模块综合检测卷-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册同步辅导与测试(人教A版)

模块综合检测卷 (时间：120分钟 满分：150分)》 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，7.直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°， 共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一 M,N分别是A1B1,A1C1的中点，BC=CA 项是符合题目要求的) =CC,,则BM与AN所成角的余弦值为 薯 1.在空间四边形OABC中，OA+AB-CB等于 R c D. √2 A.OA B.AB c.oc D.AC A.10 2.直线a.x-y十2a=0与圆x2+y2=9的位置8.如图，F1,F2分别是双曲 关系是 ( ) 线的左、右焦点，过F1的 A.相离 B.相切 色 直线与双曲线的左、右两 C.相交 D.不确定 支分别交于A,B两点，若 品者双商线号 b2 =1(a>0,b>0)的离心率 △ABF2为等边三角形， 则该双曲线的离心率为 为2，则十1的最小值为 ( 3a A.√3 B.√5 C.7 D.3 A.23 B③ 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， C.2 3 D.1 共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合 4.若圆x2+y2十a.x-by=0的圆心在第二象题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得 限，则直线x十ay一b=0一定不经过( )2分，有选错的得0分) A.第一象限 B.第二象限 9.下列四个结论中正确的是 () C.第三象限 D.第四象限 A.任意向量a,b,若a·b=0,则a=0或b= 5.如图，空间四边形OABC 中，OA=a,OB=b,OC=c, 0或a,b}=罗 且OM=2MA,BN=NC, 则MN= B.若空间中点O.A,B,C满足0元-专Oi十 ( A-2 a+2b+2c 号O成，则A,B.C三点共线 新 1 1 1 C.空间中任意向量a,b,c都满足(a·b)·c B.2a+2b- =a·(b·c) C.-2 1 2a十2b十2©9 D.已知向量a=(1,1,x),b=（-2,x,4),若 D.za--ge i. <号，则a,b为纯角 6.已知F1,F2分别是双曲线3x2-y2=3a2(a>0) 10.如图，在四棱锥P-ABCD 的左、右焦点，P是抛物线y2=&ax与双曲线的一 中，底面为直角梯形， 个交点，若|PF1|+PF2=12,则抛物线的方： AD∥BC,∠BAD=90°， 程为 PA⊥底面ABCD,且 A.y2=9.x B.y2=8x PA=AD=AB=2BC, C.y2=3x D.y2=√3.x M,N分别为PC,PB的中点.则 179 A.CD⊥AN :15.正四棱锥S-ABCD中，O为顶点S在底面上 B.BD⊥PC 的射影，P为侧棱SD的中点，且SO=OD,则 C.PB⊥平面ANMD 直线BC与平面PAC所成的角是 D.BD与平面ANMD所成的角为30 ；16.《九章算术》中，将四个面都 为直角三角形的四面体称为 .已知P是椭圆E:8十=1上一点F 鳖臑.在如图所示的鳖臑P F2为其左、右焦点，且△F1PF2的面积为： ABC中，PA⊥平面ABC, 3,则下列说法正确的是 ) ∠ACB=90°，AC=4,PA=2,D为AB的中 A.P点纵坐标为3 点，E为△PAC内的动点（含边界），且PC⊥山 B.∠F1PF2>909 DE.当E在AC上时，AE= C.△F1PF2的周长为4（√2+1） 点E的轨迹的长度为 D.△F,PF,的内切圆半径为号E-D 四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应 写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 12.某建筑公司在挖掘地 y 17.(10分)已知方程(2+入)x-(1+入)y-2(3 B 基时，出土了一件文 +2λ)=0与点P(-2,2) 物，该文物外面是红色 (1)证明：对任意的实数入，该方程都表示直 透明蓝田玉，里面是一 线，且这些直线都经过同一定点，并求出这 个球形绿色水晶宝珠， 一定点的坐标； 其轴截面边界（如图） 由半椭圆C多大心 b2 =1(x≥0)与半椭圆： +为=1(<0)组成，其中a2=62+ c2,a>b>c>0.设点F0,F1,F2是相应椭： 圆的焦点，A1,A2和B1,B2是轴截面边界 (2)证明：该方程表示的直线与点P的距离 与x轴，y轴的交点，阴影部分是宝珠轴截 d小于42. 面，已知宝珠的休积是受，F1,F2在宝珠 珠面上，△FoF1F2为等边三角形，以下四 个命题中正确的是 ( 八G的离心率是 B.C2的离心率大于C1的离心率 C.C2的焦点在y轴上 :18.(12分)已知抛物线y2=2x,直线1过点(0， D.C2的长、短轴的比值大于C1的长、短轴 2)与抛物线交于M,N两点，以线段MN的 的比值 长为直径的圆过坐标原点O,求直线1的 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共： 方程. 20分.把答案填在题中的横线上) 13.若直线x+2ay-1=0与直线(3a-1)x- ay-1=0平行，则a= 14.已知平面a内两向量a=(1,1,1),b=(0, 2,-1),且c=ma+b十(4，-4,1).若c为 平面α的法向量，则m十n的值为 180 19.(12分)已知圆心为V(3,4)的圆被直线20.(12分)如图，在直三棱柱 x=1截得的弦长为2√5. ABCA1B1C中，∠ACB A ! (1)求圆N的方程； =90°，AC=BC=2, AA1=4,D是棱AA1 D 的中点。 (1)求证：DC1⊥平面 BCD; (2)点B(3,-2)与点C关于直线x=-1 对称，求以C为圆心且与圆N外切的圆的： (2)求平面ABD与平面CBD所成角的 方程. 大小. 181 21.(12分)已知椭 $$\frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 \left( a > b > 0 \right)$$ 的一 22.(12分)如图，在四棱锥 S S-ABCD 中，底面 AB- CD为长方形， SB⊥ 底 个顶点为A(0，1)，离心率为 $$\frac { \sqrt 2 } { 2 } ，$$ ，过点B(， 面 ABCD， ，其中 BS=2， B A 一2)及左焦点 $$F _ { 1 }$$ 的直线交椭圆于C，D两 BA=2，BC=λ，λ 的可 E D 点，右焦点设为 $$F _ { 2 } .$$ (1)求椭圆的方程； 能取值为： $$\textcircled 1 \lambda = \frac { 1 } { 4 } ； \textcircled 2$$ $$= \frac { 1 } { 2 } ； \textcircled 3 \lambda = \frac { \sqrt 3 } { 2 } ； \textcircled 4 \lambda = \frac { 3 } { 2 } ； \textcircled 5 \lambda = 3 .$$ (1)求直线AS与平面 ABCD 所成角的 大小； (2)若线段CD上能找到点E，满足 AE⊥ SE，则λ可能的取值有几种情况?请说明 理由； (2)求 $$\triangle C D F _ { 2 }$$ 的面积 (3)在(2)的条件下，当λ为所有可能情况的 最大值时，线段CD上满足 AE⊥SE 的点 有两个，分别记为 $$E _ { 1 } ， E _ { 2 } ，$$ 求平面 $$E _ { 1 } S B$$ 与 平面 $$E _ { 2 } S B$$ 的夹角的大小. 182 —(2)设直线L的方程为y=x十m. !7.C[建立如图所示的 ty=xm, 空间直角坐标系Cxyz, 由x2 设BC=2,则B(0,2, 0),A(2,0,0),M(1,1, 消y得4.x2+6n.x+3m2-12=0.① 2),N(1,0,2), 由△=(6m)2-4×4×(3m2-12)>0得 所以BM=(1,一1,2)， -4m<4, 设A,B的坐标分别为(x1,y),(x,2) AV=(-1,0,2), (x1<x2),AB中点为E(xo,yo), 故BM与AN所成角0的余弦值cos0= BM·AN 3 2 一√30，故选C.] BMIAN 6X5 10 !8.C[根据双曲线的定义，可得BF 因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE! BF=2a, ⊥AB. △ABF,是等边三角形，即BF, 2-m =AB, 4 ∴.BF-BFg=2a, 所以PE的斜率k= =-1 3+ 即BF,-AB=AF=2a, 又，AF2-AF=2a, 解得m=2,符合要求 ∴.AF2=AF+2a=4a. 此时方程①为4.x2十12x=0. △AFF2中，AF=2a,AF=4a, 解得x1=一3，x2=0.所以y1=一1,=1 ∠F1AF2=120°， 2. 所以A(一3，一1)，B(0,2).所以AB= FF2=AF+AF2-2AF 3√2. ·AF2cos120°，即4c2=4a2+16a2-2 此时，点P(一3,2)到直线AB:x-y十2！ =28a2,得c=√7a, =0的距离d=-3-2+2_32 √2 2 由此可得双曲钱C的离心率e=台=冗. 所以△PAB的面款S=合AB·d a 故远C. 9 !9.AB[对于A,显然正确：对于B,由OC= 2· 2 模块综合检测卷 Oi+号0店，因为号十号=1，所以A, 1,C[根据向量加法、减法法则，OA+AB-! B,C三点共线，故B正确：对于C,向量的！ C第=OB-CB=OB+BC-=OC,故选C.] 数量积运算不满足结合律，故C不正确：！ 2.C「直线a.x一y十2a=0可化为a(x十2) 对于D,cos(a,b〉= a·b ab 一y=0,故直线恒过定点（一2,0），由，点 -2十x十4x (一2,0)在圆x2十y2=9内可知，直线与 ,当(a,b〉为钝角1 圆相交.门 √2+x2·/4+x2+16 3.A[由e=2得后=2，从而b=5a>0, 或180时，0sa,0<0,解得<号.故若 1 所以+-3a+a2a》 <号，则a,为纯角或180，故D不正 3a 3a 确.故远A、B. 1 =2√33 仁2，当且仅当a,即a=0,CD以A为坐标原点，AB,AD,AP所 在直线分别为xy,之轴建立空间直角坐： 时=”成立.故选A] 标系（图略），设BC=1,则A(0,0,0),1 3 B(2,0,0),C(2,1,0),D(0,2,0),P(0,0, 4.C[因为圆x2十y2十a.x一by=0的圆心 2),V(1,0,1), 13 a b 坐标为（一分，乞），由圈心在第二象限， 从而CD=(-2,1,0),AV=(1,0,1),BD: 得a>0,b>0,所以直线x十ay-b=0的 =(-2,2,0),PC=(2,1,-2),PB=(2, 斜率-1<0，y轴上的截距为么>0，所 0,-2),AD=(0,2,0). a ,CD·AN=-2×1≠0，.A错误； 以直线不过第三象限.故远C] Bd.PC--2X2+2×1=-2≠0， 5.A[因为MN=ON-OM,又因为OM= ,.B错误：设平面ANMD的法向量为 ·14 十e,所以=-号a十b叶合c故 n=(xy,,则由m…=0, {n·AV=0, 选A.] 得2y=0.。令x=1, (x十z=0, 6.B[双曲线方程可化为兰一义 a3a-1, 得n=(1,0,-1). ..PB=2n. y 联立。一3a=1·得工=3a,即点P的 ,.PB⊥平面ANMD,,.C正确： 1 y2=8a.x, Bi·n .cos(BD,n》= -1 横坐标为3a. Bd1·n 2 而由{PE十PE=2得1PR= .BD与平面AVMD所成的角为30°， PF-PF,=2a, .D正确.门 6一a,又易知Fg为抛物线的焦点， 111.CD[由椭圆方程，可知a=2√2，b=2,c1 ∴.PF2=3a十2a=6-a,得a=1,.抛 物线的方程为y2=8x.故远B.] =2.由S△F,m,=3可得3=2·FF: 246 3 ·p,故p=立故A错误，把y =是代入椭圆方程，可求得=子，所 以PF·PF2=(-2-xP,-yp)·(2 0,故∠FPF<90°.故B错误：△FPF 的周长为PF十PF,|十FF。|=2a +2c=42+4.故C正确：SAR,PF2= 2·(PF+PF:+|FF)·R= 3.R=号（厄-1），故D正确.] AC[设宝珠的半径为R,由宝珠的体积 是警，得号成=，解得R=2,得 3 FF2=4,由a>b>c>0,得半椭圆 G号+ =1(x≥0)的焦点在x轴上， 即F为右焦点，则半椭圆C:三 1(x<0)的焦点在y轴上，且d-b,则 有-c2=4,由△F,F,F2为等边三角 形，得0，=×4=2，由题意，得c =2√3，即a-=12,b-12=4,所以b =4,a=2√7，c=2W5,d=4, 半椭圆C的方程为28+16 x212 =1(x≥0)， 丰桃围C的方程为后+苦-1<0。 y 所以C的离心率e,=-E=② 7 故A正确： C的离心率e=C d 2 ,故B错误：C的焦点在y轴上，故 7 C正确：G的长，短轴的比值为驶=后， G的长，短轴的比值为器=受后 名故D特爱] 0或日 [当a≠0时，由4-君 1 ，得3a-1=-2,解得a=6 当a=0时，两直线方程分别为x一1和 x=一1，此时两直线平行 综上，当a=0或a=合时，两直线平行.] 1[c=a+b十（4，-4,1)=(m,m,m) +(0,21,-n)+(4,-4,1)=(m十4， +2n-4,n-n+1), 由e为平面a的法向量，得C:a=0, {c·b=0, 单0解好21 n=2. ∴.m十n=1.] 30°[如图，以O为原点建立空间直角坐 标系Oxyz, A 设OD=OS=OA=OB=0C=a,则A(a, 设M(x1,y1),V(xg,y2), 0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0), 2 4 P(0,-号号）从而=(2a,0.0 则y十=方必= =2, A亦-(-a,-号，号）成=(a,a0. 1 1x2= 1 4 I= 5， 设平面PAC的法向量为n=(x,y,2), 由：C页-0可求得n=01,1.则 k2 {n·Ap=o, 由题意知OMLON,.kM·koN=一1， cos(m,Ci)=n·C言 1 ·x1x2十y12=0, n·cB 2 .(n,CB》=60, 解得k=一1. ,直线BC与平面PAC所成的角为90： ∴所求直线方程为y=一x十2， -60°=30°.] 即x十y-2=0, 16.2 2⑤ 119.解(1)圆心N(3,4)到直线x=1的距 「建立空 5 离等于3-1=2 间直角坐标系，如 :圆N被直线x=1截得的弦长为2√5，！ 图所示 ∴.圆N的半径r=√/（√5）2+22=3. 设CB=2m,则P 圆N的方程为(x-3)2+(y-4)2=9. (0,0,2), (2)点B(3,-2)与点C关于直线x=! C(0,4,0),D(m,2,0) 一1对称，，点C的坐标为（一5，一2）. 当E在AC上时，设E(0,t,0)(01≤4) 设所求圆的方程为(x十5)2+(y十2)2= 则DE=(-m,t-2,0), r2(r>0),圆C与圆N外切， 又PC=(0,4,-2),所以由PC⊥DE,得 ..r+3=√/(3+5)2+(4+2)2=10， P元.D市=0，即4(-2)=0，解得t=2,图 得r=7. 此AE-2,此时E为AC的中点，可得！ .圆C的方程为(x十5)2十(y十2) E(0,2,0).当E为AC的中点时，作EE =49. PC于点E,连接DE,DE,由PC⊥DE,20.(1)证明 如图所 PCL⊥EE,DE∩EE=E,得PC⊥平面I 示建立空间直角坐 DEE,所以点E在△PAC内的轨迹为线 标系 段EE.设P2-λPC=(0,4X,-2A),则E 由题意知C(0,0, (0,41,2-2λ)，所以E2=(0,41-2,2- 0),A(2,0,0), B(0,2,0),D(2,0 2),由EE⊥P元，得4(4以-2)-2(2-2A) 2）,A1(2,0, =0,解得入=是所以E(0号，号)所 4),C1(0,0,4). ∴.DC1=(-2,0, 以|EE （号-）+() 2),DC-(-2,0, -2),DB=(-2,2,-2). :DC1·DC=0,DC·Di=0. 17.(1)解显然2+入与一(1+λ)不可能同1 ∴.DC⊥DC,DC⊥DB 时为零，故对任意的实数入，该方程都表 又'DC∩DB=D,DC,DBC平面BDC,i 示直线 .DC⊥平面BDC ,原方程可变形为2x-y-6十A(x一y (2)解设n=(x,y,z)是平面ABD的法 4)=0, 向量， 由2xy60解得=2， 则n·AB=0,n·Ad=0, {x-y-4=0, 1y=-2, 又AB=(-2,2,0),AD=(0,0,2), 故直线经过一定点M(2,一2). (2)证明过P作直线的垂线段PQ,由 {22-0…取=1得a=1, 垂线段小于斜线段知PQ≤PM,当 0). 且仅当Q与M重合时，PQ=|PM, 由(1)知，DC=(-2,0,2)是平面DBC 此时对应的直线方程是y十2=x一2， 的一个法向量，记平面ABD与平面CBD: 即x-y-4=0. 所成角为0， 但直线系方程唯独不能表示直线x一y -2 4=0, 则cos0= x2270=子 .M与Q不可能重合，而PM=4√2， ,∴.所求平面ABD与平面CBD所成角的 .PQ<4√2，故所证成立. 18.解由题意知直线1的斜率存在且不为！ 大小是受 0,设为k,则直线1的方程为y=kx十2 b=1, (k≠0)， 121.解 (1)由题意，得 由方程组了y=kx十2， 2 {y2=2x a2=+c2, 消去x得ky2-2y+4=0, a=√2， 由4=4-16>0得k<子≠0. b=1,故椭圆方程为 2 十y=1 c=1, 247 (2)F1(-1,0),B(0,-2), ∴，直线BF的方程为y=-2x-2, 1v=-2x-2, 由 2+y=1 消y得9.x2十16.x+6=0. 设C(x1,y1),D(x2,y2), 则 9, 2 西·=3， ∴|CD=√1+(-2)|x1-x2|=5 ·√(1十x2)-4.x1x2 16 9 又，点F,(1,0)到直线BF的距离d= 45 5 故Sa,-CD·d=4g 9 2.解(1)因为SB ⊥底面ABCD,所 以∠SAB即为直 线AS与平面 ABCD所成的角 在Rt△SBA中，C业 tan∠SAB-1, D ∴.∠SAB=45°，即直线AS与平面AB CD所成角的大小为45°， (2)以B为坐标原点，BC,BA,BS的方向 分别为x轴、y轴、x轴正方向建立如图 所示的空间直角坐标系，则各点坐标分 别为：B(0,0,0),A(0,2,0),D(A,2, 0),S(0,0,2). 设E(λ，x,0)(0≤x2). 所以SE=(a,x,一2)， EA=(-入，2-x,0). 由SE⊥EA,得-+x(2-x)=0, 即λ2=x(2-x). 因为x∈[0,2]， 所以A2=x(2-x)∈「0,1]. 所以在所给的数据中，λ可以取①②③. (③)由题意及(2)知入=号，此时x=司 或x=受，即满足条件的点E有两个，不 3 因为SB⊥平面ABCD,BE1,BEC平面 ABCD, 所以SB⊥BE1,SB⊥BE2, 所以∠EBE,是平面E,SB与平面 E,SB的夹角. BE.BE 由cos(BE,BE)= BE·BE。 二1十5，因二面角ESBE为 1×√5 锐角，则 知平面ESB与平面E,SB的夹角的大 小为30°，