考案(4)本册综合质量检测-【成才之路·考案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（人教A版）

新数学选择性必修·第一册 8.已知直线x+y+2-a=0与圆C:x+y2+4y-1=0交于A,B两13.某公园有一个坐落在水平地面上的大型石膝 考案（四）》 点，则1AB1的最小值为 ( 如图是该石雕的直观图.已知该石雕是正方体 材 习、究、练、测四位一体 A.2 B.3 C.4 D.6 截去一个三棱锥后的剩余部分，△ABC是该石 本册综合质量检测 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出 雕与地面的接触面，其中A是该石雕所在正方 体的一个顶点.某兴趣小组测得B=2√3m, (时间：120分钟满分：150分) 的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的 得部分分，有选错的得0分】 BC=25m,AC=2√10m,则该石雕最高点P 整 、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出 到地面的距离为 的四个选项中，只有一项是符合题目要求的】 9.下列选项正确的有 m. 1.已知A(3,5),B(1,7),则直线AB的倾斜角是 A二=2表示过点P(x),且斜率为2的直线 14如图，腾圆号+苫=1的左，右焦点分别为 A.459 B.60 C.120 D.135 y-yo F,F2,过焦点F,的直线交该椭圆于A,B两 2.若点(2,4)在抛物线y2=2px(p>0)上，则抛物线的准线方程为 B.a=(2,1)是直线x-2y-4=0的一个方向向量 点，若△ABF,的内切圆（圆心记为C)面积为 ( C,以A(4,I),B(1,-2)两点连线为直径的圆的方程为(x-4)(x T,A,B两点的坐标分别为(x,y,),(x2,2),则△ABF2的面积S A.x=-4 B.x=-2 -1)+(y-1)(y+2)=0 ,y-21的值为 Cx=-1 D.y=-4 D.直线(m+1)x+(2m-1)y-1-4m=0(m∈R)恒过定点(2,1) 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过 3.向量a=(2,-1,2),b=(-4,2,x),a⊥b,则12a+b1=( ) 10.已知O为坐标原点，动点P到x轴的距离为d,且1OP2=A+ 程或演算步骤) 4.9 B.3 C.1 D.32 u,其中A,4均为常数，动点P的轨迹称为(A,u)曲线，则下列 15.(本小题满分13分)已知向量a=(-2,-1,2),b=(-1,1,2) 4.已知抛物线C:y2=4x,若地物线C上一点到准线的距离为3，则该 说法正确的是 c=(x.2,2) 点到原点的距离为 ( A.(入，4)曲线一定都关于坐标轴对称 (1)当1c|=2√2时，若向量a+b与c垂直，求实数x和k的值： A.6 B.22 C.25 D.4 B.(7.2)曲线的离心率为2 (2)当x=- 5.已知空间直角坐标系中的点P(1,1,1),A(1,0,1),B(0,1,0),则 时，求证：向量c与向量a,b共面。 点P到直线AB的距离为 ( C若（二“）曲线为焦点在)轴上的椭圆，则4的取值范围是(0,1) D.设曲线2为(2，-1)曲线，曲线Ω与x轴交于A,B两个不同 3 的点，M1,M,M1,M:,M是线段AB的6等分点，分别过这五 6.我国在2022年完成了天宫空间站的建设，天宫空间站的运行轨道 个点作斜率为k(k≠0)的一组平行线，交曲线于点P,P, 可以近似为椭圆，地球处于该椭圆的一个焦点上，已知某次变轨 任务前后，天宫空间站的近地距离（天宫空间站与地球距离的最 …,Po,则AP,AP,…,AP这10条直线的斜率的乘积为-32 小值)不变，远地距离（天宫空间站与地球距离的最大值）扩大为 11.已知圆C1:x2+y2+2mx-10y+m2=0.圆C2:x2+y2+4y-5=0. 变轨前的3倍，椭圆轨道的离心率扩大为变轨前的2倍，则此次变 侧下列说法正确是 ( 轨任务前的椭圆轨道的离心率为 A.若点(1,1)在圆C,的内部，则-2<m<4 B②-1 3-1 2 2 D.3-1 3 B.若m=2,则圆C.C2的公共弦所在的直线方程是4r-14y+9=0 7.如图，已知在正四面体ABCD中，A正=，AB,C示 C.若圆C,C,外切，则m=±15 D.过点(3,2)作圆C,的切线1，则1的方程是7x-24y+27=0 IC⑦，则异面直线DE和BF所成角的余弦值 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 等于 12.已知双曲线C: 2~京=1(a>0,6>0)的左右焦点分别为 A号 3 F2,离心率为5，点P为双曲线C上一点，∠F,PF2=120°，则双 D35 曲线C的渐近线方程为 ;若双曲线C的实轴长为4，则 10 △F,PF,的面积为 (本题第一空2分，第二空3分)》 301 302 16.(本小题满分15分)圆心在直线2x+y=0上的圆C,经过点18.（本小题满分17分）如图，在正三梭柱A,B,C,-ABC中，D,E,F A(2,-1),并且与直线x+y-1=0相切. 分别为AC,CC1,BC的中点，AA=23,AB=2 1但（体小慧满分17分）设精国听+后=1(。>6>0)的左膜点为 (1)求圆C的方程： (1)证明：DF∥平面AB,E. 上顶点为&已知椭圆的离心率为}，MB1=7 (2)圆C被直线1：y=(x-2)分割成弧长的比值为1：2的两段 (2)若B,F⊥平面a,求平面《与平面A,B,E夹角的余弦值 弧，求直线1的方程 (1)求椭圆的方程： (2)设P,Q为椭圆上异于点A的两动点，若直线AP,AQ的斜率 之积为-子证明直线PQ恒过定点，并求出该点坐标 17.(本小题满分15分)如图，AB是过抛物线y2=2x(P>0)焦点F 的弦.M是AB的中点，1是抛物线的准线，MN⊥I.N为垂足，点N 的坐标为(-2，-3) (1)求抛物线的方程： (2)求△A0B的面积(0为坐标原点) =303 ●3044y=x+m, +2消y得4+6mx+3m-120（*） 由4=(6m)2-4×4×(3m2-12)>0, 得-4<m<4, 设A,B的坐标分别为(x1,y),(x2,2)(x1<),AB的中点为E(o,), 则=中=3 2 买，。=+m=平， 因为AB是等腰△PAB的底边， 所以PE⊥AB, 2、m 所以PE的斜率k= 4 =-1 -3+ 解得m=2,符合要求， 此时(*）式为4x2+12x=0,解得x1=-3,2=0. 代入直线方程得，y=-1,y2=2. 不妨设A(-3,-1),B(0,2), 所以IAB1=32 此时，点P(-3,2)到直线AB:x-y+2=0的距离 d=1-3-2+21_32 2 所以△P1B的面积S=之AB1·d=号 1 3 y=之+m, 17.【解析】(1)由 1x2 2 4+9=1, 消去y并整理得9x2+6mx+2m2-18=0.① 4=36m2-36(2m2-18)=-36(m2-18). 因为直线1与椭圆有公共点， 所以4≥0，解得-32≤m≤32. 故所求实数m的取值范围为[-32,32] (2)设直线I与椭圆的交点为A(x1少)，B(x2,少2)， 6m 2m2-18 由①得1+=-9，x= 故1AB1=√1+2·√/(x1+2)2-4x13 =√1+(3)√-）-42m,18 -E.√-m㎡+18， 3 当m=0时，直线1被椭圆截得的弦长最大，最大值为26 :18.【解析】(1)由题意，可得直线AB的斜率存在，且不为0 设直线AB:x-2=m(y-2), 代入抛物线方程可得y2-8my+16m-16=0. 判别式△=(-8m)2-4(16m-16) =64[(m-)广+引>a 设A(x1,y),B(x22), 则有y1+y2=8m, 1 由8m=4,得m=2 所以直线l的方程为2x-y-2=0. (2)假设存在点C,D, 1 则可设lm:y=-2x+m,与抛物线>=8x联立， 消去y得子2-(a+8)+㎡=0， 其中4=(n+8)2-n2=16n+64>0, 则n>-4.（) 又xc+xD=4(n+8), 所以CD的中点为(2(n+8),-8), 代入直线1的方程 ，不满足()式 得n=-19 所以满足题意的点C,D不存在 19.【解析】(1)由题意可得2c=42, a+9b=1,a2=B+c2, 27 解得c=2√2，a=3,b=1, 指圆C的方程为号+？=1 (2):椭圆及直线x=6关于x轴对称， 不妨设Q(6,t)(t>0),M(x1y1), N(xy2),A1(-3,0),A2(3,0), 直线QA,的方程为y=)(x+3), 直线01，的方程为y=专(x-3)】 3154 t 联立 y=g(x+3), x2+9y2=9, 消去x得(2+1)P-=0, 标得打学4g0分东. [p=子(x-3), 同理由 x2+9y2=9, 224(=0舍去)， 得n?+1 则四边形A,MA2N的面积为 S=5a4+S=A41(11+l) =3=34g+4 =24 t(2+3) 2+102+9 =24×(E+3)2+48 t(t2+3) =24×+3+ +2+3 设M=f+3(u≥25)， t y=u+4在[2万，+0)上单调递增， .当u=25,t=5时， y取得最小信8。 因此S的最大值为35. 考案（四） 1.D 设直线B的倾斜角为，则ma-7言=-1，因为ae[0,m),所以a=1350. 2.B由题可得42=4p,解得p=4,故抛物线方程为y2=8x,其准线方程为x=-2. 3.A因为a1b,所以a·b=-8-2+2x=0,解得x=5,则2a+b=2×(2,-1,2)+(-4,2,5) =(0,0,9),所以12a+b1=9. 4.C由题得抛物线C的准线方程为x=-1,设该点坐标为(xo,%),则+1=3，解得x。=2, 所以后=4，=8，所以该点到原点的距离为√始+后=√4+8=25. P316 5.DA(1,0,1),B(0,1,0),P(1,1,1),AB=(-1,1,-1),A=(0,1,0),1A1=1, 正确：(7,2)曲线即为-y=7,为等轴双曲线，其离心率为2，故B错误；（分4）曲 “的在店上的投影为=万二子，则点P到直线B的距离为 线即为2+1-心)-弓，即片+千=1，因为（分小）曲线为熊点在y箱上的 22(1-u) 裤圆所以2>分得0<1-a<1,解得0<u<1,放C正确：南线n为2.-1)雨 6.C设变轨前椭圆的长半轴长和离心率分别为α，e,则半焦距为ea,设变轨后椭圆的长半 y 轴长为a',显然变轨后椭圆的离心率为2e,半焦距为2ea',依题意， 线，即2+2=2，即号+y=1设点B,(,),则n·6m十a亡。云 [a'-2ea'a-ea, a'+2ea'=3(a+ea) 整理得兰积3，即22+2-1-0，面0<e<1,解得e x-a 。一号-一分，同理可得n·=如a=一子由横圆的对称性 02 5,1,所以此次变轨任务前的椭圆轨道的离心率为5，」 2 可得km=knoa的=心kn·大o=-之6n·=-方，同理可得· 7.A在正四面体ABCD中，设向量DA=a,D2=b,D元=c,且向量两两之间夹角为60°，设 =一 ,k·k=2,k·k=-乞直线A,A,,MPo这10条直线的 2 正四面体的棱长等于1，则a·b=?,a·c=行，6c=分，：应=应，市=d。 斜率乘积为：(-子）°=一2，放D正确放选ACD 成=ni+}-2a+2b,a胶=亦-i=0d-i=}c-b,n= √+可，a1√分-b=县：成，成=（分a+) (2c-8)-ta.c-za.6+46.c-2-- os(正，丽)=. ID正1IB P/R -2 =一子，则异面直线DE和B5所成角的余弦值为子 11.BC圆C1:x2+y2+2mx-10y+m2=0,即(x+m)2+(y-5)2=25,圆心C1(-m,5),半 2×2 径r1=5;圆C2:x2+y2+4y-5=0,即x2+(y+2)2=9,圆心C2(0,-2),半径2=3，对 8.C因为直线ax+y+2-a=0,即a(x-1)+y+2=0,令x-1=0,则x=1,y=-2,所以 于A:若点(1,1)在圆C的内部，则(1+m)2+(1-5)2<25,解得-4<m<2,故A错 直线过定点(1，-2)，设P(1,-2),将圆C:x2+y2+4y-1=0化为标准式为x2+(y+ 误；对于B:若m=2,则圆C1:x2+y2+4x-10y+4=0,则1C,C21=√（-2)2+(5+2)2 2)2=5,所以圆心C(0,-2),半径r=5,1PC1=1,当PC⊥AB时，1AB1的值最小，此时 =√3，则r-2<1C,C21<r1+r2,故两圆相交，将两圆方程相减可得公共弦所在的直 IAB1=2√P-IPC下=2×5-I=4.故选C. 线方程是4x-14y+9=0,故B正确；对于C:若圆C1,C2外切，则1C,C2I=1+2,即 9.BCD对于A,方程二=2，y≠o,点P(o,)不在直线上，故A错误：对于B,因为直 Y-Yo √m+49=5+3,解得m=±√5，故C正确；对于D:当1的斜率不存在时，1的方程是 x=3,圆心C2到1的距离d=3=2,满足题意，当1的斜率存在时，设1的方程为y=k(x 线x-2y-4=0的斜率为2，所以a=(2,1)是直线x-2y-4=0的一个方向向量，故B 正确：对于C,设M(x,y)是所求圆上任意一点，则ALB,因为A=(x-4,y-1),B -3)+2,圆心G,到1的距离d=43=6=3,解得6=4，所以1的方程是7：-24y √+1 =(x-1,y+2),所以Ai.Bi=(x-4)(x-1)+(y-1)(y+2)=0,即所求圆的方程为 +27=0,故D错误 (x-4)(x-1)+(y-1)(y+2)=0,故C正确；对于D,直线方程化为m(x+2y-4)+x 12.y=±2x8E 3 x+2y-4=0, 「x=2. -y-1=0(meR),由 解得{所以直线恒过定点(2,1)，故D正确， x-y-1=0, y=1, 【解析】双曲线C的离心率为e=合=√1+（合）=厅，所以合=万，所以双尚线 10.ACD设P(x,y）,因为10P12=入+u,所以x2+y2=A+u·y2,即x2+(1-u)y2=入 C的渐近线方程为y=±√万x,由题意知a=2,所以c=25,b=2万，不妨设点P在双曲 x2+(1-u)y2=入只含x2,y2和常数项，所以（入，4）曲线一定都关于坐标轴对称，故A 线C的右支上，IPFI=m,IPF2I=n,则m-n=4,在△FPF2中，由余弦定理得(2c)2 P317 31 =IPF,P+PRP-21PE,P明1es120,即48=m+2-2m×(-号）=m2+ +mn,①；将m-n=4两边同时平方得m2+n2-2mn=16,②；由①②得3mn=32,所以 m-是所以AF所，的面我为7m×血0子×号×8 AB2=a2+b2=52, 13.头如图，将该石雕补全为正方体，设40=a,BD=6,cD=c,则4C=心2+e=40,解 BC2=b2+c2=20, 得a=6,b=4,c=2,即该石雕所在正方体的棱长为6m.以D为原点，以DA,DB,DC所 在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，所以D(0,0,0),A(6,0,0),B(0,4,0), C(0,0,2),P(6,6,6),则A2=(0,6,6),AB=(-6,4,0),A亡=(-6,0,2)，设平面ABC rm·AB=0,「-6x+4y=0, 的法向量为m=(x,y,z),则{ 即 令x=2,可得m=(2,3,6), m·AC=0,【-6x+2z=0, 所以点P到平面C的距商4：：6G兰，即谈石雅品商点P到 1ml√22+32+6 地面的距离为号m 163如图，连接A,CR,C,由号+亏=1，得a=3.6 1y √5，c=2,由内切圆面积为π，得其半径r=1,则S△AF2=S△Bc +Sae+Sao,=子x(IAB1+1BF,1+lA5)r=子x4a 1 7=3×12×1=6,又Sn=分1P,-为1=分×4，-为=2-%1=6，所以 1 1 1y1-21=3. 15.【解析】(1)因为1cl=22,所以√2+2+2=2√2，解得x=0, 因为ka+b=(-2k-1,1-k,2k+2),向量ka+b与c垂直， 所以(ka+b)·c=0,又c=(0,2,2), 所以2-2k+4k+4=2k+6=0, 解得k=-3, 所以实数x和k的值分别为0和-3. (2)证明：当x=时，c=(分2,2 8 设c=Aa+ub(入，∈R), 则(-322=A(-2,-1,2)+u(-1,12, -=-2λ-4， -2 「入= 2 则2=4-入， 解得 (2=2λ+2μ， =2 即c=-a+0, 所以向量c与向量a,b共面 16.【解析】(1)设圆C的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=2(r>0), r2a+b=0. (2-a)2+(-1-b)2=2, 由题意得 latb-ll=r, 2 a=1, 解得b=-2, r=2, 所以圆C的方程为(x-1)2+(y+2)2=2. (2)如图，设直线I与圆C交于B,D两点，过点C作CH⊥BD,垂足为H, y=k(x-2) 因为圆C被直线l:y=k(x-2)分割成弧长的比值为1：2的两段弧， 所以∠BCD=120°，则∠BDC=∠CBD=30° 圆心C到直线L的距离为1CHl=d=之=？，且C(1,-2 因为直线1的方程为kx-y-2k=0, 所以k+2-21=,解得k=1或k=7, 2+1 21 故所求直线1的方程为x-y-2=0或7x-y-14=0. 17.【解析】(1)点N(-2,-3)在准线1上，所以准线1的方程为x=-2, 则号=2，解得p=4,所以抛物线的方程为=8x (2)设A(x1,y1),B(x2,y2), 因为点A,B在抛物线y2=8x上， 7=8x1, 所以 3=8x2, 则(y1-2)(y1+2)=8(x1-x), 又MN⊥l,所以点M的纵坐标为-3， 因为M是AB的中点，所以y1+y2=-6, 所以-6(y1-y2)=8(x1-x2), 即kB=一了 4 又焦点F的坐标为(2,0)，则直线AB的方程为4x+3y-8=0, r4x+3y-8=0, 联立 y2=8x, 得y2+6y-16=0,解得y=2或y=-8, 所以1y1-y21=10, 所以S咖=Saw+Sr=7×21y-为l=10, 18.【解析】（1)证明：因为D,F分别为AC,BC的中点，所以DF∥AB. 在正三棱柱ABC-AB,C,中，AB∥AB, 所以DF∥AB1, 又DFt平面A1BE,AB,C平面AB,E, 所以DF∥平面ABE. (2)取AB的中点O,连接OC 以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(-1,0,2),B,(10,2月)，E0,5月)，F(30 AE=(1,5,-5),AB=(2,0,0) 设平面A1B,E的法向量为n=（x,y,z), rn·A1B=2x=0, 则 ln·AE=x+5y-5z=0, 取y=1,则n=(0,1,1), P3194 号如®中=(-分停，-25）是平面a的-个法向重， 35 所以lcos(n,B,产)1= n·BF 2 378 nlIB,F√26 52 故早面a与平面48上夹角的杂袋微为 19.【解析】(1)由题意得e= 7c=4e,0 1 a 又lAB1=7,a2+b2=7,② 由①②解得a2=4,b2=3, 指园药方程为苦+号-1 (2)当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y=kx+m, x2 22 4+ =1, 由 Ly=kx+m, 消去y得(3+42)x2+8kmx+4m2-12=0, 设P(x1,y1),Q(y2), -8km 4m2-12 则x+=34按，=3+4， 又A(-2,0),k·60=1 1 +2‘+2-, 则(x1+2)(x2+2)+4yy2=0,且x1,x2≠-2， 则x1x2+2(x1+2)+4+4(1+m)(kx2+m)=(1+4k2)x1x2+(2+4hm)(x1+x2)+ 4mr4+4e-12+2+4m5+4m+4=0, 3+4k2 化简可得m2-hm-2k2=0, 所以(m-2k)(m+k)=0,解得m=2k或m=-k 当m=2k时，直线PQ的方程为y=x+2k=k(x+2), 此时直线PQ过定点(-2,0)，显然不符合题意； 当m=-k时，直线PQ的方程为y=kx-k=k(x-1),此时直线PQ过定点(1,0)； 当直线PQ的斜率不存在时，若直线PQ过定点(1,0)， 点P,0的坐标分别为(1，)，（山，-） 满足6m·ko=-子 综上所述，直线PQ恒过定点(1,0). D320