2i-4j+5k,b=i+2ji-3k,则向量a,b的坐标分 别为 4.如图所示，在正方体ABCD-A,B,C,D1中，M是AD的中点，AB=1,则向量 C,M的坐标为 夯基提能作亚 请同学们认真完成练案[5]