考案(1)第一章空间向量与立体几何-【成才之路·考案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（人教A版）

新数学选择性必修·第一骨UA 6.在棱长为1的正方体ABCD-A,B,C,D,中，F为线段BC1的中点，13.在空间直角坐标系Oz中，A(4,0,0),B(0,2,0),C(0,0,4),D 考案（一） 则点F到平面ACD,的距离为 为AB的中点，则异面直线BC与OD所成角的余弦值为 材 习、究、练、测四位一体 B月 C. 2 D.1 第一章 空间向量与立体几何 14.已知梯形CEPD如图1所示，其中PD=8,CE=6,A为线段PD 7.已知1a1=4,空间向量e为单位向量，(a,e)=号则空间向量a 的中点，四边形ABCD为正方形，现沿AB进行折叠，使得平面 (时间：120分钟满分：150分) PABE⊥平面ABCD,得到如图2所示的几何体已知当点F满足 整 -、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给 在向量e方向上的投影向量的模长为 A产=AA店(0<A<1)时，平面DEF上平面PCE,则入的值为 出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)】 A.2 B.-2 1.直线m,n的方向向量分别为m,n,平面a的法向量为a,则下列正 C.-2 确的是 () 8.已知向量a=(2,-1,2),b=(-1,2,-2),c=(6,3,A),若a,b,c A若m∥n,则m·n=0 B.若m⊥，则m·a=0 三向量共面，则实数A= ( C.若m⊥n,则m=kn D.若n∥a,则n·a=0 B C.2 D.3 2.已知三棱锥S-ABC,点M是棱SM的中点，点V是△ABC的重心， 设S=a,S活=b,S元=c,则下列向量中与相等的向量是( 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给 出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分， 图1 2 有选错的得0分，部分选对的得部分分】 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过 M 9.已知点P是△ABC所在的平面外一点，若AB=(-2,1,4),AP= 程或演算步骤) 15.(本小题满分13分)在空间直角坐标系中，已知点A(x,5-x,2x (1.-2,1),4C=(4,2.0).则 -1),B(1,x+2,2-x),C(1,2,3) A.AP⊥AB B.AP⊥BP C.BC=/53 (1)若AC.BC=2,求x的值： ++ ++ D.AP⊥BC B.- (2)求1ABI的最小值 10.如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E,F分别是AB,AD c+动- n++ 的中点，则下列计算结果正确的是 3.在空间直角坐标系0z中，点M(3,4,-2)在坐标平面0：内的 A序，届=4 射影是点V,则点N的坐标为 A.(0.-4.2) B.(3,4,0) R成励= C(0,4.-2) D.(-3,0,2) 4.已知直线1的方向向量是a=(3,-2,1),平面a的法向量是n c.成4 (-6,4,-2),则1与《的位置关系是 n函.而=号 A.I⊥a B.l∥a C1与a相交但不垂直 D.l∥a或1Ca 11.已知四面体ABCD满足AB=CD=1,BC=AD=BD=AC=2,则 5.在平行六面体ABCD-A,B,C,D,中，AC=3MC,若AB=a,AD= b,A4=c,则MD,= A.直线AC与BD所成的角为30 A+c- B.直线AB与CD所成的角为90 D &0-b-c C点M为直线AD上的动点，M到BC距离的最小值为号 c-- 1 D.二面角C-AB-D平面角的余弦值为号 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） Da+ib-ge 12.两平面的法向量分别为m=(0,-1,0),n=(0,1,1),则两平面 的夹角为 2894 290 16.(本小题满分15分)如图，在三校锥P-ABC中，PA⊥1平面ABC,18.(本小题满分17分)如图，在四校锥P-ABCD中，底面ABCD是矩19.（本小题满分17分）如图，在三棱锥P-AC中，LABC=受， AC⊥BC. 形，PA⊥平面ABCD,PA=AD=2,AB=1,以BD的中点O为球 (1)求证：平面PAC⊥平面PBC: 心、BD为直径的球面交PD于点M. AO=CO,PA=PB=PC. (2)若AC=5,BC=12,三棱锥P-ABC的体积为100，求二面角 (1)求证：PD⊥平面ABM: (1)证明：OP⊥平面ABC: A-PB-C的余弦值 (2)求二面角A-BM-C的大小. (2)若PA=2AB=2BC,E是棱BC上一点且2BE=EC,求平面 PAE与平面PAC的夹角A. A .0 17.(本小题满分15分)在棱长为2的正方体ABCD-A,B,C,D,中，E 为AC的中点， (1)求异面直线AE与B,C所成角的 余弦值： (2)求三棱锥A-B,CE的体积 2914 ●2924新数学选择性必修·第一册A 教 考案部分 材 习、究、练、测四位一体 参考答案 考案（一） 1.D若m∥n,则m∥n,即m=kn,故A错误；若m⊥a,则m∥a,即m=ka,故B错误；若 m⊥n,则m⊥n,即m·n=0,故C错误；若n∥a,则n⊥a,即n·a=0,故D正确.故选D. 2.A取BC的中点G,连接AG,因为点N是△ABC的重心，所以 不-子花=号×子（花+商）=}（花+）所以m- `、C +=+g(花+)=+}（元-+弦- =名+号话+号5元=名0+b+号c故选A 3.C点M(3,4,-2)在坐标平面0z内的射影是点N(0,4,-2),故点N的坐标是(0,4，-2). 故选C. 4.A由直线1的方向向量是a=(3,-2,1),平面a的法向量是n=(-6,4,-2),得 n=-2a,即a与n共线，所以l⊥a.故选A. 5.A在平行六面体ABCD-A,B,CD中，AC=3MC,若A店=a,Ad=b,AA=c,则AG= a+b+e则-号记-子+子+子c,所以.丽-0-戒-访+-子(a+办 3 +e)=b+c-号a+b+e)b+写c-号选 6.A由题意以D为原点，DA,DC,DD,所在直线分别为x,y,z轴所在直线建立如图所示的 空间直角坐标系： D B 所以A(1,0,0),C(0,1,0),D(0,0,1),B(1,1,0,C(0,11),F（2,1,2）,所以D =10,-1),DC=(0,1-1),亦=（分，0,2），不妨设平面Ac0,的法向量为n x-z=0, (x,y,z),则 令z=1,解得x=y=1,即取平面ACD的法向量为n=(1,1,1),所 y-z=0 以点F到平面0的索离为：可-方夸散感人 P3( 7.A由题意，1al=4,1el=1,〈a,e=2要，则空间向量a在向量e方向上的投影为0：e= lel 于=(-号0号)·(--号)-宁+0分0，故1成，直线 lal·lelcos 2π AB与CD所成的角为90°，B正确：对于C,点M为直线AD上的动点，当M位于AD的中 3 lel =-2.又模长取正值，故答案为2.故选A 8.C:a,b,c三向量共面，存在实数m,n,使得c=ma+nb,即(6,3，A)=(2m,-m, 点时，此时W到C距离的最小，且最小值为长方体的底，即为停.C正确：对于D,取B 中点E,连接EC,ED,由于AB=CD=1,BC=AD=BD=AC=√2，所以CE⊥AB,DE⊥AB, 2m-n=6, 2m)+（-n,2n,-2n),.{2n-m=3,解得m=5,n=4,A=2.故选C. 故∠cD为所求角，(0，平)，成=()，励=(-，，-)，放 l2m-2n=入， 1.31 9.ACD因为向量若2=(-2,1,4)，A2=(1,-2,1),A元=(4,2,0)，由A店.A=-2×1 cos<E元，Ei)= -8+2-85 77 ，放D正确故选BCD. +1×(-2)+4×1=0,所以A店1A2,即AP1AB,所以A正确：由B2=A2-A店=(3，-3， W4×√4 -3),可得B成.A=3×1+(-2)×(-3)+1×(-3)=6≠0，所以B与A币不垂直，即 2. 两平面的法向量分别为m=(0,-1,0),n=(0,1,1),设两平面的夹角为0，所以 AP与BP不垂直，所以B不正确；由B元=AC-A=(6,1,-4),可得1BC1= √6+12+(-4)下=53，即BC=√53，所以C正确；对于D中，由A·BC=1×6+ m,a)-测识=是，因为0≤0≤子所以0=子，即两平面的夹角为子放答案 ImlInl (-2)×1+1×(-4)=0,所以A1B元，即AP⊥BC,所以D正确.故选ACD. 为平 10.ABC因为E,F分别是AB,AD的中点，所以成=B励，所以.=励.Bi= 依题意可得D(2,1,0),0品=(2,1,0)，BC=(0,-2,4),则cs(B元，0i)= 之1B励1i1wB励，B=之×cs60°=子，A正确：成.励=2B励.励=分1励1 品5一了放异面直线C与0所成角的余弦值为5敢答宋 B元.oi -2 =之，B正确：武.元=励.元=分11D元1·cas(所.心=子×cs120= 为51 子，C正确：店.市=店.（币-A心）=店.而-应.A花=破1布1s店， 14. 3 如图，以A为坐标原点，AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐 -IAB1IA元i·cos<AB,AC=cos60°-cos60°=0，D错误.故选ABC. 75 11.BCD将四面体放入长方体中，（如图)，设长方体的长宽高分别为x,y,z, 标系， .C(4,4,0),D(0,4,0),E(4,0,2),P(0,0,4),F(4,0,0),则P2=(4,0,-2),P元= 则AB=+区=1，AD=√层+了=巨，AC=+?=厄，所以解得x=:= (4,4,-4),E=(4(A-1),0,-2),D2=(4,-4,2),若m=(x,y,z)是平面DEF的一 2,y 4(入-1)x-2z=0, 个法向量，则 建立如图所示的空间直角坐标系则A(停0.0），80.0，号)c(停号)】 4x-4y+2z=0, 可得m=(之2），若m=(a6,)是平面 D(00）故-(0，)励=(0,5-）故s花励=分所以直 e5的-个法向显.圆：20，可得-1,2)，击字百E1平有E得 4a+4b-4c=0, 线4C与0所成的角为60,4结误=(-号.0，号).市=（号受）由ma=0,即，+产+4=0，解得A=子放答案为号 05 P306 15.【解析】(1)由题意可得AC=(1-x,x-3,4-2x),BC=(0,-x,x+1), rm·Pi=12a+5b-10c=0, 又AB⊥AD,ADOPA=A,ADC平面PAD,PAC平面PAD, 因为A亿.BC=(1-x,x-3,4-2x)·(0,-x,x+1)=x(3-x)+(x+1)(4-2x)=2, 【m·CB=12a=0, 所以AB⊥平面PAD,又PDC平面PAD,所以AB⊥PD 解得x=2或-行 令b=2,得a=0,c=1,则m=(0,2,1), 有题意可知BM⊥PD,又AB∩BM=B,ABC平面ABM,BMC平面ABM, 设二面角A-PB-C为0， 所以PD⊥平面ABM, (2)由空间两点间的距离公式，得 (2)分别以AB,AD,AP所在直线为x,y,:轴建立空间直角坐标系， 1AB1=√(0-x}2+[(x+2)-(5-x)]2+[2-x)-(2x-1)] 用01a1-0装-装 =/14x2-32x+19 所以锐二百角A一-阳-G的余弦值为 =√4(-)+. 17.【解析】(1)如图，正方体ABCD-AB,C,D,中，E为A,C,的中点，连接BD交AC于O, 当x=号时，1MB1有最小值 连接E0, 7 16.【解析】(1)证明：由题意得PA⊥平面ABC,因为BCC平面ABC,所以PA⊥BC, 因PD⊥平面ABM,AMC平面ABM,所以PD⊥AM 又因为AC⊥BC,PA,ACC平面PAC,所以BC⊥平面PAC 因为PA=AD=2,所以M为PD中点， 又因为BCC平面PCB,所以平面PAC⊥平面PBC 故P(0,0,2),D(0,2,0),M(0,1,1),B(1,0,0),C(1,2,0) (2)因为AC=5,BC=12,AC⊥BC 平面ABM的一个法向量为n,=P7=(0,2,-2), 所以5aw=7×12×5=30, 根据正方体的性质，知道E0垂直于上下底面，且B0LAC,则BO,AC,E0两两垂直， B7=(-1,1,1),B元=(0,2,0)， 又因为三棱锥P-ABC的体积为1O0 则可以O4A为x轴，OB为y轴，OE为z轴建立空间直角坐标系. 设平面BCM的法向量为n2=(x,y,z), 即100=了×PH×30,得PA=10, 由于棱长为2，则面对角线为22. ·Bi=0 由题意可得以A为原点，分别以平行于BC,及AC,AP所在直线为x,y,轴建立空间直 因此涉及的关键点坐标为A(2,0,0),E(0,0,2),B(0,2,2),C(-万，0,0) 得+y+:=0. n,·B=0,2y=0, 角坐标系，如图， 则A2=(-万，0,2)，B亡=(-万，-万，-2) 令x=-2得y=0,2=-2, 则oosA正B,元= 1aG后x浪 AE.B C -2 则n2=(-2,0,-2), n。n 4 则异面直钱证与B,C所成角的会弦信为停 所以s(m,〉=m.m,22×222 (2)根据题意，知道Va-E=V1-A, 因为二面角A-BM-C是钝二面角，所以二面角A-BM-C的大小为120°. 星然SAE=7×AC×0E=2万. 19.【解析】(1)证明：连接OB,因为PA=PC,A0=C0,所以0P⊥AC, 则A(0,0,0),B(12,5,0),C(0,5,0),P(0.0,10), 由正方体结枸特征知，EB,⊥平面ACE, 因为∠ABC=2,A0=C0,所以B0=A0, 所以2=(0,0,10)，C2=(12,0,0),P2=(12,5,-10), 则B,到平面ACE的距离为d=EB,=2. 因为PA=PB,所以△PAO≥△PBO,则∠POA=∠POB,所以OP⊥OB, 设平面APB的一个法向量为n=(x,y,z), 则-防=2+5,10e-0. 故V-GE=Va-a=号SacE×d=号x2万×巨=号 因为OBOAC=O,OB、ACC平面ABC, 所以OP⊥平面ABC. lm.A2=10z=0, 故三棱维A-B,CE的体积为号 (2)易知AB=BC,O为AC的中点，所以OB⊥AC, 令x=-5,得y=12,z=0,则n=(-5,12,0), 18.【解析】(1)证明：因为PA⊥平面ABCD,ABC平面ABCD,ADC平面ABCD, 由(1)可知，OB,OC,OP两两垂直，以0为坐标原点，OB,OC,OP所在直线 设平面PBC的一个法向量为m=(a,b,c), 所以PA⊥AB,PA⊥AD, 分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空问直角坐标系， ●307 308 161+13x2+4y2+161=101ER1≥30，所以13x1+4y1+16|+I3x2+4y2+161的最小值为 30.故选D. 0 B 设OA=1,因为PA=2AB=2BC,所以△PAC为正三角形， 3.B由于圆C上存在点P,满足P·P=0,故以AB为直径的圆0与圆C有公共点.圆0 所以P(0,0,√3)，A(0,-1,0),C(0,1,0), 的圆心为(0,0)，半径为2.圆C的圆心为(-4,3)，半径为r,所以1r-21≤10C1≤r+2, 因为2能=5c所以（号方0所以=(0.1，），应=（子专0） 而10C1=√(-4)2+32=5，所以1r-21≤5≤r+2,解得3≤r≤7.故选B. ry+5z=0, 4.Dx2+y2-2x=0,即(x-1)2+y2=1,则该圆的圆心为0(1,0)，半径为m1=1,x2+y 设平面PAE的法向量为n=(x,y,z),则 +=0， 2 -8x+8y+m=0,即(x-4)2+(y+4)2=32-m,由题意可知集合B表示圆，则该圆的圆 心为02(4，-4)，m<32,半径为2=√32-m,又圆心距为10021=√(1-4)2+4=5， 令z=1,则y=-5,x=25,.m=(25,-5,1, 且A∩B恰有一个元素，即两圆只有一个公共点，当两圆相外切时，1+/32-m=5,解得 又平面PAC的一个法向量为a=(1,0,0), m=16,当两圆相内切时，√32-m-1=5,解得m=-4,故选D. 1n:a:2=5,即平面PAE与平面PAC的夹角为看 所以cos0=m1.1a=1×4 5.C设点P的坐标为(a,b),则a2+(b-3)2=1①，由已知圆(x+3)2+y2=1的圆心C2 -21 的坐标为(-3,0)，半径为1，所以IPT1=√TPC22-1=√(a+3)2+b2-1,1P01= 考案（二） √a+b2,因为1PT1=51P01,所以(a+3)2+b2-1=3a2+3b2,化简可得a2+b-3a- 1.C根据题目条件得到其中一条直线的斜率，进而得到倾斜角，由垂直关系得到直线↓2 4 ra=0 a= 5 的倾斜角即可.kB= 4=1=万.故4的倾斜角为60°，41h2,所以2的倾斜角为150°，故 4=0②，联立①②可得， 或 ,所以点P的坐标为(0,2)或（号，号），故满足 3 [b=2 b=- 5 选C. IPT1=3IPO1的点P有2个，故选C 2.D根据题中条件，先求得弦PQ的中点E(x,y)的轨迹方程，则3x+4+16 5 6.D设点M(1,1)关于直线l:x+y+2=0对称的点N的坐标(x,y),则MW中点的坐标为 13+4,+161的几何意义为P(x,X),Q()两点到直线3x+4y+16=0的距离之 (,）利用对称的性质得：1，且生++2=0，解得x-3, 2 和，即点E(x,y)到直线3x+4y+16=0距离的2倍，结合点到直线的距离公式求解即可. y=-3,点V的坐标(-3，-3)，故选D. 由题设直线与y轴的交点为A(0,2),设弦PQ的中点为E(x,y),连接0E,则0E1PQ,即7.C由题意可知，点(2,3)在人射光线上，设入射光线所在的直线方程为y-3=k(x-2), 0E1AE,所以O2·A正=0，即(x,y）·(x,y-2)=x2+y(y-2)=0,所以点E的轨迹方程 即-y-2k+3=0.圆(x+3)2+(y-2)2=1关于x轴对称的圆为(x+3)2+(y+2)2=1, 为x2+(y-1)2=1,即E的轨迹是以(0,1)为圆心，1为半径的圆，设直线1为3x+4y+ 则人射光线与该圆相切.由相切的性质可得-3张+2-2+3！=1，化为12K-25+12 k2+1 16=0,则E到1的最小距离为+16-1=3，过P,E,Q分别作直线1的垂线，垂足分别为 5 =0,解得k=3 或学故选C M,R,N,则四边形MNQP是直角梯形，且R是MN的中点，则ER是直角梯形的中位线， 8.D设P(x,y）,P·P2=3a2,则(x+a)(x-a)+y2=3a2,即x2+y2=4a2,即点P亦 所以IP1+IN01=21BR1,即3x+4+161+B++161=21ER1,即13x,+4,+ 5 5 在圆x2+y2=4a2上，圆心为(0,0)，半径r1=2a,又点P在圆(x-a+1)2+(y-a-2)2 3094 P31 =a2上，圆心为(a-1,a+2),半径2=a,故两圆相交，即有12-111≤ a2+2a+5≥0 √(a-1)2+(a+2)产≤r1+r2,整理可得{ 且a>0,解得a≥1.故选D. 7a2-2a-5≥0 9.AB选项A:(x-k)2+(y-k)2=4(kER),r=2,故选项正确；选项B:根据(x-k)2+(y -k)2=4(kR)可得，圆心为(k,k),在y=x上，故选项正确；选项C:当k=2时，(x- 2)2+(y-2)2=4,(3,0)代人不满足方程，故选项错误；选项D:代入(2,2)得：(2-k)2+ (2-k)2=4,即(2-k)2=2,k=2±√2，有两个解，故选项错误.故选AB. 10.AC显然l⊥x轴时符合要求，此时l的方程为x=1:当l的斜率存在时，设l的斜率为 k,则I的方程为y=k(x-1),即kx-y-k=0.:点A,B到l的距离相等， :-2+1-1=146-=5-,整理得11-361=13k-51,解得k=1,1的方程为x-y 2+1 √2+1 -1=0,综上，l的方程为x=1或x-y-1=0.故选AC. 11.BD对于A中：当在两坐标轴上的截距相等且等于0时，直线过原点，可设直线方程为 y=,又直线过点4(-2，-3)，则-3=-26，即6=子，此时直线方程为y=子，满足 题意，所以A错误；对于B中：直线2(m+1)x+（m-3)y+7-5m=0可化为(2x+y- r2x+y-5=0 5)m+2x-3y+7=0,由方程组 ,解得x=1,y=3,即直线2(m+1)x+(m 2x-3y+7=0 -3)y+7-5m=0必过定点(1,3)，所以B正确：对于C中，当倾斜角0=牙时，此时直 线的斜率不存在，tan0无意义，所以C错误；对于D中，由两点(x1,y1),(2,y2),当x1≠ 时，此时过()，()两点的所有直线的方程为y-y=二(6-)，即( x-x1 -x)(y-y)=(2-y1)(x-x1),当x1=x2时，此时过(x1,少1)，(2，为)两点的所有直 线的方程为x=x或x=2,适合上式，所以过(x,少)，(2)两点的所有直线的方程 为(x2-x1)(y-y)=(y2-y)(x-x),所以D正确.故选BD. 12{子0(1，+)曲线y=V4-7+1(-2≤≤2)，即2+(y-1)2=4(y≥1)，直线 y=x-2k+5过定点A(2,5),如图：B(-2,1),C(2,1),当直线y=kx-2k+5与曲线 y=√4-x2+1(-2≤x≤2)有一个交点时，则直线夹在了直线AB与直线AC之间，而 m多1，所以此时长的取值范围是(1，+0，当直线与曲线+(-12=4(y≥ 1)相切时也只有一个交点，则圆心(0,1)到直线kx-2k-y+5=0的距离为：d= 1一2-之51-2，解得太=子所以实数的取值范围是：{}U(1,+》。 1+k2 104