2026-2027学年高二数学人教A版选择性必修第一册综合练习

**基本信息** 以直线、圆锥曲线、立体几何为核心，通过情境化问题整合知识，提炼对称法、向量法等解题策略，体现数学抽象与逻辑推理素养。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直线与方程|3题|对称点法解反射问题、平行直线距离公式|倾斜角与方向向量→直线位置关系→距离计算| |圆锥曲线|6题|离心率不等式推导、焦点弦性质应用|椭圆/双曲线定义→几何性质→直线与曲线位置关系| |立体几何|4题|空间坐标系建系、线面角向量求法|空间向量→线面垂直/平行→轨迹与距离计算| |综合应用|2题|数学建模解决物理/几何情境问题|跨模块知识融合→实际问题抽象为数学模型|

2026-2027学年高二数学人教A版选择性必修第一册综合练习 时间：120分钟　满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知直线l的一个方向向量为p＝（sin ，cos ），则直线l的倾斜角为（　 ） A. B. C. D. 2.在四面体OABC中，＋－＝（　 ） A. B. C. D. 3.两条平行直线ax－2y＋1＝0与2x－ay＋1＝0间的距离d为（　 ） A. B. C. D. 4.已知双曲线C：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2且倾斜角为60°的直线l与双曲线C的右支有两个交点，则双曲线C的离心率的取值范围是（　 ） A. B. C. D. 5.某节物理课上，物理老师讲解光线的入射、反射与折射，为了更好地解释光线的路径，物理老师将此问题坐标化如下：已知入射光线从A（－6，－4）射出，经过直线x－y＝0上的点B后第一次反射，若此反射光线经过直线x＝1上的点C时再次反射，反射后经过点D（0，12），则直线BC的斜率为（　 ） A. B. C.4 D.3 6.在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.长度为1的金属杆端点N在对角线BF上移动，另一个端点M在正方形ABCD内（含边界）移动，且始终保持MN⊥AB，则端点M的轨迹长度为（　 ） A. B. C.1 D. 7.太极图的形状如中心对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放置在平面直角坐标系中简略的“阴阳鱼太极图”，其外边界是一个半径为2的圆，其中黑色阴影区域在y轴右侧部分的边界为一个半圆，已知直线l：y＝a（x－2）.给出以下命题： ①当a＝0时，若直线l截黑色阴影区域所得两部分的面积分别记为S1，S2（S1≥S2），则S1∶S2＝3∶1； ②当a＝－时，直线l与黑色阴影区域有1个公共点； ③当a∈[0，1]时，直线l与黑色阴影区域的边界曲线有2个公共点. 其中所有正确命题的序号是（　 ） A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 8.已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（－c，0），F2（c，0），若椭圆C上存在一点M使得△MF1F2的内切圆半径为，则椭圆C的离心率的取值范围是　（　 ） A.（0，］ B.（0，］ C.［，1） D.［，1） 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列说法错误的是（　 ） A.“a＝－1”是“直线a2x－y＋1＝0与直线x－ay－2＝0互相垂直”的充要条件 B.若点P（m，n）是曲线＋＝1（y≥0）上的动点，则的取值范围是［－1，］ C.已知双曲线－＝1的左焦点为F，P是左支上一动点，则的最小值是 D.已知A（6，3），F1，F2是椭圆C：＋＝1的左、右焦点，P是椭圆C上的一动点，则－｜PF1｜的最小值是－1 10.如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，M，N分别为CC1，BC的中点，点P在直线A1B1上，且＝λ（0＜λ＜1），下列说法中正确的有（　 ） A.直线MN与AA1所成角的大小为 B.AM⊥PN C.PN与平面ABC所成最大角的正切值为2 D.点N到平面AMP距离的最大值为 11.已知O为坐标原点，过抛物线C：y2＝2px（p＞0）焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点M（p，0），若｜AF｜＝｜AM｜，则（　 ） A.直线AB的斜率为2 B.｜OB｜＝｜OF｜ C.｜AB｜＞4｜OF｜ D.∠OAM＋∠OBM＜180° 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.在空间直角坐标系Oxyz中，A（1，2，1），B（2，1，m），C（0，1，2），若点C到直线AB的距离不小于，写出一个满足条件的m的值： . 13.很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数为24，棱长为的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若E为线段BC的中点，则直线DE与直线AF所成角的余弦值为 . 14.圆形是古代人最早从太阳、阴历十五的月亮得到圆的概念的.一直到两千多年前我国的墨子（约公元前468－前376年）才给圆下了一个定义：圆，一中同长也.意思是说：圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等.现在以点为圆心，2为半径的圆上取任意一点P，若＋的取值与x，y无关，则实数a的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分）已知直线l经过点P（－1，0），圆C：x2＋y2－2x＝0. （1）若直线l与圆C相切，求直线l的方程； （2）若该直线l与圆C相交于A，B两点，且△ABC的面积为，求直线l的方程. 16.（15分）已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）与双曲线－＝1有相同的渐近线，且经过点M（，－）. （1）求双曲线C的标准方程； （2）已知直线x－y＋m＝0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2＋y2＝20上，求实数m的值. 17.（15分）某市进行科技展览，其中有一个展品的一个截面由一条抛物线C1和一个“开了孔”的椭圆C2构成（小孔在椭圆的左上方）.如图，椭圆与抛物线均关于x轴对称，且抛物线的顶点和椭圆的左顶点都在坐标原点，F1，F2为椭圆C2的焦点，同时F1也为抛物线C1的焦点，其中椭圆的短轴长为2，在F2处放置一个光源，其中一条光线经过椭圆两次反射后再次回到F2，经过的路程为8.由F2处的光源照射的某些光线经椭圆反射后穿过小孔，再由抛物线反射之后不会被椭圆挡住. （1）求抛物线C1的标准方程； （2）若由F2处的光源发出的一条光线经由椭圆C2上的点P反射后穿过小孔，再经抛物线上的点Q反射后刚好与椭圆相切，求此时的线段QF1的长； （3）在（2）的条件下，求线段PQ的长. 18.（17分）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥平面ABCD，点M，N分别为BC，PA的中点，且AB＝AC＝1，AD＝. （1）若PA＝1，求直线MN与平面PBC所成角的正弦值； （2）若直线AC与平面PBC所成角的正弦值的取值范围为（0，］，求平面PBC与平面ABCD的夹角的余弦值的取值范围. 19.（17分）已知定点F（，0），定直线l：x＝，动点M在曲线C：＋y2＝1上. （1）设曲线C的离心率为e，点M到直线l的距离为d，求证：＝e； （2）设过定点F的动直线与曲线C相交于P，Q两点，过点P与直线l垂直的直线与l相交于点R，直线QR是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由. 解析版 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知直线l的一个方向向量为p＝（sin ，cos ），则直线l的倾斜角为（　B　） A. B. C. D. 解析：由题意可得，直线l的斜率k＝＝＝tan ，即直线l的倾斜角为.故选B. 2.在四面体OABC中，＋－＝（　C　） A. B. C. D. 解析：＋－＝＋＋＝＋＝. 3.两条平行直线ax－2y＋1＝0与2x－ay＋1＝0间的距离d为（　C　） A. B. C. D. 解析：因为直线ax－2y＋1＝0与2x－ay＋1＝0平行，所以－a2＋4＝0且a·1－2×1≠0，解得a＝－2，所以直线方程为－2x－2y＋1＝0与－2x－2y－1＝0，故d＝＝，故选C. 4.已知双曲线C：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2且倾斜角为60°的直线l与双曲线C的右支有两个交点，则双曲线C的离心率的取值范围是（　B　） A. B. C. D. 解析：由题意知，双曲线的渐近线方程为y＝±x， 要使直线与双曲线的右支有两个交点， 需使双曲线的渐近线方程y＝x的斜率小于直线的斜率， 即＜tan 60°＝，即b＜a， 由b＝， 得＜a，整理得c2＜4a2， 所以e＝＜2， 因为双曲线中e＞1，所以双曲线的离心率的范围是.故选B. 5.某节物理课上，物理老师讲解光线的入射、反射与折射，为了更好地解释光线的路径，物理老师将此问题坐标化如下：已知入射光线从A（－6，－4）射出，经过直线x－y＝0上的点B后第一次反射，若此反射光线经过直线x＝1上的点C时再次反射，反射后经过点D（0，12），则直线BC的斜率为（　D　） A. B. C.4 D.3 解析：作出图形如图所示，分别作A（－6，－4）关于y＝x的对称点A'（－4，－6），以及D（0，12）关于直线x＝1的对称点D'（2，12），则kBC＝kA'D'＝＝3. 6.在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.长度为1的金属杆端点N在对角线BF上移动，另一个端点M在正方形ABCD内（含边界）移动，且始终保持MN⊥AB，则端点M的轨迹长度为（　A　） A. B. C.1 D. 解析：如图，以B为坐标原点，BA，BE，BC分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系， 则A（1，0，0），B（0，0，0），设N（a，a，0），M（x，0，z），a，x，z∈[0，1]， 可得＝（1，0，0），＝（x－a，－a，z）， 因为MN⊥AB，即＝1×（x－a）＝0，可得x＝a， 则＝，则＝＝1，整理可得x2＋z2＝1， 可知端点M的轨迹是以B为圆心，半径r＝1的圆的，所以端点M的轨迹长度为×2π×1＝.故选A. 7.太极图的形状如中心对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放置在平面直角坐标系中简略的“阴阳鱼太极图”，其外边界是一个半径为2的圆，其中黑色阴影区域在y轴右侧部分的边界为一个半圆，已知直线l：y＝a（x－2）.给出以下命题： ①当a＝0时，若直线l截黑色阴影区域所得两部分的面积分别记为S1，S2（S1≥S2），则S1∶S2＝3∶1； ②当a＝－时，直线l与黑色阴影区域有1个公共点； ③当a∈[0，1]时，直线l与黑色阴影区域的边界曲线有2个公共点. 其中所有正确命题的序号是（　A　） A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 解析：如图1所求，大圆的半径为2，小圆的半径为1， 图1 ∴大圆的面积为4π，小圆的面积为π. 对于①，当a＝0时，直线l的方程为y＝0， 此时直线l将黑色阴影区域的面积分为两部分， 其中S1＝×4π＋×π＝， S2＝×4π－×π＝， ∴S1∶S2＝3∶1，①正确； 对于②，由题意，知黑色阴影区域在第一象限的边界方程为x2＋（y－1）2＝1（x＞0）， 当a＝－时，直线l的方程为y＝－（x－2），即4x＋3y－8＝0， ∴小圆圆心（0，1）到直线l的距离d＝＝1， ∴直线l与该半圆弧相切，如图2所示， 图2 ∴直线l与黑色阴影区域只有一个公共点，②正确； 对于③，当a∈[0，1）时，如图3所示， 图3 易得直线l：y＝a（x－2）恒过定点（2，0）， 当a＝1时，直线l：y＝x－2与黑色阴影区域的边界曲线有1个公共点，③错误. 综上所述，①②正确. 故选A. 8.已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（－c，0），F2（c，0），若椭圆C上存在一点M使得△MF1F2的内切圆半径为，则椭圆C的离心率的取值范围是　（　A　） A.（0，］ B.（0，］ C.［，1） D.［，1） 解析：易知△MF1F2的面积为｜F1F2｜·. 因为△MF1F2的内切圆半径为，所以△MF1F2的面积可表示为（2a＋2c）·， 所以×2c·＝（2a＋2c）·，则｜yM｜＝. 因为｜yM｜≤b，所以≤b. 两边平方得（）2≤b2，而b2＝a2－c2，所以（）2≤a2－c2，整理得5c2＋2ac－3a2≤0，两边同时除以a2，得5e2＋2e－3≤0，解得－1≤e≤，又0＜e＜1，故0＜e≤. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列说法错误的是（　ABC　） A.“a＝－1”是“直线a2x－y＋1＝0与直线x－ay－2＝0互相垂直”的充要条件 B.若点P（m，n）是曲线＋＝1（y≥0）上的动点，则的取值范围是［－1，］ C.已知双曲线－＝1的左焦点为F，P是左支上一动点，则的最小值是 D.已知A（6，3），F1，F2是椭圆C：＋＝1的左、右焦点，P是椭圆C上的一动点，则－｜PF1｜的最小值是－1 解析：对于A，因为直线a2x－y＋1＝0与直线x－ay－2＝0互相垂直，则有a2＋a＝0，解得a＝0或a＝－1，故选项A错误；对于B，表示点（－1，－1）与椭圆＋＝1上半部分上一动点P（m，n）连线的斜率，结合椭圆的图象可知，斜率的取值范围为（－∞，－1]∪［，＋∞），故选项B错误；对于C，由题意可知，当点P位于左支顶点时，｜PF｜最小，｜PF｜min＝c－a＝3－2＝1，故选项C错误；对于D，由椭圆的定义可知，｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a＝6，所以｜PF1｜＝6－｜PF2｜，所以｜PA｜－｜PF1｜＝｜PA｜＋｜PF2｜－6，也即求｜PA｜＋｜PF2｜的最小值，又｜PA｜＋｜PF2｜≥｜AF2｜，｜AF2｜＝＝5，所以｜PA｜－｜PF1｜的最小值是5－6＝－1，故选项D正确. 10.如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，M，N分别为CC1，BC的中点，点P在直线A1B1上，且＝λ（0＜λ＜1），下列说法中正确的有（　BCD　） A.直线MN与AA1所成角的大小为 B.AM⊥PN C.PN与平面ABC所成最大角的正切值为2 D.点N到平面AMP距离的最大值为 解析：由题设，建立如图所示空间直角坐标系，则A（0，0，0），A1（0，0，1），M（0，1，），N（，，0），P（λ，0，1）， 所以＝（0，0，1），＝（－，，），＝（0，1，），＝（－λ，，－1）， 则｜cos＜，＞｜＝｜｜＝＝，显然直线MN与AA1所成角不为，A错误； 又＝（0，1，）·（－λ，，－1）＝0＋－＝0，故AM⊥PN，B正确； 由平面ABC的一个法向量为＝（0，0，1），则｜cos＜，＞｜＝｜｜＝，所以λ＝时，PN与平面ABC所成最大角的正弦值为，则正切值为2，C正确； 由＝（0，1，），＝（λ，0，1）， 若m＝（x，y，z）为平面AMP的一个法向量， 则令z＝2λ， 则m＝（－2，－λ，2λ）， 又＝（，，0），则点N到平面AMP距离为d＝｜｜＝＝ ， 令t＝∈（，），则d＝，故dmax＝，D正确. 故选BCD. 11.已知O为坐标原点，过抛物线C：y2＝2px（p＞0）焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点M（p，0），若｜AF｜＝｜AM｜，则（　ACD　） A.直线AB的斜率为2 B.｜OB｜＝｜OF｜ C.｜AB｜＞4｜OF｜ D.∠OAM＋∠OBM＜180° 解析：对于A，易得F（，0），由｜AF｜＝｜AM｜可得，点A在线段FM的垂直平分线上，则A点横坐标为＝，代入抛物线可得y2＝2p·＝p2， 则A（，），则直线AB的斜率为＝2，A正确；对于B，由直线AB的斜率为2可得，直线AB的方程为x＝y＋，联立抛物线方程得y2－y－p2＝0，设B（x1，y1），则p＋y1＝p，则y1＝－，代入抛物线得（－）2＝2p·x1，解得x1＝，则B（，－）， 则＝＝≠｜OF｜＝，B错误；对于C，由抛物线定义知，｜AB｜＝＋＋p＝＞2p＝4｜OF｜，C正确；对于D，＝（，）·（，－）＝＋·（－）＝－＜0，则∠AOB为钝角，又＝（－，）·（－，－）＝－·（－）＋·（－）＝－＜0，则∠AMB为钝角，又∠AOB＋∠AMB＋∠OAM＋∠OBM＝360°，则∠OAM＋∠OBM＜180°，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.在空间直角坐标系Oxyz中，A（1，2，1），B（2，1，m），C（0，1，2），若点C到直线AB的距离不小于，写出一个满足条件的m的值：　 1 . 答案：1（答案不唯一，只要1－≤m≤1＋即可） 解析：因为＝（1，－1，m－1），＝（－1，－1，1），所以点C到直线AB的距离d＝＝≥，解得1－≤m≤1＋. 13.很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数为24，棱长为的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若E为线段BC的中点，则直线DE与直线AF所成角的余弦值为　　. 解析：将该半正多面体补成正方体，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz. 因为该半正多面体的棱长为，所以正方体的棱长为2.则A（2，1，0），F（2，2，1），B（1，0，2），C（0，1，2），E（，，2），D（1，2，2）， ＝（0，1，1），＝（－，－，0）， 所以cos＜，＞＝＝－， 又因为两异面直线的夹角范围为（0，］， 故直线DE与直线AF所成角的余弦值为. 14.圆形是古代人最早从太阳、阴历十五的月亮得到圆的概念的.一直到两千多年前我国的墨子（约公元前468－前376年）才给圆下了一个定义：圆，一中同长也.意思是说：圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等.现在以点为圆心，2为半径的圆上取任意一点P，若＋的取值与x，y无关，则实数a的取值范围是　　. 解析：由已知可得P所在的圆的方程为＋＝4， 设z＝＋＝5， 故z可看作点P到直线m：3x＋4y＋a＝0与直线l：3x＋4y－6＝0距离之和的5倍， 因为＋的取值与x，y无关， 所以这个距离之和与P点在圆上的位置无关， 圆心到直线l的距离为＝＞2，所以圆与直线l相离， 如图所示，可知当直线m平移时， P点与直线m，l的距离之和均为直线m，l之间的距离， 此时可得圆在两直线之间， 当直线m与圆＋＝4相切时， ＝2，解得a＝－7（舍去）或a＝－27， 所以a≤－27. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分）已知直线l经过点P（－1，0），圆C：x2＋y2－2x＝0. （1）若直线l与圆C相切，求直线l的方程； （2）若该直线l与圆C相交于A，B两点，且△ABC的面积为，求直线l的方程. 解：（1）由题意可知，圆的圆心为C（1，0），半径为1， 当直线l的斜率不存在时，直线的方程为x＝－1，此时直线与圆相离，不符合题意； 当直线l的斜率存在时，设斜率为k，则直线l的方程为y＝k（x＋1）， 因为直线与圆相切，所以圆心C（1，0）到直线l的距离为＝1，解得k＝±， 所以直线l的方程为y＝±（x＋1）. 即x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0. （2）由题意可知，直线l的斜率一定存在，设斜率为k，设直线l的方程为y＝k（x＋1）， 记圆心C（1，0）到直线l的距离为d， 则｜AB｜＝2， 所以S△ABC＝｜AB｜·d＝·d＝，解得d＝. 所以d＝＝，解得k＝±， 所以直线l的方程为y＝±（x＋1）. 即x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0. 16.（15分）已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）与双曲线－＝1有相同的渐近线，且经过点M（，－）. （1）求双曲线C的标准方程； （2）已知直线x－y＋m＝0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2＋y2＝20上，求实数m的值. 解：（1）设双曲线C的方程为－＝λ（λ≠0）， 代入点M（，－），得－＝λ， 解得λ＝－， 所以双曲线的方程为y2－＝1. （2）由消去y并整理得x2＋4mx＋2m2－2＝0， 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则AB的中点坐标为（，）， 由根与系数的关系，可得x1＋x2＝－4m， 所以y1＋y2＝（x1＋x2）＋2m＝－2m， 所以AB的中点坐标为（－2m，－m）， 因为点（－2m，－m）在圆x2＋y2＝20上， 所以（－2m）2＋（－m）2＝20，解得m＝±2. 17.（15分）某市进行科技展览，其中有一个展品的一个截面由一条抛物线C1和一个“开了孔”的椭圆C2构成（小孔在椭圆的左上方）.如图，椭圆与抛物线均关于x轴对称，且抛物线的顶点和椭圆的左顶点都在坐标原点，F1，F2为椭圆C2的焦点，同时F1也为抛物线C1的焦点，其中椭圆的短轴长为2，在F2处放置一个光源，其中一条光线经过椭圆两次反射后再次回到F2，经过的路程为8.由F2处的光源照射的某些光线经椭圆反射后穿过小孔，再由抛物线反射之后不会被椭圆挡住. （1）求抛物线C1的标准方程； （2）若由F2处的光源发出的一条光线经由椭圆C2上的点P反射后穿过小孔，再经抛物线上的点Q反射后刚好与椭圆相切，求此时的线段QF1的长； （3）在（2）的条件下，求线段PQ的长. 解：（1）设椭圆C2的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c， 由题可知，2b＝2，4a＝8，则b＝，a＝2， 所以c＝1， 故抛物线C1的焦点F1（1，0）， 所以抛物线C1的标准方程为y2＝4x. （2）由题可设Q（n，），代入抛物线的方程可得n＝，即Q（，）， 所以＝＝. （3）由（2）可知直线QF1的斜率为＝＝－4， 即tan∠QF1F2＝－4， 由∠QF1F2＋∠PF1F2＝π，得tan∠PF1F2＝4.又∠PF1F2∈（0，π）， 所以cos∠PF1F2＝.设｜PF1｜＝m，则｜PF2｜＝4－m，易知｜F1F2｜＝2， 所以由余弦定理可得＝＋－2｜PF1｜·｜F1F2｜cos∠PF1F2， 所以＝m2＋4－2m×2×，解得m＝， 故线段PQ的长为＋＝. 18.（17分）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥平面ABCD，点M，N分别为BC，PA的中点，且AB＝AC＝1，AD＝. （1）若PA＝1，求直线MN与平面PBC所成角的正弦值； （2）若直线AC与平面PBC所成角的正弦值的取值范围为（0，］，求平面PBC与平面ABCD的夹角的余弦值的取值范围. 解：（1）因为AB＝AC＝1，BC＝AD＝，则AB2＋AC2＝BC2，即AB⊥AC， 又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AC， 故建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则P（0，0，1），B（1，0，0），C（0，1，0），M（，，0），N（0，0，）， 故＝（1，0，－1），＝（－1，1，0）， ＝（－，－，）， 设平面PBC的一个法向量为n＝（x1，y1，z1）， 则即 令x1＝1，则y1＝1，z1＝1，故n＝（1，1，1）， 设直线MN与平面PBC所成的角为θ，则sin θ＝｜cos＜，n＞｜＝｜｜＝， 所以直线MN与平面PBC所成角的正弦值为. （2）设PA＝h（h＞0），则P（0，0，h），B（1，0，0），C（0，1，0），故＝（1，0，－h），＝（－1，1，0）， 设平面PBC的一个法向量m＝（x2，y2，z2）， 则即 令x2＝h，则y2＝h，z2＝1，故m＝（h，h，1）， 易得平面ABCD的一个法向量为n0＝（0，0，1），又＝（0，1，0）， 设直线AC与平面PBC所成的角为α，则sin α＝｜cos＜，m＞｜＝∈（0，］， 即0＜≤，解得0＜h≤1， 设平面PBC与平面ABCD的夹角为β， 则cos β＝｜cos＜n0，m＞｜＝， 因为0＜h≤1，所以1＜2h2＋1≤3，则 1＜≤， 故≤＜1， 即≤cos β＜1. 所以平面PBC与平面ABCD的夹角的余弦值的取值范围为［，1）. 19.（17分）已知定点F（，0），定直线l：x＝，动点M在曲线C：＋y2＝1上. （1）设曲线C的离心率为e，点M到直线l的距离为d，求证：＝e； （2）设过定点F的动直线与曲线C相交于P，Q两点，过点P与直线l垂直的直线与l相交于点R，直线QR是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由. 解：（1）证明：由题意，曲线C的离心率e＝， d＝， 显然，＋＝1，即＝，又因为＝， 所以＝＝＝＝， 所以＝，即＝e. （2）是，定点坐标为（，0）. 设点P，Q的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）， 由题意，当直线PQ的斜率不为0时，设直线PQ的方程为x＝ty＋， 联立方程组消去x并整理得y2＋2ty－1＝0， 由根与系数的关系知y1＋y2＝－， y1y2＝－， 由已知，得点R的坐标为， 则直线QR的方程为 y＝＋y1， 根据椭圆的对称性可知，如果直线QR过定点，则此定点一定在x轴上， 令y＝0，可得x－＝， 而x2＝ty2＋，y1＋y2＝－， 所以x－＝＝＝＝－＝－， 此时，x＝为定值， 当直线PQ的斜率为0时，直线QR与直线PQ重合，必然过点， 综上，直线QR过定点，定点的坐标为. 页 学科网（北京）股份有限公司 $