1.2 空间向量基本定理-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（人教A版）

解法二：根据向量的线性运算可得，B,乙·A产=(A,A+A)· (A心+)A)=A迹=1.由题意可得PA,=B,C=2,则2× 2×cos(B,C,A1P)=1,从而(B,元，A,2)=60° 1.2空间向量基本定理 教材梳理明要点 新知初探 知识点一 1.不共面唯一 xa+yb +zc 2.基底 知识点二 1.两两垂直1 2.两两垂直 预习自测 1.(1)×(2)V(3)V(4)V 【解析】(1)任意三个不共面向量都可以作为空间的一个基 底，故(1)错误.(2)若a,b,c中有一个零向量，则a,b,c三向 量共面不能构成基底，故a,b,c均为非零向量.(3)若B,Bm B不能构成空间的一个基底，则三向量共面，且有公共起点 B,因此A,B,M,W四点共面.(4)因为a,b,c不共面，则必有x =y=z=0. 2.C由空间向量基本定理可知C正确 3D成-i+应=0耐+分动-0+4（破+d)=0+ 子（成-a+0成-a),所以a成=a+子b+子c 题型探究提技能 例1：【解析】假设0,02,0d共面. 则存在实数A,4使得Oi=入O店+uO元， .e1+2e2-e3 =A(-3e1+e2+2e3)+u(e1+e2-e3) =(-3入+u)e1+(入+u)e2+(2入-u)e3, e1,e2,e3不共面， 「-3入+u=1, .入+u=2,此方程组无解， 2入-u=-1, .假设不成立， .0A,02,0元不共面， .{0A,0B,0心可以作为空间的一个基底 跟踪训练1：C解法一：因为a-b=(a-c) (b-c),所以向量a-c,b-c,a-b共面，不构 a- 成基底， 解法二：如图，表示向量a-c,b-c,a-b的三 条有向线段在三棱锥的一个侧面内，所以三个 向量共面，不构成基底 例2：【解析】(1)如图，连接AC,EF,DF,BD1 DB=D方+D成 =-A4+A应-A =a-b-c. 成=成+亦=2D,+2d =子(+动+之(+ (2)D市=号(0市+D =(-d+0蓟 =2(-c+a-b-e) =b- 又D,F=xa+yb+zc, x=7y=分=-1 1 跟踪训练2：【解析】(1)DB=D元+CB=D元+BB-BC=a- b+c. B成=Bi+AM+A,店=-a+b+c =+脉=a+子(b+e)=a+b D +2 (2)DD+DB+CD=DD+(CD+DB) DD+CB=DD+D A=DA. 如图，DA即为所求. 例3：【解析】(1)证明：设D=i,D元=j,DD=k, 则i了，k}构成空间的一个正交基底. 成-动+亦-+2（耐+成=+， B C=BB+BC=-i-k, 成.B衣(2i+-）(-i-k)=-32+ 2kP=0, .E7⊥B,C,即EF⊥B,C. (2):成=2i+2力i-2k,cG=c+c=-k-i, 2=(2分+岁-）=子1+子+子k 3,即1=万，1G2=（-k-）=k12+gj2=4+ 号9即G2, ·os(E成，Gd=·CG IEFIIC GI (2+岁2(-k-动) -30 5x2而 2/30 15 3 3 即EF与C,C所成角的余弦值为0. 15 跟踪训练3：【解析】(1)证明：设AB=a,AD=b,C=c, 则{a,b,c}构成空间的一个基底， BD=AD-AB=b-a, AP=AB+BC+CP=a+b+c, 所以Bd.AP=(b-a)·(a+b+c)=b2-a2+b·c-a·c =32-32+3×4c0s60°-3×4cos60°=0， 所以PA⊥BD. (2)由(1)知AP=a+b+c, 所以A=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c =32+32+42+2×3×3cos60°+2×3×4c0s60°+2×3× 4c0s60°=9+9+16+9+12+12=67. 所以AP=1AP1=√67. 随堂检测重反馈 1.C0心=2a-b且a,6不共线，ab,0共面0心与 a,b不能构成一组空间基底。 2CC成=A成-AC=7(店+)-（店+B驼+C记）= 1 3片如图所示，=M+成-子 +3(i+P心)=-子i+m+ M 2元由空间向量基本定理得x=-子，小 =分=分故x+y+=写 4子迹+石丽-号成~示-不--不-}配-应 +成-号（应+心+）=子破+石不号而=子话+ 名8R-成 1.3空间向量及其运算的坐标表示 1.3.1空间直角坐标系 教材梳理明要点 新知初探 知识点一 1.x轴、y轴、z轴 2.0每两条坐标轴0 xy Oyz Ozx 3.x轴的正方向y轴的正方向z轴的正方向 知识点二 1.唯一（x,y,2)A(x,y,2) 2.(x,y,z)a=(x,y,z） 预习自测 1.D因为P点的横坐标为0，其他坐标不为0，故点P(0,2,4) 在Oyz平面上 2.A·B1的坐标为(4,3,2)，D为坐标原点，∴.BC=4,DC=3, CC1=2,∴.C的坐标为(0,3,2). 2 3.【解析】在正方形ABCD中，AB=6, .各点坐标分别为A(6,0,0),B(6,6,0),C(0,6,0),D(0,0, 0),A(6,0,4),B(6,6,4),C(0,6,4),D(0,0,4),0(3,3, 0),01(3,3,4),M(6,6,2),N(0,6,3). 题型探究提技能 例1：【解析】如图所示，取AC的中点O和 AC的中点O1,可得B0⊥AC,O01⊥AC O01⊥B0,分别以OB,0C,001所在直线为 x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系. ·三棱柱各棱长均为1， 0A=0c=0,4=0,G=3,0B= 2 A,B,C均在坐标轴上， A(0,-）a(900),c(0,分) 点A1与C,在0z平面内， A(0,-21）,c(0,21) 点B,在Oy平面内的射影为B,且BB,=1, B(停.0,1），即该三棱挂各顶点的坐标为4(0，-分 0）(50,0)c(0,20）4(0,-214(o. 1,c(o31 跟踪训练1：【解析】.·正四棱锥P-ABCD 的底面边长为4，侧棱长为10 .正四棱锥的高为223. 以正四棱锥的底面中心为原点，平行于 BC,AB所在的直线分别为x轴y轴，垂直 于平面ABCD的直线为z轴，建立如图所 示的空间直角坐标系， 则正四棱锥各顶点的坐标分别为A(2,-2,0),B(2,2,0), C(-2,2,0),D(-2,-2,0),P(0,0,223).(答案不唯-) 例2：【解析】(1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的投影 不变，在y轴、z轴的投影变为原来的相反数，所以对称点的坐 标为(-2，-1，-4). (2)由于点P关于Oxy平面对称后，它在x轴、y轴的投影不 变，在z轴的投影变为原来的相反数，所以对称点的坐标为 (-2,1,-4). (3)设对称点为P(x,y,z),则点M为线段PP的中点，由中 点坐标公式，可得x=2×2-（-2)=6, y=2×(-1)-1=-3,z=2×(-4)-4=-12, 所以P(6,-3,-12). 跟踪训练2：(1)ABC(2)(2,-3,1)(1)点P(x,y,z)关于x 轴的对称点坐标是(x,-y,-z),所以A不正确；点P(x,y,z) 关于Oz平面的对称点坐标是(-x,y,z),所以B不正确；点P 关于y轴的对称点坐标是(-x,y,-z),所以C不正确；点P 关于原点的对称点坐标是(-x,-y,-z),所以D正确.故 选ABC. (2)点P(2,3,-1)关于坐标平面Oxy的对称点P的坐标为 (2,3,1),点P关于坐标平面Oz的对称点P2的坐标为 （-2,3,1),点P,关于z轴的对称点P3的坐标是(2，-3,1).012 随堂检测重反馈 1.（多选)如图所示，在正方体ABCD-A,B,C,D1中，下列各组向量的夹角为45°的 D 是 ( A.AB与A1C1 B.AB与CA C.BC与C,B D.BC与AD1 2.在正三棱柱ABC-A,B,C1中，AB=2,BB1=3,则AB,·AC= A.1 B.2 C.3 D.4 3.已知空间四边形01BC中，0B=0C,∠A0B=∠A0C=5,则os(0A,BC的值为 A月 B② c D.0 4.如图，在长方体ABCD-AB,C,D,中，设AD=A41=1,AB=2,P是C,D1的中 点，则B,C与AP成角的大小为 B,C·AP= 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[3] 1.己空间向量基本定理 新课程标准解读 学科核心素养 1.理解空间向量基本定理及其意义. 数学抽象 2.会用空间的一个基底表示空间向量 逻辑推理 3.初步体会利用空间向量基本定理求解立体几何问题的方法 数学运算、逻辑推理 教材梳理 明要点 ●情境导入 [提示] 我们知道，平面内的任意一个向量p都可以用两个不共线的向量a,b来 任意一个空间向量都 可以用任意三个不共 表示（平面向量基本定理）.类似地，任意一个空间向量能否用任意三个不 面的向量来表示；一 共面的向量a,b,c来表示呢？ P[提示] 个向量用三个确定的 不共面向量表示的结 e新知初探 果是唯一的， 知识点一空间向量基本定理 [知识点反思1] 1.定理：如果三个向量a,b,c ,那么对任意一个空间向量卫，存在任意三个不共面的向 的有序实数组(x,y,z),使得p= 量都可以构成空间的 2.基底：如果三个向量α，b,c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是 一个基底；任意一个 空间的基底都可以生 {plp=xa+yb+C,x,y,z∈R}.这个集合可看作由向量a,b,c生成的，我 成空间的所有向量； 们把{a,b,c}叫做空间的一个 ,4,b,c都叫做基向量 同一个向量在同一个 >[知识点反思1] 基底下的分解式是唯 一的 013 知识点二空间向量的正交分解 1.单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量 ,且长度都 [知识点反思2] 一般选择有公共端，点 为 ,那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i了，k}表示. 的三条长度和夹角均 2.正交分解：把一个空间向量分解为三个 的向量，叫做把空间向量 已知或可求的棱所表 正交分解。 ●[知识点反思2] 示的向量为基底 自预习自测 1.判断（正确的画“/”，错误的画“×”）， (1)空间向量的基底是唯一的. (2)若a,b,c构成空间向量的一个基底，则a,b,c均为非零向量 (3)已知A,B,M,N是空间四点，若BA,BM,BN不能构成空间的一个基底，则A,B,M,N共面.（ (4)若{a,b,c}是空间的一个基底，且存在实数x,y,2使得xa+yb+c=0,则有x=y=8=0. 2.在长方体ABCD-AB,C,D1中，可以作为空间向量一个基底的是 A.AB.AC.AD B.AB,AA,AB C.D A ,D C DD D.AC,A C,CC 3.在正四面体OABC中，OA=4,OB=b,OC=c,D为BC的中，点，E为AD的中点， A OE等于 ( 0++ 1 B.1 1b+2 c2a+ D 24 +1b+1 41 题型探究提技能 题型一 基底的判断 例1.已知e,e,e是空间的一个基底，且0A=e+2e,-e,0B=-3e,+ [方法总结1] 基底的判断方法 e2+2e3,0C=e1+e2-e3,试判断{OA,0B,0C能否作为空间的一个 (1)判断一组向量能 否作为空间的一个基 基底 P[方法总结1] 底，实质是判断这三 个向量是否共面，若 不共面，就可以作为 一个基底 (2)判断基底时，常 常依托正方体、长方 体、平行六面体、四 面体等几何体，用它 们从同一顶点出发的 三条棱对应的方向向 量为基底，并在此基 础上构造其他向量进 行相关的判断. 014 )跟踪训练1 已知{a,b,c}能构成空间的一个基底，则下面的各组向量中，不能构成空间 基底的是 A.a+b,b,c B.a,a-b,c C.a-c,b-c,a-b D.a,b,a+b+c 题型二用基底表示空间向量 例2.在平行六面体ABCD-A,B,CD,中，设B=a,D=b,A=c,E,F分 别是AD1,BD的中点 (1)用向量a,b,c表示D1B,EF; [方法总结2] (2)若D1F=xa+yb+zC,求实数x,y,z的值. ●[方法总结2] 用基底表示向量的 方法 (1)若基底已经确 定，要充分利用向量 加法、减法的三角形 法则和平行四边形法 则，以及向量数乘运 算的运算律 (2)若没给定基底， 要尽量选择共起点的 模及其夹角已知或易 求的向量为基底 〉跟踪训练2 如图，平行六面体ABCD-ABC1D1中，AB=M,AD=b, AA1=c,E为AD1的中点，F为BC1与B,C的交点. (1)用基底{a,b,c}表示向量DB1,BE,AF; (2)化简DD1+DB+CD,并在图中标出化简结果 ●015 题型三空间向量基本定理的应用 例3在棱长为2的正方体ABCD-A,BCD,中，E,F分别 是DD,BD的中点，点C在棱CD上，且cG=}CD A B E (1)证明：EF⊥B,C; (2)求EF与C,G所成角的余弦值. [方法总结3] 应用空间向量基本定 >[方法总结3] 理解决问题的一般 步骤 第一步 依据图形的结构特征 及题目所求选取恰当 基底 第二步 将所求向量用基底表 示 第三步 将几何问题转化为向 量问题解决 将距离和线段 →长转化为求向 量的模 将线线、线面、 面面垂直问题 》跟踪训练3 转化为向量垂 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为3 直问题 的菱形，PC=4,∠ABC=∠BCP=∠DCP=120° 将空间角问题 (1)证明：PA⊥BD: 转化为向量夹 角问题 (2)求AP的长， 016 随堂检测重反馈 1.已知点0，A,B,C为空间不共面的四点，且向量a=OA+OB+0C,向量b=OA+0B-0C,则与a, b不能构成空间基底的向量是 A.OA B.OB C.OC D.OA或OB 2.如图，在平行六面体ABCD-A1B,C,D1中，AC与BD的交点为点M,AB=a, D AD=b,AA1=c,则下列向量中与C,M相等的向量是 ( A-0++c B.1.1 a+ b+c 2 C-ja-ib-e D.-za-zbre 3.在正四面体P-ABC中，M是PA上的点，且PM=2MA,N是BC的中点，若MN=xPA+yPB+ zPC,则x+y+z的值为 4正方体ABCD-A,B,C,D的棱长为a,AM=)MC,点N为B,B的中点，则Mm D 等于 （用向量AB,BB1,BC表示). 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[4] 1.3 空间向量及其运算的坐标表示 1.3.1空间直角坐标系 新课程标准解读 学科核心素养 1.了解空间直角坐标系的建立过程 直观想象 2.掌握空间直角坐标系中点的坐标的确定 直观想象 3.掌握空间向量的坐标表示. 直观想象 教材梳理 明要点 ●情境导入 在平面向量中，我们以平面直角坐标系中与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i了为基底，建立 了向量的坐标与点的坐标的一一对应关系，从而把平面向量的运算化归为数的运算.类似地，利 用空间向量基本定理和空间的单位正交基底，建立空间直角坐标系，进而建立空间向量的坐标 与空间点的坐标的一一对应关系，把空间向量的运算化归为数的运算. 台新知初探 知识点一空间直角坐标系 1.空间直角坐标系：在空间选定一点0和一个单位正交基底{i,j,k},以点0为原 点，分别以i,j,k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴： ,它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oyz.