考案(2)第二章直线和圆的方程-【成才之路·考案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（人教A版）

新数学选择性必修·第一骨U 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给16.（本小题满分15分）(1)已知直线1过点P(4,1),且直线1在y轴 出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分， 上的截距b、在x轴上的截距a满足b=2a,求直线【的方程. 材 习、究、练、测四位一体 考案（二） 有选错的得0分，部分选对的得部分分) (2)在直角坐标系x0y中，已知圆C:x2+y2-4x-6y+m=0与 9.若有一组圆C:(x-)子+(y-)2=4(∈R),下列命题正确的是 直线1：x+y-1=0相切，求实数m的值 第二章直线和圆的方程 (时间：120分钟满分：150分) A.所有圆C,的半径均为2 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给 B.所有的圆C,的圆心恒在直线y=x上 出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) C,当k=2时，点(3.0)在圆C上 1.若点A(0,1),B(5,4)在直线1上，41⊥12，则直线2的倾斜角为 D.经过点(2,2)的圆C有且只有一个 ( 10.已知直线1在x轴上的截距为1.又有两点4(-2，-1)，B(4,5) A.-30° B.30° C.1509 D.120 到1的距离相等，则1的方程为 2.已知直线y=:+2(k∈R)交圆0：x2+y2=9于P(x少)，Q( A.x=1 B.2x-y-1=0 y2)两点，则3x+41+161+13x2+4y2+161的最小值为( C.x-y-1=0 D.2x-3y-1=0 A.9 B.16 C.27 D.30 11.下列说法正确的是 3.已知两点A(-2,0),B(2,0)以及圆C:(x+4)2+(y-3)2= A.过点A(-2,-3)且在两坐标轴上的截距相等的直线1的方程 (r>0),若圆C上存在点P,满足P可·P=0,则r的取值范围是 为x+y=-5 ( B.直线2(m+1)x+(m-3)y+7-5m=0必过定点(1,3)】 A.[3.6] B.[3,7] c.[4,7] D.[4.6 C.经过点P(1,1),倾斜角为0的直线方程为y-1=an0(x-1)》 4.已知集合A={(x,y)1x2+y2-2x=0,B={(x,y)1x+y2-8x+ D.过(x1y,),(知，y2)两点的所有直线的方程为(x2-x)(y 8y+m=0,若A∩B恰有一个元素，则m的值可以为() y)=(2-y1)(x-x) A.-1 B.-2 C.-3 D.-4 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分】 5.平面直角坐标系x0y中，P为圆G:x2+(y-3)2=1上的动点，过 12.曲线y=√4-x+1(-2≤x≤2)与直线y=kx-2k+5仅有一个 点P引圆C2:(x+3)2+y2=1的切线，切点为T,则满足1PT1= 交点时，实数k的取值范围是 51PO1的点P有 13.在平面直角坐标系x0y中，过点A(1,3),B(4,6),且圆心在直线 A4个 B.3个 C.2个 D.1个 x-2y-1=0上的圆的标准方程为 6.点(1,1)关于直线1：x+y+2=0对称的点的坐标为 14,写出与圆01：x2+y=1和02：(x-3)2+y2=1都相切的一条直 A.(-1,-1) B.(-2,-2) 线方程 C(0.0) D.(-3.-3) 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过 7.一束光线从点(2,3)射出，经x轴反射后与圆(x+3)子+(y-2) 程或演算步骤) =1相切，则入射光线所在直线的斜率为 15.(本小题满分13分)已知直线x-2y+3=0和直线x+y-3=0 B号 的交点为P,求过P且与A(2,3)和B(4,-5)距离相等的直线 方程. c好 n号 8.平面直角坐标系x0y中，已知点A(-a,0),B(a,0)其中a>0,若 圆(x-a+1)2+(y-a-2)2=a2上存在点P满足P.P店=3a2 则实数a的取值范围是 A.(.] B.[.1] c[分，+) D.[1,+) =293 294 17.(本小题满分15分)已知直线1：3x-4y+5=0与圆C:x2+y2-18.(本小题满分17分)在平面直角坐标系x0y中，0为坐标原点， 6x-2y+a+5=0相切 已知直线4：2x-y-2=0和l2:x+y+3=0, 19.(体小题满分门分)当入1时，把++g=A化简成圆的标 /(x-12+y2 (1)求实数a的值： (1)求直线1与l2的交点坐标： 准方程的形式。 (2)已知直线m:kx-y+2=0与圆C相交于A,B两点，若△ABC (2)过点P(3,0)作直线1与直线I1,2分别交于点A、B,且满足 的面积为2，求直线m的方程 A示=A店，求直线1的方程 295 ●2964161+13x2+4y2+161=101ER1≥30，所以13x1+4y1+16|+I3x2+4y2+161的最小值为 30.故选D. 0 B 设OA=1,因为PA=2AB=2BC,所以△PAC为正三角形， 3.B由于圆C上存在点P,满足P·P=0,故以AB为直径的圆0与圆C有公共点.圆0 所以P(0,0,√3)，A(0,-1,0),C(0,1,0), 的圆心为(0,0)，半径为2.圆C的圆心为(-4,3)，半径为r,所以1r-21≤10C1≤r+2, 因为2能=5c所以（号方0所以=(0.1，），应=（子专0） 而10C1=√(-4)2+32=5，所以1r-21≤5≤r+2,解得3≤r≤7.故选B. ry+5z=0, 4.Dx2+y2-2x=0,即(x-1)2+y2=1,则该圆的圆心为0(1,0)，半径为m1=1,x2+y 设平面PAE的法向量为n=(x,y,z),则 +=0， 2 -8x+8y+m=0,即(x-4)2+(y+4)2=32-m,由题意可知集合B表示圆，则该圆的圆 心为02(4，-4)，m<32,半径为2=√32-m,又圆心距为10021=√(1-4)2+4=5， 令z=1,则y=-5,x=25,.m=(25,-5,1, 且A∩B恰有一个元素，即两圆只有一个公共点，当两圆相外切时，1+/32-m=5,解得 又平面PAC的一个法向量为a=(1,0,0), m=16,当两圆相内切时，√32-m-1=5,解得m=-4,故选D. 1n:a:2=5,即平面PAE与平面PAC的夹角为看 所以cos0=m1.1a=1×4 5.C设点P的坐标为(a,b),则a2+(b-3)2=1①，由已知圆(x+3)2+y2=1的圆心C2 -21 的坐标为(-3,0)，半径为1，所以IPT1=√TPC22-1=√(a+3)2+b2-1,1P01= 考案（二） √a+b2,因为1PT1=51P01,所以(a+3)2+b2-1=3a2+3b2,化简可得a2+b-3a- 1.C根据题目条件得到其中一条直线的斜率，进而得到倾斜角，由垂直关系得到直线↓2 4 ra=0 a= 5 的倾斜角即可.kB= 4=1=万.故4的倾斜角为60°，41h2,所以2的倾斜角为150°，故 4=0②，联立①②可得， 或 ,所以点P的坐标为(0,2)或（号，号），故满足 3 [b=2 b=- 5 选C. IPT1=3IPO1的点P有2个，故选C 2.D根据题中条件，先求得弦PQ的中点E(x,y)的轨迹方程，则3x+4+16 5 6.D设点M(1,1)关于直线l:x+y+2=0对称的点N的坐标(x,y),则MW中点的坐标为 13+4,+161的几何意义为P(x,X),Q()两点到直线3x+4y+16=0的距离之 (,）利用对称的性质得：1，且生++2=0，解得x-3, 2 和，即点E(x,y)到直线3x+4y+16=0距离的2倍，结合点到直线的距离公式求解即可. y=-3,点V的坐标(-3，-3)，故选D. 由题设直线与y轴的交点为A(0,2),设弦PQ的中点为E(x,y),连接0E,则0E1PQ,即7.C由题意可知，点(2,3)在人射光线上，设入射光线所在的直线方程为y-3=k(x-2), 0E1AE,所以O2·A正=0，即(x,y）·(x,y-2)=x2+y(y-2)=0,所以点E的轨迹方程 即-y-2k+3=0.圆(x+3)2+(y-2)2=1关于x轴对称的圆为(x+3)2+(y+2)2=1, 为x2+(y-1)2=1,即E的轨迹是以(0,1)为圆心，1为半径的圆，设直线1为3x+4y+ 则人射光线与该圆相切.由相切的性质可得-3张+2-2+3！=1，化为12K-25+12 k2+1 16=0,则E到1的最小距离为+16-1=3，过P,E,Q分别作直线1的垂线，垂足分别为 5 =0,解得k=3 或学故选C M,R,N,则四边形MNQP是直角梯形，且R是MN的中点，则ER是直角梯形的中位线， 8.D设P(x,y）,P·P2=3a2,则(x+a)(x-a)+y2=3a2,即x2+y2=4a2,即点P亦 所以IP1+IN01=21BR1,即3x+4+161+B++161=21ER1,即13x,+4,+ 5 5 在圆x2+y2=4a2上，圆心为(0,0)，半径r1=2a,又点P在圆(x-a+1)2+(y-a-2)2 3094 P31 =a2上，圆心为(a-1,a+2),半径2=a,故两圆相交，即有12-111≤ a2+2a+5≥0 √(a-1)2+(a+2)产≤r1+r2,整理可得{ 且a>0,解得a≥1.故选D. 7a2-2a-5≥0 9.AB选项A:(x-k)2+(y-k)2=4(kER),r=2,故选项正确；选项B:根据(x-k)2+(y -k)2=4(kR)可得，圆心为(k,k),在y=x上，故选项正确；选项C:当k=2时，(x- 2)2+(y-2)2=4,(3,0)代人不满足方程，故选项错误；选项D:代入(2,2)得：(2-k)2+ (2-k)2=4,即(2-k)2=2,k=2±√2，有两个解，故选项错误.故选AB. 10.AC显然l⊥x轴时符合要求，此时l的方程为x=1:当l的斜率存在时，设l的斜率为 k,则I的方程为y=k(x-1),即kx-y-k=0.:点A,B到l的距离相等， :-2+1-1=146-=5-,整理得11-361=13k-51,解得k=1,1的方程为x-y 2+1 √2+1 -1=0,综上，l的方程为x=1或x-y-1=0.故选AC. 11.BD对于A中：当在两坐标轴上的截距相等且等于0时，直线过原点，可设直线方程为 y=,又直线过点4(-2，-3)，则-3=-26，即6=子，此时直线方程为y=子，满足 题意，所以A错误；对于B中：直线2(m+1)x+（m-3)y+7-5m=0可化为(2x+y- r2x+y-5=0 5)m+2x-3y+7=0,由方程组 ,解得x=1,y=3,即直线2(m+1)x+(m 2x-3y+7=0 -3)y+7-5m=0必过定点(1,3)，所以B正确：对于C中，当倾斜角0=牙时，此时直 线的斜率不存在，tan0无意义，所以C错误；对于D中，由两点(x1,y1),(2,y2),当x1≠ 时，此时过()，()两点的所有直线的方程为y-y=二(6-)，即( x-x1 -x)(y-y)=(2-y1)(x-x1),当x1=x2时，此时过(x1,少1)，(2，为)两点的所有直 线的方程为x=x或x=2,适合上式，所以过(x,少)，(2)两点的所有直线的方程 为(x2-x1)(y-y)=(y2-y)(x-x),所以D正确.故选BD. 12{子0(1，+)曲线y=V4-7+1(-2≤≤2)，即2+(y-1)2=4(y≥1)，直线 y=x-2k+5过定点A(2,5),如图：B(-2,1),C(2,1),当直线y=kx-2k+5与曲线 y=√4-x2+1(-2≤x≤2)有一个交点时，则直线夹在了直线AB与直线AC之间，而 m多1，所以此时长的取值范围是(1，+0，当直线与曲线+(-12=4(y≥ 1)相切时也只有一个交点，则圆心(0,1)到直线kx-2k-y+5=0的距离为：d= 1一2-之51-2，解得太=子所以实数的取值范围是：{}U(1,+》。 1+k2 104 令x=0得，y=1-46;令y=0得，x=4- 1-=2(4-）,解得6=4或k=-2 3-2-1o123 直线1的方程为y-1=子(x-4)或-1=-2x-4), 13.（x-5)2+(y-2)2=17根据题意，圆经过点A(1,3),B(4,6),则圆心在线段AB的垂 即y=子或2x+y-9=0 直平分线上，又由点A(1,3),B(4,6),则线段AB的垂直平分线方程为x+y-7=0,则 (2)圆C的方程可化为(x-2)2+(y-3)2=13-m, 「x-2y-1=0, 「x=5 圆心C(2,3),半径r=/13-m,其中m<13, 有 。解可得{即圆心为(5,2)，圆的半径2=(5-1)2+(2-3)2= x+y-7=0 y=2, 因为圆C与直线1相切，故圆心C(2,3)到直线l的距离等于半径， 17,故圆的方程为(x-5)2+(y-2)2=17. 即2+3-=3=m,解得m=5. 12+12 14y=±25(-号）或=1巾任何-个答案均可圆产+，产-1的圆心为C,(0.0,7.解标】(1)将因C:-6-2y+0+5=0化为标准方限， 半径为11=1，圆02：(x-3)2+y2=1的圆心为C2(3,0),半径为2=1，则1CC21=3> 得(x-3)2+(y-1)2=5-a,故圆心C(3,1),半径为5-a. 1+2,所以两圆外离，由两圆的圆心都在x轴上，则公切线的斜率一定存在，设公切线 因为直线1：3x-4y+5=0与圆C相切， =1, /k2+1 k26 5， ∫k=-2⑤ 所以3x3-4x1+51=V5-a, 32+4 5 方程为y=kx+b,即x-y+b=0,则有 解得 或 & 13k+b1=1, 解得a=1. 2+1 5 636 5 (2)设圆心C到直线m的距离为d. rk=0,「k=0, 则1AB1=2√4-， 或 b=1,b=-1, 所以公切线方程为=±2(：-多）或=士1.（答案不唯- 所以Saac=子1B1×d=dV4-d=2,解得d=万 15【解析】联立-2y+3=0, rx=1, 解得 x+y-3=0,y=2, 故d=136-=1+2L=万， k2+1 交点为P(1,2), 分两种情况：所求直线与直线AB平行或所求直线过线段AB的中点，结合点斜式可得 解得=-1发6=宁 所以直线m的方程为x+y-2=0或x-7y+14=0. 出所求直线的方程. 直线B的斜率为6如多法程-4。 x+y+3=0 18.【解析】(1)由 2x-y-2=0 线段AB的中点坐标为(3，-1) 得x=- 8 3y- 3 ①若所求直线与直线AB平行时，则所求直线的方程为y-2=-4(x-1), 即4x+y-6=0: 所以直我与6的交点坐标为（宁，号）】 ②若所求直线过B的中点时，则所求直线的斜率为号一， (2②)由矿-花可知，点P是线段AB的中点， 故所求直线方程为y-2=-子(x-1),即3x+2-7=0, 在直线2上任取一点M(xo,-3-x), 所以点M关于P(3,0)的对称点N(6-x,3+x), 综上所述，所求直线方程为4x+y-6=0或3x+2y-7=0. 点N在直线1上，把点N(6-,3+x)代入1方程2x-y-2=0, 16.【解析】(1)由题意知，直线1的斜率存在且不为0， 7 所以设直线l的斜率为k,则其方程为y-1=k(x-4). 2(6-0)-(3+)-2=0,解得0=3 311 所以（子，-）· 0 3 =8. 即直线l方程为y=8.x-24, 即8x-y-24=0. 19.【解析】 因为x+1)产+ =入， √(x-1)2+y 所以√(x+1)2+y2=入√(x-1)2+y2, 故(x+1)2+y2=2[(x-1)2+y2], 则x2+2x+1+y2=2x2-22x+X2+A2y2, 故(A2-1)x2-2(2+1)x+(X2-1)y2+(X2-1)=0, 因为入≠1，则A2-1≠0， 所以2-2(）+y+1=0, 故-2(）*(）-(+1=0， 脚-(+=()-1， 因为(》-1 =(+)(出-） 2A2 4λ2 -1‘-1(x2-1） >0 所以()°-1>0， 所以x+1)+ (x-1)2+y =入化简成国的标准方程的形式为[x-(代)川+子 () 考案（三） 1.A由题意知，a=2,a+c=3,即a=2,c=1,所以b=√a2-c2=5,因为椭圆的焦点在x 轴上，所以椭圆的标准方程是号+兮=1 2.C抛物线的焦点到准线的距离为p=3. 3.D已知条件可等价于“动点到点(3,0)的距离等于它到直线x=-3的距离”，由抛物线 的定义可知，动点的轨迹为抛物线. 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