1.2空间向量基本定理回归教材导学案 -2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦空间向量基本定理（二），通过回顾平面向量基本定理，类比引出空间向量基底概念，搭建从平面到空间的知识支架，引导学生探究空间向量的表示及位置关系。 以类比探究为主线，问题链设计引导学生用数学眼光观察空间与平面向量的联系，例题结合立体几何实例，培养数学思维推理能力，分层跟练题助力提升用基底表示向量的数学语言表达能力，有效突破学习重难点。

1.2空间向量基本定理（二） 【学习目标】 通过类比平面向量基本定理，探究空间向量基本定理内容及其应用，锻炼学生的空间想象和推理能力。. 【学习重难点】 1.理解空间向量基本定理及其意义并会简单应用. 2.会用基底表示空间向量(重点). 3.初步体会利用空间向量基本定理求解立体几何问题的方法(难点)． 【学习过程】 一、知识回顾 空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c____________，那么对任意一个空间向量p，存在____________的有序实数组(x，y，z)，使得_______________. 若三个向量a，b，c____________，我们把{a，b，c}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 二、探究新知 问题1 如果把三个不共面的向量作为空间的一个基底,那么所有空间向量都可以用三个基向量表示出来.类比平面向量，两空间向量的位置关系垂直、平行如何判断？夹角如何计算？ 概念 平面向量 空间向量 垂直 平行 模长 夹角 三、例题解析 例1. 如图,在平行六面体中, 分别为的中点.求证. 跟1. 如图,已知正方体和相交于点,连接,求证. 例2. 如图,正方体的棱长为分别为的中点. (1)求证:; (2)求与所成角的余弦值. 跟2.在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，H，I分别是DD1，BD，D1C1，B1C的中点，点G在棱CD上，且CG＝CD. (1)证明：EF⊥B1C； (2)证明：HI∥EF； (3)求EF与C1G所成角的余弦值． 四、课堂小结 这节课你学到了什么？自己梳理一下吧！ 五、布置作业 课本15页习题1.2：5、6、7题 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $1.2空间向量基本定理（二) 【学习目标】 通过类比平面向量基本定理，探究空间向量基本定理内容及其应用，锻炼学生的空间想象和推理能力。· 【学习重难点】 1.理解空间向量基本定理及其意义并会简单应用. 2.会用基底表示空间向量（重点） 3.初步体会利用空间向量基本定理求解立体几何问题的方法（难点）. 【学习过程】 一、知识回顾 空间向量基本定理 如果三个向量，b,c不共面，那么对任意一个空间向量P,存在唯二的有序实数组(x,y,),使得卫 =xa+yb+zc. 若三个向量a,b,c不共面，我们把{a,b,c叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 二、探究新知 问题1如果把三个不共面的向量作为空间的一个基底，那么所有空间向量都可以用三个基向量 表示出来.类比平面向量，两空间向量的位置关系垂直、平行如何判断？夹角如何计算？ 解析：与平面向量相同。 结论生成 概念 平面向量 空间向量 垂直 非零向量数量积为零 平行 存在X使得E入D,b0 模长 lap-a 1/5 ab 夹角 cos(a,b〉=1allb 三、例题解析 例1.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4,AD=4,AA1=5,∠DAB=60°，∠BAA1=60°， ∠DAA1=60°，M,N分别为D1C1,C1B1的中点.求证MN⊥AC. 设AB=a,AD=b,A1=c,这三个向量不共面，{a,b,c}构成空间的一个基底，我们用它们表示M,AC, 则 m=M花+GN=a, ACj=AB+BC+C=a+b+c, 所以 M亦，AC= (La-1b-(a+b+c) 2、 2 aa+a*b+号ac-号ba-b-b-号b:c 2 2 0. 4+×4×s60+号×4x5×as60-×4xco60. 2 、3 2 所以MN⊥AC1. D D 跟1.如图，己知正方体ABCD-ABCD,CD和DC相交于点O,连接AO,求证 AO⊥CD. 2/5 证明设AB=a,Ad=b,A=c,则{a, b,c构成空间的一个正交基底。 所以ad=d+D心=+D心+】D0 =+应+2=2ab+ 2c, A D cD=DD-D元=A-A=-a+c, 所以0.而-（分abr）(ae) 、1 aa+2ac-a·b+b·c-2a c+2c·c=0, 所以Ad⊥CD,所以A0⊥CD. 例2.如图，正方体ABCD-ABCD的棱长为1，E,F,G分别为CD,AD,DD的中点. (1)求证：EF//AC: (2)求CE与AG所成角的余弦值. (1)证明：设DA=i,DC=j,DD=k,则{i,j,k}构成空间的一个单位正交基底.所以 应=D.D在=i- CA=DA-DC=i-j. 所以乎= 所以EF1IAC (2)解：因为 CE-CG+GE--j+k, AG=而+D心=i+号k, 所以 cos (CE,AG)= C应，AG ** CEILAGI 5×5 22 3/5 所以CE与AG所成角的余弦值为号 D E B D A B 跟2.在棱长为2的正方体ABCD-AB1CD中，E,F,H,I分别是DD1,BD,DC1,B1C的中点，点G在 棱CD上，且CG=CD B (1)证明：EF⊥B1C; (2)证明：Π∥EF; (3)求EF与CG所成角的余弦值. (1)证明设DA=i,DC=j,DD1=k, 则i,j,k)构成空间的一个正交基底. ..EF=ED+DF=-+(DA+DC) =i+j-,B1C=B1B+BC=-i-, ..EF.B1C=(i) =-2+2=0,.EF⊥B1C, 即EF⊥B1C aHa+6-d:萨=iⅢ与那无交点，“Ⅲ/即 (3).EF=i+j-k,C1G=C1C+CG=-k-j, .EF2=2=2+P+|=3,即EF1=, 4/5 C1G2=2=|2+P=4+=,即C1G=, .cos(EF,C1G〉= 即EF与C1G所成角的余弦值为 四、课堂小结 这节课你学到了什么？自己梳理一下吧！ 五、布置作业 课本15页习题1.2：5、6、7题 5/5