1.1.1 第1课时空间向量及其线性运算-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（人教A版）

●001 第一章空间向量与立体儿何 1.1 空间向量及其运算 1.1.1空间向量及其线性运算 第1课时 空间向量及其线性运算 新课程标准解读 学科核心素养 1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念 数学抽象、直观想象 2.经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程，掌握空间向量 数学抽象、数学运算 的线性运算及其运算律. 教材梳理 明要点 9情境导入 平面内力的合成可以依据平面向量运算法则来进行.救 援三角支架（如图）在应用时，每一个支脚都有一个支撑 [提示] 力.显然，这些力不在同一个平面内.那么空间中不在同 可利用空间向量的运 平面内的力如何合成呢？ ●[提示] 算法则来进行 白新知初探 知识点一空间向量的概念 1.空间向量的概念与表示 (1)空间向量的定义：在空间，我们把具有 和 的量叫做空 间向量. (2)空间向量的长度：空间向量的大小叫做空间向量的 或 (3)表示法 ①字母表示法：用字母a,b,c,…表示； ②几何表示法：空间向量用 表示.若向量a的起，点是A,终点 是B,则向量a也可以记作 其模记为 或 2.几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 规定长度为0的向量叫做 ,记为0 单位向量 的向量叫做单位向量 002 与向量a长度 而方向 的向量，叫做a的相 相反向量 反向量，记为-a 共线（平行） 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线 [知识点反思1] ,那么这些向量叫做共线向量或平行向量.规定：零向量 向量 (1)单位向量、零向 与任意向量 即对于任意向量a,都有0 量都只规定了向量的 大小而没有规定方 相等向量 方向 且模 的向量称为相等向量.在空间， 且 向，单位向量有无数 的有向线段表示同一向量或相等向量 多个，它们的方向并 ●[知识点反思1] 不一定相同，故不一 定相等，而零向量的 知识点二 空间向量的加减运算 方向是任意的，且所 语言叙述 首尾 相接，首指向尾为和 有的零向量相等. (2)两个空间向量相 三角形 等，则它们的方向相 法则 图形叙述 同且模相等，但起点 和终点、未必相同」 加法运算 语言叙述 共起点的两边为邻边作平行四边形，共 起，点对角线为和 平行四边 [知识点反思2] 形法则 (1)求向量的和时， 图形叙述 可以首尾相接（三角 形法则)，也可以共 起点（平行四边形法 语言叙述 共起点，连 ,方向指向 向量 则)；求向量的差时， 三角形 减法运算 必须共起点（三角形 法则 b 图形叙述 a-b 法则：共起点，指被 减) 交换律 a+b=b+a (2)空间向量加减运 运算律 结合律 算的运算法则，所满 (a+b)+c=a+(b+c) 足的运算律与平面向 [知识点反思2] 量完全相同. 知识点三 空间向量的数乘运算 定义 与平面向量一样，实数入与空间向量a的乘积入a仍然是一个 向量，称为空间向量的数乘 [知识点反思3] λ>0 入a与向量a的方向 (1)入的正负影响着 λa的长度是a 几何 向量入a的方向，入 入<0 意义 入a与向量a的方向 的长度的 的绝对值的大小影响 入=0 Aa=0,其方向是任意的 倍 着入a的长度. (2)向量λ与向量a 结合律 入(ua）= 运算律 一定是共线向量， 分配律 (入+u)a= ,入(a+b)= ●[知识点反思3] 003 自预习自测 1.（多选)下列说法中正确的是 A.若1al=Ib1,则a,b的长度相等，方向相同或相反 B.若向量a是向量b的相反向量，则Ial=Ib1 C.将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆 D.若空间向量m,n,p满足m=n,n=p,则m=p 2.空间四边形OABC中，OA+AB-CB= A.AB B.OA C.OC D.AC 3,在三棱锥ABCD中，若△BCD为正三角形，且E为其中心，则AB+)BC-3DE-AD= A.AB B.2 BD C.0 D.2 DE 题型探究 提技能 题型一空间向量的有关概念 例11)（多选下列命题中正窥的是 ( A.如果a,b是两个单位向量，则1al=1b1 B.两个空间向量共线，则这两个向量方向相同 C.若a,b,c为非零向量，且a∥b,b∥c,则a∥c [方法总结1] D.空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内 空间向量的概念与平 (2)如图所示，在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，顶 面向量的概念类似， 点连接的向量中，与向量A4'相等的向量有 平面向量的其他概 ;与向量A'B相反的向量有 念，如向量的模、相 (要求写出所有适合条件的向量) 等向量、平行向量、 相反向量、单位向量 ●[方法总结1] 等都可以拓展为空间 向量的相关概念 )跟踪训练1 (多选)下列命题正确的是 ( A.空间中所有的单位向量都相等 B.若a=b,则a∥b [方法总结2] C.若a,b满足1al>1b1,且a,b同向，则a>b 空间向量加减运算的 D.对于任意向量a,b,必有la+b1≤|aI+Ib1 技巧 题型二空间向量的加减运算 (1)灵活应用空间向 例2.(1)平行六面体ABCD-A,B,CD,中，化简AB-D1+B,B=() 量的自由平移和相反 向量，可使向量间首 A.BD B.AC C.CA D.DB 尾相接或共起点 (2)如图，在空间四边形ABCD中，若AB=a,BD=b, (2)结合具体图形， AC=c,则CD= 利用三角形法则、平 行四边形法则，目标 向量转化为已知向 量 >[方法总结2] 004 》跟踪训练2 如图，已知空间四边形ABCD,连接AC,BD,E,F,G分别 是BC,CD,DB的中点，请化简以下式子，并在图中标出 化简结果. B--------0 (1)AB+BC-DC: (2)AB-DG-CE [方法总结3] 利用数乘运算进行向 量表示的技巧 (1)数形结合：利用 数乘运算解题时，要 题型三空间向量的数乘运算 结合具体图形，利用 例3如图所示，在平行六面体ABCD-AB,CD,中，设 三角形法则、平行四 边形法则，将目标向 A41=a,AB=b,AD=c,M,N,P分别是A41,BC, 量转化为已知向量. C,D1的中点，试用a,b,c表示以下各向量： (2)明确目标：在化 (1)AP;(2)A,N:(3)MP 简过程中要有目标意 识，巧妙运用中点 性质. D[方法总结3] 〉跟踪训练3 在三棱柱ABC-A,B,C1中，AB=a,AC=b,AA1=c.点M在棱BC上，且 BM=2MC,N为AA1的中点，若以a,b,c为基底，则MN= () A.、2 -含+ 1 B.2a-1b+ 1 a- 3 3 3 2 - 1 12,1 C.-3+ 3 D.-3a-3h+2 3 005 随堂检测 重反馈 1,在长方体ABCD-A,B,C,D,中，下列向量与CD是相等向量的是 A.AB B.BA C.A B D.DC 2.在空间四边形OABC中，OC-BC+BA= A.OA B.AC c.oc D.AB 3.设有四边形ABCD,0为空间任意一点，且AO+OB=D0+OC,则四边形ABCD是 A.平行四边形 B.空间四边形 C.等腰梯形 D.矩形 4,如图，在四面体ABCD中，E,F分别是BC,CD的中点，则AD+】(BC-BD)= 2 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[1] 第2课时 共线向量与共面向量 新课程标准解读 学科核心素养 1.理解向量共线、向量共面的定义 数学抽象 2.掌握向量共线的充要条件和向量共面的充要条件. 数学抽象、逻辑推理 3.会证明空间三点共线、四点共面， 直观想象、逻辑推理 教材梳理 明要点 ●情境导入 [提示] 空间中的两个向量一 在立体几何的学习中，我们知道空间中两条直线有相交、平行和异面三种 定是共面向量，但不 位置关系.那么在空间中的两个向量有什么样的位置关系呢？ 一定是共线向量. [知识点反思1] [提示] (1)向量a,b共线 时，表示向量a,b的 e新知初探 有向线段不一定在同 一条直线上. 知识点一共线向量 (2)一条直线的方向 1.空间向量共线的充要条件：对任意两个空间向量a,b(b≠0)，a∥b的充要 向量不唯一 (3)因为零向量0= 条件是存在实数入，使 0·a,所以零向量和 2.直线的方向向量 空间任一向量a是共 如图，0是直线l上一点，在直线1上取非零向量a,则对于a 线（平行）向量，这一 性质使共线句量不具 直线l上任意一点P,可知0OP=a,把与向量a平行的非零一oa 有传递性，即若a∥ 向量称为直线1的 ·直线可以由其上一点和它的 b,b∥c,则aMc不 一定成立.因为当b= 方向向量确定. D[知识点反思1] 0时，a∥0,0∥c, 但a与c不一定共线.学案及练案部分 参芳答案 [学案部分] 第一章空间向量与立体几何 例2：(1)B(2)a+b-c 【解析】(I)AB-DA+B,B=AB+BB-DA=A,B+BC= 1.1空间向量及其运算 A己.故选B. (2)因为AB=a,Bi=b,AC=c,所以C⑦=CB+B=C+AB 1.1.1空间向量及其线性运算 +B励=-A元+Ai+Bi=a+b-c. 第1课时空间向量及其线性运算 跟踪训练2：【解析】(1)A店+B元-D元 =A正+B元+C心=A亡+Ci=A,如图 教材梳理 明要点 新知初探 中向量AD. 知识点 (2)AB-D元-C应=AB+B武+E元=AG 1.(1)大小方向(2)长度模(3)有向线段 AB lal +G本=A市，如图中向量A立 IABI 例3：【解析】(1)点P是C,D,的中点，A产=AA+AD+ 2.零向量模为1相等相反互相平行或重合平行∥ 相同相等同向等长 D,市=A+币+2店=a+c+b, 知识点二 (2)点N是BC的中点，.A=A,A+A店+B=-A4+A店 顺次终点被减 知识点三 +2动=-a+b+2 相同相反IA!(u)aAa+uaAa+Ab (3):点M是A4,的中点，M币=+A=4+币= 预习自测 L.BD1a=Ibl,说明a与b模相等，但方向不确定；对于a的 -a+(a+c+b）=2a+b+c 相反向量b=-a,故1al=1b1,从而B 正确；将空间所有的单位向量平移到一 跟踪训练3：D如图，因为BM=2MC,所以 A 个起点，则它们的终点构成一个球面， 成=+威=成+子成=应+ 此可判断C错误；根据相等向量的定义 知D正确.故选BD 0 子(-商=宁+子，因为N为。 2.CO+A正-C=0i+B元=0元.故 选C. 的申点，所以不=不=了c,所以 3.C延长DE交BC于F,如图，则F是BC 的中点，亦=2成，店+2屁-子成 衣-成=号动+分微选D 随堂检测重反馈 -A⑦=A屈+B示-D示-A市=A店+B :1.B如图所示的长方体ABCD D F-Ad=0.故选C AB,C,D,中，向量AB与C⑦方向相 题型探究提技能 A 反，所以这两个向量不相等，因此A 例1：(1)ACD(2)BB,CC,DDB'A,BA,C,C'D 项不正确：向量BA与C大小相等， 【解析】(1)由单位向量的定义即得Ial=Ib1=1,故A正 方向相同，所以这两个向量相等， 确；共线不一定同向，故B错误；因为a,b,c为非零向量，且 因此B项正确；向量AB与C⑦方向 B a∥b,b∥c,所以a∥c,故C正确；在空间任取一点，过此点引 两个与已知非零向量相等的向量，而这两个向量所在的直线 相反，所以这两个向量不相等，因此C项不正确：显然向量C 相交于此点，两条相交直线确定一个平面，所以两个非零向量 与向量D心方向相反，所以这两个向量不相等，因此D项不正 可以平移到同一平面内，故D正确.故选ACD, 确.故选B. (2)根据相等向量的定义知，与向量A4产相等的向量有BB,2.AO元-BC+B耐=O元+C+B=O1.故选A CC,DD,与向量AB相反的向量有B'A,B,Ci,CD 3.AAò+0B=Dd+0元，.AB=DC,.线段AB,DC平行且 跟踪训练1：BD向量相等需要满足两个条件，长度相等且方向相等，.四边形ABCD为平行四边形.故选A. 相同，缺一不可，故A错误：根据平行向量和相等向量的定义4.产因为】（成-心）=成-成，所以心+2（武-动） 可知B正确：向量不能比较大小，故C错误；根据向量的模的 三角不等式知Ia+b1≤|a+Ib1,故D正确.故选BD =A市+D求=A应 197