考案(3)第三章圆锥曲线的方程-【成才之路·考案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（人教A版）

令x=0得，y=1-46;令y=0得，x=4- 1-=2(4-）,解得6=4或k=-2 3-2-1o123 直线1的方程为y-1=子(x-4)或-1=-2x-4), 13.（x-5)2+(y-2)2=17根据题意，圆经过点A(1,3),B(4,6),则圆心在线段AB的垂 即y=子或2x+y-9=0 直平分线上，又由点A(1,3),B(4,6),则线段AB的垂直平分线方程为x+y-7=0,则 (2)圆C的方程可化为(x-2)2+(y-3)2=13-m, 「x-2y-1=0, 「x=5 圆心C(2,3),半径r=/13-m,其中m<13, 有 。解可得{即圆心为(5,2)，圆的半径2=(5-1)2+(2-3)2= x+y-7=0 y=2, 因为圆C与直线1相切，故圆心C(2,3)到直线l的距离等于半径， 17,故圆的方程为(x-5)2+(y-2)2=17. 即2+3-=3=m,解得m=5. 12+12 14y=±25(-号）或=1巾任何-个答案均可圆产+，产-1的圆心为C,(0.0,7.解标】(1)将因C:-6-2y+0+5=0化为标准方限， 半径为11=1，圆02：(x-3)2+y2=1的圆心为C2(3,0),半径为2=1，则1CC21=3> 得(x-3)2+(y-1)2=5-a,故圆心C(3,1),半径为5-a. 1+2,所以两圆外离，由两圆的圆心都在x轴上，则公切线的斜率一定存在，设公切线 因为直线1：3x-4y+5=0与圆C相切， =1, /k2+1 k26 5， ∫k=-2⑤ 所以3x3-4x1+51=V5-a, 32+4 5 方程为y=kx+b,即x-y+b=0,则有 解得 或 & 13k+b1=1, 解得a=1. 2+1 5 636 5 (2)设圆心C到直线m的距离为d. rk=0,「k=0, 则1AB1=2√4-， 或 b=1,b=-1, 所以公切线方程为=±2(：-多）或=士1.（答案不唯- 所以Saac=子1B1×d=dV4-d=2,解得d=万 15【解析】联立-2y+3=0, rx=1, 解得 x+y-3=0,y=2, 故d=136-=1+2L=万， k2+1 交点为P(1,2), 分两种情况：所求直线与直线AB平行或所求直线过线段AB的中点，结合点斜式可得 解得=-1发6=宁 所以直线m的方程为x+y-2=0或x-7y+14=0. 出所求直线的方程. 直线B的斜率为6如多法程-4。 x+y+3=0 18.【解析】(1)由 2x-y-2=0 线段AB的中点坐标为(3，-1) 得x=- 8 3y- 3 ①若所求直线与直线AB平行时，则所求直线的方程为y-2=-4(x-1), 即4x+y-6=0: 所以直我与6的交点坐标为（宁，号）】 ②若所求直线过B的中点时，则所求直线的斜率为号一， (2②)由矿-花可知，点P是线段AB的中点， 故所求直线方程为y-2=-子(x-1),即3x+2-7=0, 在直线2上任取一点M(xo,-3-x), 所以点M关于P(3,0)的对称点N(6-x,3+x), 综上所述，所求直线方程为4x+y-6=0或3x+2y-7=0. 点N在直线1上，把点N(6-,3+x)代入1方程2x-y-2=0, 16.【解析】(1)由题意知，直线1的斜率存在且不为0， 7 所以设直线l的斜率为k,则其方程为y-1=k(x-4). 2(6-0)-(3+)-2=0,解得0=3 311 所以（子，-）· 0 3 =8. 即直线l方程为y=8.x-24, 即8x-y-24=0. 19.【解析】 因为x+1)产+ =入， √(x-1)2+y 所以√(x+1)2+y2=入√(x-1)2+y2, 故(x+1)2+y2=2[(x-1)2+y2], 则x2+2x+1+y2=2x2-22x+X2+A2y2, 故(A2-1)x2-2(2+1)x+(X2-1)y2+(X2-1)=0, 因为入≠1，则A2-1≠0， 所以2-2(）+y+1=0, 故-2(）*(）-(+1=0， 脚-(+=()-1， 因为(》-1 =(+)(出-） 2A2 4λ2 -1‘-1(x2-1） >0 所以()°-1>0， 所以x+1)+ (x-1)2+y =入化简成国的标准方程的形式为[x-(代)川+子 () 考案（三） 1.A由题意知，a=2,a+c=3,即a=2,c=1,所以b=√a2-c2=5,因为椭圆的焦点在x 轴上，所以椭圆的标准方程是号+兮=1 2.C抛物线的焦点到准线的距离为p=3. 3.D已知条件可等价于“动点到点(3,0)的距离等于它到直线x=-3的距离”，由抛物线 的定义可知，动点的轨迹为抛物线. D312 4.C如右图：由题可知，点P必落在第四象限，∠F,PF,=90°，设 △PfF的面积为分F,11=之×2，E×号=1，所以B正确：对于C,F(-万.0)到 IPF2I=m,∠PF,F,=0,∠PFF2=0,由kr=tan0=2,求得 血=后因为∠￡PR,=0,所以m=-山，求得6 一条渐近线x-y=0的距离为d=-2=1,所以C错误：对于D,由于F,(-巨，0)， √1+I 分，即a8=分油=有由正弦定理可得PF,1:1P,1: F,(2,0),所以以F,F为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为2，所以圆的方程为x2+y2 =2,所以D错误 1F,f2I=sin01:sim02:sin90°=2：1：√5，则由lPF2l=m得1Pf,1=2m,IF,F21=2c 10.AB由椭圆方程可得c=)-了=2，所以号=2，即p=4,故A正确；由椭圆定义可得 =5m,由Sm5=PF·P1=之m·2m=8得m=2万，则PE1=2万，PF 22 1PF,I+IPF2I=2a=6,故B正确；联立方程 9+5=1, =42,1FF2I=2c=2√0，c=√10，由双曲线第-定义可得IPFI-1PE21=2a=22,a= 解得x=子（负值合去），即 y2=8x, 万，6=VP-云=尽，所以双曲线的方程为号-。 728=1.放选C 点P的横坐标为，子，由抛物线定义可得1P所，1=，+号-号≠3，放C错误；将 .G直线y=:+1过定点(0，)，只需该点落在椭圆内或椭圆上，…气+上≤1，解得m≥工 m 与=号代人地物线方程可得2面，所以5ah分×2x11+25, 又m≠5，.m的取值范围是[1,5)U(5,+o). 故D错误 8+2 =1, 11.AB动点P的轨迹不可能为完整的双曲线，当Ik|小于A,B两个定点间的距离时，P的 6.C设弦的两端点为A(x,y1),B(x2,为2)，代人椭圆得 两式相减得 8+2 =1 轨迹是双曲线的一支，当1k等于A,B两个定点间的距离时，动点P的轨迹是一条射线， 当k1大于A,B两个定点间的距离时，动点P不存在，无法形成轨迹，故A错误；方程 Lx+x)(x-）（1+2)(y1-22=0,即，x1+= 8 2 4-2,又x+3=2,1+ X1-X2 2x-5x+2=0的两个实数根分别为2和2,2不可以作为椭圆的离心率，故B错误；双 为=1，所以子=2即=分所以以点(1，分) 为中点的弦所在的直线 x1-x2x1-X2 面线芳-号=1与椭圆芳+y=1有相同的焦点，且焦点在x箱上，焦点坐标为 的斜率为-2 （±√34,0)，故C正确：不妨设抛物线为y2=2印x(p>0),即抛物线开口向右，以x轴为 2 对称轴，设过焦点的弦为PQ,且其中点是M,点M到准线的距离是d,焦点为F,如图所 7,A因为PF1轴，所以P(-c,若)又0P/AB所以合-名，即6=6于是=C,即 示，点P到准线的距离d,=IPAI,点Q到准线的距离d2=IQB1,由点M到准线的距离 d=2.所以e=合=号 d是梯形QBAP的中位线，得d=P1+1B1,又PA1+1OBL-PFI+I0FI=PO- 2 8.C,IABI:IBF,I:lAF,I=3:4:5,不妨令IAB1=3,IBF2I=4,IAF,I=5,IAB+ 半径，则圆心M到准线的距离等于半径，则圆与准线是相切的，故D正确。 IBF,IP=IAF2I2,∠ABF2=90°，又由双曲线的定义得IBF,I-IBF2I=2a,IAF2I d IAF I=2a,..IAF 1+3-4=5-IAF I,.'.IAF I=3,:.2a IAF I -IAF I=2,..a =1, 1BF,I=6.在Rt△BFF2中，1F,F212=IBF,I2+1BF2I2=36+16=52,又1F,F212=4c2, d M .4c2=52,c=3,e=13. B d 9.AB对于A,由x2-y2=0,得y=±x,所以双曲线C的渐近线方程为y=±x,所以A正 y2=2px 确；对于B,由双曲线C:2-y2=1,可得a=1,b=1,c=2,则F(-2,0),E2(2,0),设 P(x,y),则PF=(-2-x,-y),PF=(2-x,-y),所以PF·PF=(-√2-x)(2-12.4由题意得椭圆的焦点为(-3,0)和(3,0)，所以3=√m+5,解得m=4. 动+(-y)=0,得+-2，因为点P在双曲线上，所以--1，解得11-号.所以13.号因为伞沿是半径为2的圆，圆心到伞柄底端的距离为25，设伞柄与地面的夹角为 3134 P31 0,则an0=2=3,所以0=60，阳光光线与伞柄平行，所以椭圆长半轴a=5im60 2 2W3 3 ,短半销6=2高心率=√名=分 6 1 14.6如图所示，根据双曲线的性质可知1PF,I-IPF2I=2a=2,得到1PFI=IPF2|+2, 所以IPFI+IPQ1=1PF,I+1PQ1+2≥IQF,1+2,而Q(0,23),F,(2,0),所以IQF,I= √22+(25)2=4，所以1PF,1+1PQ1的最小值为6. 4.1 .【解析】)由题意有三+京1，e=只-2，。2-P=c, 解得a=6,b=√5，c=5 所以椭圆的方程为父+子 6+3=1 (2)由直线MW过点B且与椭圆有两个交点，且直线MN的斜率必存在. 可设直线MN方程为y=k(x-3), 代入椭圆方程整理得(2k2+1)x2-12k2x+182-6=0, △=24-24h2>0.得k2<1. 设M(x1,y1),N(x2,2）, 12k2 则x+名2+1= 182-6 2k2+1, IMN=√/(x1-2)2+(y-2)2 =√(E+1)(x1-2) =(k+1)儿(x1+x2)2-4x13J 3 2 解得6=±号满足F<1, 所以所求直段方程为y=±号(x-3. 16【解析】()由已知秀c-2万，会-9 解得a=25,所以62=a2-c2=4, 所以箱同G的方奉为后+苦 =1. (2)设直线l的方程为y=x+m. 144 y=x+m, +2消y得4+6mx+3m-120（*） 由4=(6m)2-4×4×(3m2-12)>0, 得-4<m<4, 设A,B的坐标分别为(x1,y),(x2,2)(x1<),AB的中点为E(o,), 则=中=3 2 买，。=+m=平， 因为AB是等腰△PAB的底边， 所以PE⊥AB, 2、m 所以PE的斜率k= 4 =-1 -3+ 解得m=2,符合要求， 此时(*）式为4x2+12x=0,解得x1=-3,2=0. 代入直线方程得，y=-1,y2=2. 不妨设A(-3,-1),B(0,2), 所以IAB1=32 此时，点P(-3,2)到直线AB:x-y+2=0的距离 d=1-3-2+21_32 2 所以△P1B的面积S=之AB1·d=号 1 3 y=之+m, 17.【解析】(1)由 1x2 2 4+9=1, 消去y并整理得9x2+6mx+2m2-18=0.① 4=36m2-36(2m2-18)=-36(m2-18). 因为直线1与椭圆有公共点， 所以4≥0，解得-32≤m≤32. 故所求实数m的取值范围为[-32,32] (2)设直线I与椭圆的交点为A(x1少)，B(x2,少2)， 6m 2m2-18 由①得1+=-9，x= 故1AB1=√1+2·√/(x1+2)2-4x13 =√1+(3)√-）-42m,18 -E.√-m㎡+18， 3 当m=0时，直线1被椭圆截得的弦长最大，最大值为26 :18.【解析】(1)由题意，可得直线AB的斜率存在，且不为0 设直线AB:x-2=m(y-2), 代入抛物线方程可得y2-8my+16m-16=0. 判别式△=(-8m)2-4(16m-16) =64[(m-)广+引>a 设A(x1,y),B(x22), 则有y1+y2=8m, 1 由8m=4,得m=2 所以直线l的方程为2x-y-2=0. (2)假设存在点C,D, 1 则可设lm:y=-2x+m,与抛物线>=8x联立， 消去y得子2-(a+8)+㎡=0， 其中4=(n+8)2-n2=16n+64>0, 则n>-4.（) 又xc+xD=4(n+8), 所以CD的中点为(2(n+8),-8), 代入直线1的方程 ，不满足()式 得n=-19 所以满足题意的点C,D不存在 19.【解析】(1)由题意可得2c=42, a+9b=1,a2=B+c2, 27 解得c=2√2，a=3,b=1, 指圆C的方程为号+？=1 (2):椭圆及直线x=6关于x轴对称， 不妨设Q(6,t)(t>0),M(x1y1), N(xy2),A1(-3,0),A2(3,0), 直线QA,的方程为y=)(x+3), 直线01，的方程为y=专(x-3)】 3154 t 联立 y=g(x+3), x2+9y2=9, 消去x得(2+1)P-=0, 标得打学4g0分东. [p=子(x-3), 同理由 x2+9y2=9, 224(=0舍去)， 得n?+1 则四边形A,MA2N的面积为 S=5a4+S=A41(11+l) =3=34g+4 =24 t(2+3) 2+102+9 =24×(E+3)2+48 t(t2+3) =24×+3+ +2+3 设M=f+3(u≥25)， t y=u+4在[2万，+0)上单调递增， .当u=25,t=5时， y取得最小信8。 因此S的最大值为35. 考案（四） 1.D 设直线B的倾斜角为，则ma-7言=-1，因为ae[0,m),所以a=1350. 2.B由题可得42=4p,解得p=4,故抛物线方程为y2=8x,其准线方程为x=-2. 3.A因为a1b,所以a·b=-8-2+2x=0,解得x=5,则2a+b=2×(2,-1,2)+(-4,2,5) =(0,0,9),所以12a+b1=9. 4.C由题得抛物线C的准线方程为x=-1,设该点坐标为(xo,%),则+1=3，解得x。=2, 所以后=4，=8，所以该点到原点的距离为√始+后=√4+8=25. P316新数学选择性必修·第一骨U 7如图，已知F是椭圆后+片=1a>6>0)的左 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分】 材 习、究、练、测四位一体 考案（三） 焦点，P是椭圆上的一点，PF⊥x轴.OP∥AB(O 12.已知椭圆后+6 +云=1与双曲线兰-号=1有共同的焦点，则m m 5 为原点)，则该椭圆的离心率是 ( 第三章圆锥曲线的方程 13.油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000 (时间：120分钟满分：150分) 多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺 整 、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给 出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)】 c 03 某活动中将一把油纸伞撑开后摆放在户外 2 展览场地上，如图所示该伞沿是一个半径 1焦点在x轴上，右焦点到短轴端点距离为2，到左顶点距离为3的 8.如图所示，R,上，是双曲线C:号万1(a> 椭圆的标准方程是 ( 为2的.圆心到伞柄能端距离为，当阳光与地面夹角为@ 0,b>0)的左、右焦点，过F,的直线与C的左 时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆 4+y2=1 右两支分别交于A.B两点.若IABI:IBFI: 的长轴上，该椭圆的离心率为 |AF1=3:4:5,则双曲线的离心率为 c号r n+=l ( 14.已知双曲线C:2-号=1的左焦点为F,点Q(0,23),P是双曲 3 A.2 B.15 C.13 D.5 2.抛物线y2=6x的焦点到准线的距离是 ( 线C右支上的动点，则1PF,I+PQ的最小值为 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给 A.1 B.2 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程 C.3 D.4 出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分， 或演算步骤】 3.动点到点(3,0)的距离比它到直线x=-2的距离大1，则动点的 有选错的得0分，部分选对的得部分分】 轨迹是 9.已知F,F分别是双曲线C:x2-y2=1的左右焦点，点P是双曲 15.(本小题满分13分)已知椭圆+ =1(a>b>0)经过点A(2,1), b A.椭圆 B.双曲线 线上异于双曲线顶点的一点，且PF,·PF=0,则下列结论正确的 C双曲线的一支 D.抛物线 是 ( 离心率为 ,过点B(3,0)的直线I与椭圆交于不同的两点M,N 4双曲线、上 A.双曲线C的渐近线方程为y=±x (1)求椭圆的方程： 线。-方=1(a>0,b>0)的左，右焦点分别为F、F.P是双 B.△PF,F的面积为1 C.F,到双曲线的一条渐近线的距离为2 曲线右支上一点，且直线PF,的斜率为2.△PF,F,是面积为8的 (2)若1MNM=32 2 求直线MN的方程. D.以F,F2为直径的圆的方程为x2+y2=1 直角三角形，则双曲线的方程为 ( A.y 10.已知椭圆写+号-1的左，右焦点分别为R,R,抛物线子=2p “82=1 -=1 84 (P>0)与椭圆共焦点，若两曲线的一个交点为P,则下列说法正 c号-1 48=1 确的是 ( A.p=4 B.IPF,I+IPF,I =6 5.直线y=:+1与椭圆芳+ -1总有公共点，则m的取值范围是 C.IPFI=3 ( D.△PF,F的面积为25 L.(1,+) B.(0.1)U(1.+0) 11.下列关于圆锥曲线的叙述错误的是 () C[1,5)U(5,+0) D.(0,1)U(1,5) A.设A,B是两个定点，k是非零常数，若1PA|-IPB|=k,则动点 P的轨迹是双曲线的一支 6.在椭圆后+号=1中，以点M(L,)为中点的弦所在直线的斜率 B.方程2x2-5x+2=0的两个实数根都可以作为椭圆的离心率 为 ( C双南线艺一号=1与辅圆嗒+护：1有相同的焦点 .-4 B.-4 C.- D.-2 D.以过抛物线的焦点的一条弦PQ为直径作圆，则该圆与抛物线 的准线相切 2974 298 16(木小圆端分15分)已知稀圆6号+节=1o>6>0)的离心率8体小题裤7分直生与超物线=8c交于AB两点，1但（本小感满分门分）已知隔圆C后+片=1a>60,焦距为 且线段AB恰好被点P(2,2)平分 为，右焦点为(2反，0)，斜率为1的直线1与椭圆G交于4，B (1)求直线I的方程： (2)抛物线上是否存在点C和D,使得C,D关于直线1对称？若 45,且经过点P(5号）) 两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(-3,2). 存在，求出直线CD的方程：若不存在，请说明理由。 (1)求椭圆C的方程： (1)求椭圆G的方程： (2)设A1,A2分别是椭圆C的左、右顶点，Q为直线x=6上的动 (2)求△PAB的面积 点，直线A,Q,AQ与椭圆的另一交点分别为M,N,求四边形 A,MA,N面积的最大值 17.(本小题满分15分)已知椭圆听+号=1及直线14y=子+m (1)当直线1与该椭圆有公共点时，求实数m的取值范用； (2)求直线1被此椭圆截得的弦长的最大值 =299 ●3004