精品解析：山东济宁市第十五中学2026-2027学年上学期“启•合”拔尖创新摸底选拔 九年级数学试卷

济宁市第十五中学“启·合”拔尖创新摸底选拔初四数学试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列函数是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，的顶点均在正方形网格的格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 将抛物线向上平移1个单位,再向右平移2个单位,则平移后的抛物线为（　　） A. B. C. D. 4. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数图象的开口向下 B. 函数图象的顶点坐标是 C. 该函数的最大值是 D. 当时，y随x的增大而增大 5. 如图，一棵垂直于地面的大树被台风拦腰刮断，树根到刮断点的距离是5米，折断部分与地面成的夹角，那么原来树的高度是（ ）米 A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 二次函数与一次函数，它们在同一直角坐标系中的图象大致是（ ） A. B. C. D. 8. 抛物线过三点，则大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，学生甲在凉亭处测得湖心岛在其南偏西的方向上，又从处向正东方向行驶300米到达凉亭处，测得湖心岛在其南偏西的方向上，则凉亭与湖心岛之间的距离为（ ） A. 150 B. C. D. 10. 如图，在中，，点在的延长线上，连接，若，，则的值为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 在函数中，自变量的取值范围是______． 12. 如图,圆O的半径为2.C是函数y=x的图象,C是函数y=−x的图象，则阴影部分的面积是___. 13. 抛物线的顶点坐标为________． 14. 如图，某拦水大坝的横断面为梯形，为梯形的高，其中迎水坡的坡角，坡长m，背水坡CD的坡度，则背水坡的坡长为______m． 15. 我们定义一种新函数，形如的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数的图象（如图所示），并写出下列四个结论，其中不正确的结论是_______． ①图象与y轴的交点为 ②图象具有对称性，对称轴是直线 ③当或时，函数值y随x值的增大而增大 ④当时，函数的最大值是4 三、解答题（共5小题，共55分） 16. 求下列各式的值： （1） （2） 17. 如图，在中，，是边上一点，连接，，． （1）求的长． （2）求的值． 18. 如图，已知抛物线y=－x2+mx+3与x轴交于点A、B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为（3，0），抛物线与直线y=－x+3交于C、D两点．连接BD、AD． （1）求m的值． （2）抛物线上有一点P，满足S△ABP=4S△ABD，求点P的坐标． 19. 关于三角函数有如下的公式： ；① ；② ；③ 利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值． 根据上面的内容，你可以选择适当的公式解决下面的问题： （1）试求的值； （2）如图所示，直升机在一建筑物上方的点处测得建筑物顶端点的俯角为，底端点的俯角为，此时直升机与建筑物的水平距离为，求建筑物的高． 20. 定义：两个二次项系数之和为1，对称轴相同，且图像与y轴交点也相同的二次函数互为友好同轴二次函数．例如的友好同轴二次函数为． （1）求函数的友好同轴二次函数； （2）当时，函数（且）的友好同轴二次函数有最大值5，求a的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 济宁市第十五中学“启·合”拔尖创新摸底选拔初四数学试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列函数是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的定义，根据定义解题即可． 【详解】解：．是一次函数，故本选项不符合题意； ．，时，为一次函数，故本选项不符合题意； ．，为一次函数，故本选项不符合题意； ．，为二次函数，故本选项符合题意； 故选：D． 2. 如图，的顶点均在正方形网格的格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查网格中的三角函数值，过点作，等积法求出的长，利用正弦的定义，进行求解即可．解题的关键是构造直角三角形． 【详解】解：过点作， 由图可知：， ∴， ∴， ∴； 故选A． 3. 将抛物线向上平移1个单位,再向右平移2个单位,则平移后的抛物线为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解:∵将抛物线y=2x2向上平移1个单位再向右平移2个单位， ∴平移后的抛物线的解析式为：y=2（x-2）2+1． 故选B． 4. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数图象的开口向下 B. 函数图象的顶点坐标是 C. 该函数的最大值是 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了的图象性质，根据顶点坐标为，对称轴，开口方向，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、因为中的，函数图象的开口向上，故该选项是错误的； B、因为，所以函数图象的顶点坐标是，故该选项是错误的； C、因为，函数图象的开口向上，该函数的最小值是，故该选项是错误的； D、因为对称轴，，函数图象的开口向上，当时，y随x的增大而增大，故该选项是正确的； 故选：D 5. 如图，一棵垂直于地面的大树被台风拦腰刮断，树根到刮断点的距离是5米，折断部分与地面成的夹角，那么原来树的高度是（ ）米 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】原来树的长度是的长．已知的值，可在中，根据的度数，通过解直角三角形求出的长． 【详解】解：∵在中，，米， ∴． ∴米． 6. 如图，在中，，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先在中利用勾股定理求出，再根据同角的余角相等得出，进而利用锐角三角函数关系即可求出的值．得出是解题关键． 【详解】解：在中， ， ， ， ， ， ． 7. 二次函数与一次函数，它们在同一直角坐标系中的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数图象与一次函数图象共存的问题，从二次函数图象出发逐个分析的符号以及与轴的交点位置，再与一次函数图象得出的符号进行比较，从而可得结论． 【详解】解：A、由抛物线知，，；由直线知，，都经过，故本选项正确； B、由抛物线知，，；由直线知，，故本选项错误； C、由抛物线知，，；由直线知，，故本选项错误； D、由抛物线知，，；由直线知，，故本选项错误． 故选：A． 8. 抛物线过三点，则大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了比较抛物线上各点纵坐标的大小． 利用开口方向及点到对称轴的距离判断即可． 【详解】解：抛物线的顶点为，开口向上， ∴点离对称轴越远，纵坐标越大． 计算各点横坐标到对称轴的距离： 时，距离为， 时，距离为， 时，距离为， 距离由大到小为， ∴对应纵坐标． 故选A． 9. 如图，学生甲在凉亭处测得湖心岛在其南偏西的方向上，又从处向正东方向行驶300米到达凉亭处，测得湖心岛在其南偏西的方向上，则凉亭与湖心岛之间的距离为（ ） A. 150 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，灵活运用锐角三角函数是解题关键．过点作与点，利用锐角三角函数求出米，米，再求出米，即可求解． 【详解】解：如图，过点作与点， ， ， ， ， 在中，，米， 米，米， ， ， ， 在中，米， 米， 故选：B． 10. 如图，在中，，点在的延长线上，连接，若，，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作辅助线如图，根据相似三角形的判定与性质得到，设，利用正切的定义得到，即可解答． 【详解】解：过点作，交的延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，，设， ∴，, ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，锐角三角形函数，掌握相似三角形的性质和判定是解题的关键． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 在函数中，自变量的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质，被开方数必须大于或等于零，再进一步求解即可． 【详解】解：由题意可得：， 解得：． 故答案为： 12. 如图,圆O的半径为2.C是函数y=x的图象,C是函数y=−x的图象，则阴影部分的面积是___. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆和二次函数图象的对称性，用割补法和圆的面积公式，即可求解. 【详解】把轴下方阴影部分关于轴对称后，原图形阴影部分的面积和，变为一个半圆的面积，即 【点睛】利用图形的对称性，把不规则的阴影部分，补成规则的图形，再用圆的面积公式求解. 13. 抛物线的顶点坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】将抛物线的一般形式转化为顶点式，即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线， ∴抛物线的顶点坐标为． 14. 如图，某拦水大坝的横断面为梯形，为梯形的高，其中迎水坡的坡角，坡长m，背水坡CD的坡度，则背水坡的坡长为______m． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、坡度坡角问题等知识点，根据图示确定在哪个直角三角形中进行解直角三角形是解题的关键． 先根据坡角，坡长米求得的长，从而知的长，再根据背水坡CD的坡度得到∠C的度数，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求得的长即可． 【详解】解：∵迎水坡的坡角，坡长m， ∴（米）， ∴， ∵背水坡CD的坡度，， ∴， ∴， ∴（米）． 故答案为12． 15. 我们定义一种新函数，形如的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数的图象（如图所示），并写出下列四个结论，其中不正确的结论是_______． ①图象与y轴的交点为 ②图象具有对称性，对称轴是直线 ③当或时，函数值y随x值的增大而增大 ④当时，函数的最大值是4 【答案】④ 【解析】 【分析】求得函数与y轴的交点坐标，可判断选项①；从图象可以看出图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线，可判断选项②；根据函数的图象和性质，发现当或时，函数值y随x值的增大而增大，可判断选项③；函数图象不存在最大值；据此可得出答案． 【详解】解：当时，； ∴图象与y轴的交点为， ∴选项①是正确的，不符合题意； 从图象可知图象具有对称性，对称轴是直线， ∴选项②是正确的，不符合题意； 根据函数的图象和性质，发现当或时，函数值y随x值的增大而增大， ∴选项③是正确的，不符合题意； 根据函数的图象发现，函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，最小值为， 不存在最大值， ∴选项④是错误的，符合题意． 三、解答题（共5小题，共55分） 16. 求下列各式的值： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查实数的综合运算能力，特殊角的三角函数值． （1）代入各个特殊角的三角函数值计算即可； （2）代入各个特殊角的三角函数值计算即可． 【小问1详解】 【小问2详解】 17. 如图，在中，，是边上一点，连接，，． （1）求的长． （2）求的值． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】（1）在中利用正弦的定义求出的长，再利用勾股定理即可求解； （2）根据等腰三角形三线合一性质得到，得出，在中利用正切的定义即可求解． 【小问1详解】 解：∵ ∴， 在中，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， 由（1）得，，， ∴在中，． 18. 如图，已知抛物线y=－x2+mx+3与x轴交于点A、B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为（3，0），抛物线与直线y=－x+3交于C、D两点．连接BD、AD． （1）求m的值． （2）抛物线上有一点P，满足S△ABP=4S△ABD，求点P的坐标． 【答案】（1）m=2 ；（2）P（1+，－9）或P（1－，－9） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题； （2）利用方程组首先求出点D坐标．由面积关系，推出点P的纵坐标，再利用待定系数法求出点P的坐标即可． 【详解】解：（1）∵抛物线y=-x2+mx+3过（3，0）， ∴0=-9+3m+3， ∴m=2 （2）由，得，， ∴D（，-）， ∵S△ABP=4S△ABD， ∴AB×|yP|=4×AB×， ∴|yP|=9，yP=±9， 当y=9时，-x2+2x+3=9，无实数解， 当y=-9时，-x2+2x+3=-9，解得：x1=1+，x2=1-， ∴P（1+，-9）或P（1-，-9）． 19. 关于三角函数有如下的公式： ；① ；② ；③ 利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值． 根据上面的内容，你可以选择适当的公式解决下面的问题： （1）试求的值； （2）如图所示，直升机在一建筑物上方的点处测得建筑物顶端点的俯角为，底端点的俯角为，此时直升机与建筑物的水平距离为，求建筑物的高． 【答案】（1） （2）建筑物的高为米 【解析】 【分析】（1）根据题目中给出的三角函数公式，根据，列出算式，即可得到答案； （2）过点作于点，证明四边形是矩形，得到，，根据，利用三角函数解得米，由（1）中结论，根据，利用三角函数解得米，进而得到的高度． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：如图，过点作于点， 由题意可知，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵在中，， ∴（米）， ∵在中，， ∴， 由（1）可知，， （米）， （米）． 答: 建筑物的高为米． 20. 定义：两个二次项系数之和为1，对称轴相同，且图像与y轴交点也相同的二次函数互为友好同轴二次函数．例如的友好同轴二次函数为． （1）求函数的友好同轴二次函数； （2）当时，函数（且）的友好同轴二次函数有最大值5，求a的值． 【答案】（1） （2）的值为或 【解析】 【分析】（1）根据抛物线解析式可得抛物线中，，的值，然后根据定义求解． （2）求出函数且的友好同轴二次函数，分类讨论开口方向求解． 本题考查二次函数的图像性质，二次函数的综合应用，解题关键是理解题意，根据已经解析式求出其友好同轴二次函数，弄清定义是解题的关键． 【小问1详解】 解： 中，对称轴为直线，， 的友好同轴二次函数中，对称轴为直线，， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：的对称轴为直线， 函数的友好同轴二次函数为， 其顶点坐标为， 当，函数最大值为， 解得； 当时，抛物线开口向上， ， 时，为最大值， ， 解得； 综上所述：的值为或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $