第二章 直线和圆的方程章末优化试题 -2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第2章 直线和圆的方程 章末优化试题 2026-2027学年上学期高中数学人教A版选择性必修第一册 一、单选题 1．已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为（     ） A． B． C． D． 2．过点，且纵横截距的绝对值相等的直线共有（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知圆是圆上的动点，点，为线段的中点，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 4．已知圆，若直线上存在唯一点P，使得过点P作圆C的两条切线相互垂直，则（    ） A． B．1 C． D．2 5．由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为（   ） A．1 B． C． D．3 6．已知，若两圆和外切，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．已知：与交于A，B两点，且四边形的面积为，则的方程不可能是（    ） A． B． C． D． 8．已知圆：与圆C：，若以直线上任意一点P为圆心，以点P到圆的切线长为半径作圆，该圆始终与圆C有公共点，则实数m的最小值为（   ） A． B． C． D．6 二、多选题 9．已知直线： ，则下列结论正确的是（    ） A．直线的倾斜角是 B．过与直线平行的直线方程是 C．直线的两个截距相等 D．若直线：，则 10．已知直线，圆，则下列说法中正确的是（    ） A．圆心坐标为 B．对，直线与圆一定相交 C．直线被圆截得的最短弦长为 D．当时，圆上存在着4个点到直线的距离为 11．已知圆，直线，为上的动点，过点作圆的切线，，切点分别为，，则（   ） A．的最小值为 B．四边形的面积可能为 C．直线的斜率存在 D．直线过定点 三、填空题 12．已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值______． 13．过四点中的三点的一个圆的方程为____________． 14．过点作圆的两条切线，切点分别为 、，则直线的方程为_______． 四、解答题 15．已知坐标平面内三点. (1)求直线的斜率和倾斜角； (2)若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； (3)若是线段上一动点，求的取值范围. 16．已知直线与直线． (1)若，求m的值； (2)若点在直线上，直线过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程． 17．已知点，________，从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知条件补充在横线处，并作答． (1)求直线的方程； (2)求直线：关于直线的对称直线的方程． 条件①：点关于直线的对称点的坐标为； 条件②：点的坐标为，直线过点且与直线垂直； 条件③点的坐标为，直线过点且与直线平行． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 18．已知圆C经过坐标原点O，圆心在x轴正半轴上，且与直线相切． （1）求圆C的标准方程； （2）直线与圆C交于A，B两点． ①求k的取值范围； ②证明：直线OA与直线OB的斜率之和为定值． 19．古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点距离之比值为常数的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼奥斯圆．已知点P到的距离是点P到的距离的2倍． (1)求点P的轨迹方程； (2)若点P与点Q关于点B对称，点，求的最大值； (3)若过B的直线与第二问中Q的轨迹交于E，F两点，试问在x轴上是否存在点，使恒为定值？若存在，求出点M的坐标和定值；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C A B C D D B BD ABD 题号 11 答案 ABD 1．A 应用两点求出斜率，再结合倾斜角及斜率关系求解. 直线经过，两点，直线斜率为， 设直线的倾斜角为，则，得， 即直线的倾斜角为. 2．C 根据直线的截距式方程，对截距分情况讨论计算即可. 当横、纵截距均为0时，直线过原点，满足条件，此时方程为. 当横、纵截距不为0时，直线的截距式方程为，由题意知. 当时，方程为，代入，得，解得，故方程为. 当时，方程为，代入，得，解得，故方程为. 故满足条件的直线共有3条. 3．A 设，表达出，代入中，求出点的轨迹方程. 设，由于为线段的中点，， 故， 将代入中，得 ， 化简得. 故选：A 4．B 根据题目条件得到，从而得到方程，求出答案 圆，圆心，圆的半径． 若直线上存在唯一点，使得过点作圆的两条切线相互垂直， 由几何关系可知，此时，即， 即，解得或（舍）． 5．C 圆即为，可知圆心为，半径， 在直线上取一点P，过P向圆引切线，设切点为A，连接CA， 在中，．要使最小，则应最小． 又当PC与直线垂直时，最小，其最小值为． 故的最小值为． 6．D 先求得两圆的圆心和半径，再依据两圆外切，即可求得，令，代入上式，化简整理，可得关于m的一元二次方程，根据，结合判别式法即可得答案. 由题意得圆， 整理得，则圆心为，半径为1， 圆，整理得， 则圆心为，半径为2，由题意得两圆外切，即圆心距等于半径和， 所以，解得，     令，则，代入， 得，展开得， 因为，所以，解得. 所以的最大值为，故D正确. 7．D 根据选项分析得两圆半径相等，四边形为菱形，相交弦与圆心连线垂直平分，由面积公式和几何关系解得圆心距只能为2或，计算各选项圆心到原点的距离，只有D不满足，故D不可能. 所有选项中的半径均为2，已知半径也为 2，因此四边形 是边长为2的菱形，如图所示，四边形 面积为， 其中，设， 代入 得方程解得 或 . 选项 A：圆心 ，，符合条件； 选项 B：圆心 ，，符合条件； 选项 C：圆心 ，，符合条件； 选项 D：圆心 ，，不符合条件，因此，的方程不可能是D. 8．B 先设直线上点，由切线长公式写出以为圆心的圆半径平方；两圆有公共点等价于，化简发现恒成立，只需保证对任意成立，整理得到含根号的不等式，分与讨论，平方后转化为开口向上的二次函数在恒非负，由判别式求得，即最小值为． 设，记， 点P到圆O的切线长为，则， 圆C的半径为3，所作圆与圆C有公共点等价于， 因为， 所以. 又，所以，所以恒成立， 由，得，整理得， 即①对任意实数成立， 当时，①式成立； 当时，①式两边平方，得， 即，也即②， 若，则②式成立，且圆心到直线的距离为，满足题意； 若，取，此时，②式不成立， 综上所述，实数的最小值为． 9．BD 由，得，所以直线的斜率为，所以直线的倾斜角是，故A错误； 过与直线平行的直线方程是，即，故B正确； 直线，令，得；令，得， 即直线在轴上的截距为，在轴上的截距为1，故C错误； 由，得，所以直线的斜率为，直线的斜率为， ，所以，故D正确. 10．ABD 对于A，将圆一般方程化为标准方程，据此可得圆心坐标；对于B，注意到直线过定点，由定点与圆关系可判断选项正误；对于C，设直线到圆心距离为，求出的最大值，可得弦长最小值；对于D，计算出直线到圆心距离，结合图形可判断选项正误. 对于A：，从而圆心坐标为，故A正确； 对于B：，则直线过定点，又， 则定点在圆内，则过该定点直线一定与圆相交，故B正确； 对于C：设直线到圆心距离为，直线被圆所截弦长为，圆半径为.由AB分析可得，直线过定点且该点到圆心距离为， 当直线与定点和圆心连线垂直时，最大为，则直线被圆截得的最短弦长为，故C错误； 对于D：当时，直线到圆心距离为，如下图，设直线与圆交于，中点为， 连接并延长交圆于，由垂径定理可得.易得， 则在劣弧上存在两点到直线的距离为，在优弧上也存在两点到直线的距离为， 综上圆上存在着4个点到直线的距离为，故D正确. 11．ABD 对A，根据条件得，再求出的最小值，即可求解；对B，利用A中结果，即可求解；对C，根据条件，直接求出直线的方程，再利用的取值范围，即可求解；对D，根据C可得直线的方程为，即可求解. 易知圆的圆心为，半径为， 对于A，因为，又圆心到直线的距离， 则，所以的最小值为，故A正确， 对于B，因为四边形面积， 由选项A知，所以，故B正确， 对于C，设，则，， 以为圆心，为半径的圆的方程为，即①， 又在圆②上，由①②得到，即， 所以直线的方程为，又点在直线上运动， 当时，直线的斜率不存在，所以C错误， 对于D，由选项C知直线的方程为，且， 所以直线的方程为，即， 由，得到，所以直线恒过定点，故D正确. 12．（中任意一个皆可以） 根据直线与圆的位置关系，求出弦长，以及点到直线的距离，结合面积公式即可解出． 设点到直线的距离为，由弦长公式得， 所以，解得：或， 由，所以或，解得：或． 故答案为：（中任意一个皆可以）． 13．或或或． 方法一：设圆的方程为，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可； [方法一]：圆的一般方程 依题意设圆的方程为， （1）若过，，，则，解得， 所以圆的方程为，即； （2）若过，，，则，解得， 所以圆的方程为，即； （3）若过，，，则，解得， 所以圆的方程为，即； （4）若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即； 故答案为：或 或 或． [方法二]：【最优解】圆的标准方程（三点中的两条中垂线的交点为圆心） 设 （1）若圆过三点，圆心在直线，设圆心坐标为， 则，所以圆的方程为； （2）若圆过三点， 设圆心坐标为，则，所以圆的方程为； （3）若圆过 三点，则线段的中垂线方程为，线段 的中垂线方程 为，联立得 ，所以圆的方程为； （4）若圆过三点，则线段的中垂线方程为， 线段中垂线方程为 ，联立得，所以圆的方程为． 故答案为：或 或 或． 【整体点评】方法一；利用圆过三个点，设圆的一般方程，解三元一次方程组，思想简单，运算稍繁； 方法二；利用圆的几何性质，先求出圆心再求半径，运算稍简洁，是该题的最优解． 14． 由题知、，进而求解方程即可. 解：方法1：由题知，圆的圆心为，半径为， 所以过点作圆的两条切线，切点分别为、， 所以， 所以直线的方程为，即； 方法2：设，，则由，可得， 同理可得， 所以直线的方程为. 故答案为： 15．(1)斜率为1，倾斜角为； (2)； (3). (1)根据过两点的斜率公式求出斜率，再求倾斜角； (2) 设，根据求解即可； (3) 因为表示直线的斜率,求出与点重合时，直线的斜率；与点重合时，直线的斜率即可得答案. （1）解：因为直线的斜率为. 所以直线的倾斜角为； （2）解：如图，当点在第一象限时，. 设，则，解得， 故点的坐标为； （3）解：由题意得为直线的斜率. 当点与点重合时，直线的斜率最小，； 当点与点重合时，直线的斜率最大，. 故直线的斜率的取值范围为， 即的取值范围为. 16．(1) (2)或 （1）由题意可知，所以可得，从而可求出m的值； （2）将点的坐标代入直线的方程中，求出m的值，从而可得点的坐标，然后设出直线方程，利用两坐标轴上的截距之和为0，列方程可求出直线方程 （1）因为，所以，且， 由，得，解得或（舍去） 所以. （2）因为点在直线上， 所以，得，所以点的坐标为， 所以设直线的方程为（）， 令，则，令，则， 因为直线在两坐标轴上的截距之和为0， 所以，解得或， 所以直线的方程为或. 17．(1) (2) （1）计算直线的斜率，根据直线的平行或垂直关系得到斜率，代入点得到直线方程. （2）计算直线的交点，在直线上取一点，求其关于对称的点，根据交点和对称点得到直线方程. （1）选择条件： 因为点关于直线的对称点的坐标为，所以是线段的垂直平分线． 因为，所以直线的斜率为，又线段的中点坐标为， 所以直线的方程为，即． 选择条件： 因为，直线与直线垂直，所以直线的斜率为， 又直线过点，所以直线的方程为，即． 选择条件， 因为，直线与直线平行，所以直线的斜率为， 又直线过点，所以直线的方程为，即． （2），解得，故，的交点坐标为， 因为在直线：上，设关于对称的点为， 则，解得， 直线关于直线对称的直线经过点，，代入两点式方程得，即， 所以：关于直线的对称直线的方程为． 18．（1）； （2）（ⅰ）； （ⅱ）设， 由根与系数的关系：， 所以. 即直线OA，OB斜率之和为定值. （1）设出圆心，进而根据题意得到半径，然后根据圆与直线相切求出圆心，最后得到答案； （2）（ⅰ）联立直线方程和圆的方程并化简，根据判别式大于零即可得到答案；（ⅱ）设出两点坐标，进而通过根与系数的关系与坐标公式进行化简，即可得到答案. （1）由题意，设圆心为，因为圆C过原点，所以半径r=a， 又圆C与直线相切， 所以圆心C到直线的距离（负值舍去），所以圆 C的标准方程为：. （2）（ⅰ）将直线l代入圆的方程可得：， 因为有两个交点， 所以，即k的取值范围是. （ⅱ）略 19．(1)； (2)138； (3)存在点，使得为定值. （1）设点，由题意可得，利用两点之间的距离公式化简整理可得； （2）先由的轨迹方程求出点的轨迹方程，利用两点间距离公式整理，从而转化为线性规划问题处理； （3）代入消元，韦达定理，整体思想代入，整理可得解. （1）设点，由题意可得，即， 化简可得， 所以点P的轨迹方程为； （2）设，由(1)得点满足的方程， 又点是点与点的中点，则，代入可得，即的轨迹为，设， 所以， 令，则，可视为直线即在y轴上的截距， 的最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最小值，即直线与圆相切时在y轴上的截距， 所以，所以， 因此的最大值为； （3）存在点，使得为定值. 当直线的斜率存在时，设其斜率为，则直线的方程为， 由，消去，得， 设，，则，， 又，， 则 要使上式恒为定值，需满足，解得，此时，为定值； 当直线的斜率不存在时，，， 由可得，所以， 综上所述，存在点，使得为定值. 学科网（北京）股份有限公司 $