练案11 第一章 1.4.2 第2课时用空间向量研究夹角问题-【成才之路·练案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（人教A版）

设B2=ABA,Ae(0,1), 则E(2入，2(1-A),2A), Ai=(-2,0,1),A2=(2(A-1),2(1-A),2), 设n=(x,y,z)为平面AED的法向量， 则"·Ad=0, 9ln.A正=0， 即2x+8=0, 12(入-1)x+2(1-A)y+2Az=0, 取1则y头-2 即m=(1,头，2)为平面4D的-个法向蛋 因为点A到平面AED的距离 d=10·n川26 Γ3 所以26 4 3 /1-3入) W5+(1-A) 又Ae(0,),所以A=分 故存在点E,且当点E为AB的中点时，点A,到平面AED的 距离为2,6 练案[11] 1.Da=0或a=T-0,且ue(0,号]，因而cosa=lcos01. 2C由已知得线面角的范围是[0，引：(a,m〉-1与 法向量所在直线所成的角为号1与α所成的角为石 3.B建立如图所示的空间直角坐标系， C 则E(0,1,0),C(0,2,0),B1(1,2,1),D1(0,0,1),EB=(1, 1,1),D1C=(0,2,-1),设异面直线EB1与D,C所成的角为 0,则cos0= 1EB·D,C1I1×0+1×2+1×(-1)1 1 EBIID,C1√2+12+1×√0+22+(-1) 5 15 4.D如图所示，建立空间直角坐标系，则D(0,0,0),A(2,0, 0),B(2,2,0),C(0,2,0),C(0,2,1), D2 X .BC=(-2,0,1).连接AC,易证AC⊥平面BBD,D,.平面 BBDD的一个法向量为AC=(-2,2,0)..BC与平面 —25 BB,D,D所成角的正弦值为Icos(AC,BC)1= IAC·BCI IACIIBCI 4 /10 22×5-5 5.B如图所示，建立空间直角坐标系， 设PA=AB=1,则A(0,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1).于是A= (0,10,取Pm的中点E,则E(0,7,7）正=(0， 分)，易知是平面PHB的法向量，正是平面P0D的法向 量1s(,1=会，：平面PB与平面PCD的夹角 为45°. 6.BCD若a⊥n,则直线l∥平面a或在平面&内，故选项A不 正确；若a∥n,则a也是平面a的一个法向量，所以直线lL 平面α，故选项B正确：直线与平面所成角的正弦值等于直线 与平面法向量夹角的余弦值的绝对值，所以若s(a,m)=方 则直线1与平面α所成角的大小为石，故选项C正确：若 csm)=怎，则平面a,B夹角的大小为名故选项D 正确 1. 在直三棱柱ABC-A1B,C1中，AA1⊥平面ABC,且ABL AC,以点A为坐标原点，AB,AC,AA所在直线分别为x轴、y 轴、z轴建立空间坐标系，如图所示， B D X 则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),A1(0,0,4),C(0,2,4), D(1,1,0),AD=(1,1,0),AC=(0,2,4),易知平面A1BA的 一个法向量为n=(0,1,0).设平面ADC,的法向量为m=(x, m·AD=0, y,2),则 0可得+y0,。令y=-2,则x=2. m.AC=-0,2y+4z=0, z=1.所以平面ADC,的一个法向量为m=(2,-2,1),设平面 ADC1与平面A,BA的夹角为0，则cos0=Icos(m,n〉I= 号引子所以平面0c,与平面A卧夹角的余弦值 为号 平面0y的一个法向量为n=(0,0,1).设平面a的法向 8.5 量为4=(x,y,z),又A=(-3,4,0),A2=(-3,0,a),则 「u·A2=0 即-3x+y=0即3x=4灯=，取：=1，则4 Lu·A=0,l-3x+z=0, (号，号，1）而1eosn,u1= 1 a d 9又：a> V9+16+1 0a号 9.【解析】取BD的中点O,连接OA,OC.由题意知OA,OC,BD 两两垂直. 以0为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示， y D B C 则B(1,0,0),D(-1,0,0),C(0,5,0),A(0,0,1), .Bi=(-1,0,1),C=(-1,-5,0), los(Bi,市)1=1B·cò-巨 1B11cD14 “异面直线奶与CD所成角的余弦值为泾 10.【解析】(1)因为AP⊥BE,AB⊥BE,AB,APC平面ABP,AB ∩AP=A, 所以BE⊥平面ABP. 又BPC平面ABP,所以BE⊥BP 又∠EBC=120°，因此∠CBP=30°. (2)以B为坐标原点，分别以BE,BP,BA所在的直线为x轴、 y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系 E2-“B 由题意得A(0,0,3),E(2,0,0),G(1,5,3),C(-1,W5,0), 故A正=(2,0，-3)，Ad=(1,5,0),C元=(2,0,3)， 设m=(x1,少1，z1)是平面AGE的一个法向量， m·AE=0,2x1-3z1=0, 由 可得 m…aG=0,lx+5y=0. 取z1=2,可得平面AGE的一个法向量m=(3,-5,2). 设n=(x2,y2,2)是平面ACG的一个法向量. *0 「n·AG=0, 取2=-2，可得平面ACG的一个法向量n=(3,-5,-2). —25 m·n1 所以cos(,n》=1mllm=2 因此平面AGE与平面ACG所成的角为60°. 11.B分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如 图所示的空间直角坐标系， D B 则A(1,0,0),B(1,1,0),D1(0,0,1),设E(0,t,1-t)(t∈[0， 1]),则AD=(-1,0,1),B2=（-1,t-1,1-t),因为直线 BE与0，所成角的余弦值为汽，所以1(0，应1= 1AD·BEI 11+1-划 AD1IB屁12·√个+(t-1)2+(1-t)月 2,解得t= 分所以成=(-1，分），成1=√1++日 .1 6 2 12.B建立如图所示的空间直角坐标系，由题意知△ABE为等 腰直角三角形， 设CD=1,则BE=1,AB=1,AE=√2.设BC=DE=2a,则 E(00.0).41,01).N(1,a,0),(分a,2）- (分0.-3）花=(-1,0，-1)…m.应=（分，0。 号)·(-1,0，-1)=0，花1，从面MN与AE所成 的角为90°. 13.5 5 如图，取BC的中点O,连接A0,D0,建立如图所示的 空间直角坐标系 设Bc=1,则4(0.0，)，B(0,-0）.c(0,70) D(50.0)所以威=(0，号号)励=(，) 市=（夸.-分0）设平面A8D的法向量为n=(x,, 则，”·耐=0， 分+县-0 r 1 所以 取x=1,则y=-5,z= In.BD=0, 5.1 +2=0. 1,所以m=(L,-5,1）,所以1cs(m,市1=，因此直 线D与平面4D所成角的正弦位为否 14.【解析】解法一：如图，取BC的中点O,连接OP,OA, 因为△ABC和△PBC均为等边三角形，所以AO⊥BC,PO⊥ BC,所以BC⊥平面PAO,从而平面PAO⊥平面ABC,且 ∠POA就是二面角P-BC-A的平面角，即∠P0A=120°，建 立空间直角坐标系如图所示.设AB=2,则A(5,0,0),C(0, -1.0)B01,0),P(-号0，），所以花=(-5，-1， 0防-（停1，）m(花，=正 IAC·PB1 ，所以异面直线PB与AC所成角的余弦值为令 5 解法二：如图所示，取BC的中点O,连接 OP,OA,因为△ABC和△PBC均为等边三 角形，所以A0⊥BC,PO L BC,所以∠POA A 就是二面角P-BC-A的平面角.设AB= 2,则A元=0元-Oi,P店=0i-0币，故A元. P=(0元-0i)·(oi-0)=0元.0-0元.0-0i· 成+o.亦-1-0-0+5×5×(-）=-各，所 、以cO(C,P吃》二AC:店=-名·即异面直线PB与AC 所成角的余整值为号 15.【解析】(1)在正方体ABCD-A1B,C,D1中，以DA,DC,DD1 所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图所示， D 设正方体ABCD-AB,CD,的棱长为2， 若E为棱AB,的中点， 则E(2,1,2),F(1,2,0),B(2,2,0),A1(2,0,2),C(0,2,2) 所以A1C=(-2,2,0),BA=(0,-2,2),F2=(1,-1,2). -256 设平面A1BC1的法向量为n=(x,y,z), n·A1C=0 则 即-2x+2y=0, n·BA=0,l-2y+2z=0, 令x=1,则n=(1,1,1) 设EF与平面A,BC1所成角为a, 则有sin&=leos(n,F它1=1n·F应则 InlF 2 5×6 3 故立线EF与早面ABC,所成角的正弦值为号 (2)设直线EF与AC,所成角为0， E(2,m,2)(0<m<2),则F2=(1,m-2,2). 所以cos0=lcos(A,C,F2)1= AC·F2I IA CIIFEI 12m-61 22·√(m-2)2+5 1 /m2-6m+9 2 Vm2-4m+9 m+9-4 m 因为0<m<2,所以m+9>13 5 m>5,m+9-4>), m 即写<1 2 <1, m+94 m 于是有L 2 5 < /1- -<1, 9 m+ .-4 m ·1-2 9 2 m+ -4 m 即D<cos0<号 10 故直线EF与A,C,所成角的余弦值的取值范围为 √10 10 2) 2 6.【解析】(1)证明：：四边形ABCD,CDGF,ADGE均为正 方形， ∴.GD⊥DA,GD⊥DC. 又DA∩DC=D,DA,DCC平面ABCD,∴.GD⊥平面ABCD. 以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系. A 则B(1,1,0),E(1,0,1),F(0,1,1). 点M在棱DG上，故可设M(0,0,t)(0≤t≤1) M2=(1,1,-t),E=(-1,1,0), :MB.EF=0,.'.BM L EF. (2)假设存在点M,使得直线MB与平面BEF所成的角 为45°. 设平面BEF的法向量为n=(x,y,z), B2=(0,-1,1),BF=(-1,0,1), 「n·BE=0, .「-y+z=0 ln·B=0,1-x+z=0, 令z=1,得x=y=1, ∴.n=(1,1,I)为平面BEF的一个法向量， 1cs(m,Mi1=m·M2=12-l Inl1Mi1√5×√2+☑ .:直线MB与平面BEF所成的角为45°， .'sin 45 I cos(n,MB)1, Bx方京竖， 12-t1 解得t=-4±32 又0≤t≤1，…t=32-4. ∴.存在点M(0,0,32-4). .当点M位于棱DG上，且DM=3√2-4时，直线MB与平 面BEF所成的角为45°. 练案[12] 1.DD项，因为x1=x2=-2,所以直线垂直于x轴，倾斜角为 90°，斜率不存在， 2.D如图1，当1向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90° +;如图2，当1向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90° -a. 图1 图2 3.Bka=,E万3，·am0=3且0°≤0<1801 ..0=30° 4C~直线的斜率ke(-0,万]k≤m号该直线的倾 斜角α的取值范围是[0，U(受，π）】 5.A设直线1，b2,的倾斜角分别为a1,2,a3,则由图知0°< a3<a2<90°<a1<180°，所以tana1<0,tana2>tana3>0, 即k1<0,k>k3>0. 6D斜率为k=~子的直线的一个方向向量为a (1,-子），所以与a共线的非零向量都可以作为该直线的 方向向量.经验证D中向量与(1，-号)共线， 7.石由直线1经过(1,0)，(2,5)两点，则直线1的斜率k= )=5,设直线m的倾斜角为&，所以直线m的斜率三 25 ma-厚因为0≤<所以a=若 8.(3,0)或(0，-3)若点P在x轴上，设点P的坐标为(x,0), 则k=0-(,=tam45°=1，解得x=3,所以P(3,0).若点P x-2 在y轴上，设点P的坐标为(0，y),则6=Y（,=am450 0-2 =1,解得y=-3,所以P(0,-3)综上，P为(3,0)或(0， -3). 9.【解析】(1)若直线l与x轴平行， 则直线1的斜率k=-m=0,m=l. m+1 (2)若直线1与y轴平行， 则直线l的斜率不存在，∴.m=-1. (3)直线1的一个方向向量的坐标为(3,1)， 故分即骨宁每得网宁 (4)由题意可知，直线l的斜率k=1, 即1-m=1,解得m=0. m+1 (5)由题意可知，直线l的斜率k>0, >0, 解得-1<m<1. 10.【解析】在菱形OBCD中，OD∥BC,∠B0D=60°， 所以直线OD,BC的倾斜角相等，都为60°， 所以kD=kgc=tan60°=√5. 因为CD∥OB,且OB在x轴上 所以直线OB,CD的倾斜角相等，都为0°， 所以koB=kcD=0, 由菱形的性质，知∠COB=30°，∠OBD=60°， 所以直线OC,BD的倾斜角分别为30°，120°， 所以ke=1an30°=号，6o=an120°=-6 11.D如图，ko4=2,k=0,只有当直 线落在图中所示位置时才符合题 意，故k∈[0,2].故直线l的斜率k 的最大值为2. =2,km=2 12.Akp=2-1 -3-1 会如图，又直线1与线段8始终 没有交点，斜率k的取值范围是 (2 y 2 -3-2☑0123x -2 -3 13.B由直线的倾斜角α的取值范围是（平，买），得直线的 斜率存在时，k<-1或k>1.当m≠2时，k=3-)=2 m-2m-21练案[11]第-章1.41.4.2[第 A组·基础巩固 1.两异面直线，2的方向向量分别是y1,2,若 y1与所成的角为0，直线1,12所成的角为 a,则 A.a=0 B.a=T-0 C.cos 0=I cos al D.cos a=Icos el 2.设直线1与平面ax相交，且l的方向向量为a, a的法向量为n,若a,m>,则1与a所成 的角为 x罗 B牙 c D.T 6 3.已知长方体ABCD-AB,C,D1中，AB=2AA1= 2BC=2,E是CD的中点，则异面直线EB,与 D,C所成角的余弦值为 A 3 B.5 15 4.如图所示，在长方体ABCD-AB,C,D1中， AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB,D1D所 成角的正弦值为 A.6 3 B2⑤ 5 C.⑤ D.10 5 5.已知正方形ABCD所在平面外一点P,PA⊥平 面ABCD,若PA=AB,则平面PAB与平面PCD 的夹角为 A.30° B.45o C.60° D.90° 6.（多选)直线1的方向向量为a,两个平面a,B 的法向量分别为n,m,则下列命题为真命题的 是 A.若a⊥n,则直线l∥平面ax B.若a∥n,则直线l⊥平面ax C若cos(a,m)=,则直线1与平面a所成角 的大小为四 6 D若cs(m,m)=匀.则平面a,B夹角的大小 为婿 2课时用空间向量研究夹角问题] 7.如图，在直三棱柱ABC-AB,C,中，AB⊥AC, AB=AC=2,AA1=4,点D是BC的中点，则平 面ADC,与平面A,BA夹角的余弦值 为 D 8.在空间中，已知平面过A(3,0,0)和B(0,4, 0)及z轴上一点P(0,0,a)(a>0),如果平面 ax与平面0xy的夹角为45°，则a= 9.如图所示，在四面体ABCD中，CA=CB=CD= BD=2,AB=AD=√2.求异面直线AB与CD所 成角的余弦值. 7 10.如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形13.如图，正三角形ABC与正三角形BCD所在的 ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转 平面互相垂直，则直线CD与平面ABD所成 轴旋转120°得到的，G是DF的中点. 角的正弦值为 A G D D 14.在三棱锥P-ABC中，△ABC和△PBC均为 等边三角形，且二面角P-BC-A的大小为 (1)设P是CE上的一点，且AP⊥BE,求 120°，求直线PB和AC所成角的余弦值. ∠CBP的大小； (2)当AB=3,AD=2时，求平面AGE与平面 ACG所成角的大小. B组·综合运用 11.已知正方体ABCD-AB,C,D,的棱长为1，点 E在线段CD1上，若直线BE与AD,所成角 的余弦值为则线段BE的长为 ( A3② 4 B. c D.√2 12.如图所示，M,N是直角梯形ABCD两腰的中 点，DE⊥AB于E,现将△ADE沿DE折起，使 平面ADE与平面BDE的夹角为45°，此时点 A在平面BCDE内的射影恰为点B,则M,N 的连线与AE所成的角的大小为 D A.45° B.90°C.135° D.150° 148 C组·拓展提升 16.已知几何体EFG-ABCD,如图所示，其中四 15.如图，在正方体ABCD-AB,C,D1中，E为棱 边形ABCD,CDGF,ADGE均为正方形，且边 AB,上一点（不含端点），F为棱BC的中点， 长均为1，点M在棱DG上. D (1)求证：BM⊥EF; (1)若E为棱AB,的中点，求直线EF与平 (2)是否存在点M,使得直线MB与平面BEF 面ABC,所成角的正弦值； 所成的角为45°？若存在，确定点M的位 (2)求直线EF与AC1所成角的余弦值的取 置；若不存在，请说明理由. 值范围. -149