练案33 第四章 4 指数函数，幂函数，对数函数增长的比较-【成才之路·练案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（北师大版）

..-1<x<1 连续生长10年，木材量N=Q(1+18%)(1+10%); .函数fx)的定义域为(-1,1) 生长5年后出售再重新栽树木，木材量M=2Q(1+18%)5 设任意x1,x2e(-1,1),且x1<x2, 则兴-a+i万 2 f(x2)-f(x）=ln(1+x2)+h(1-:）-ln(1+x1)- ln(1-x)=ln(1-x)-ln(1-x) M (1+10%)'≈1.61<2，N>1,即M>N 当-1<x<x2<0时，>号，1-x<1-好， 因此，生长5年后重新栽树木可获得较大的木材量 .ln(1-x)>n(1-x), B组素养提升 .ln(1-x2)-ln(1-x)>0, :1.D方法一：相邻的自变量之差大约为1，相邻的函数值之差 fx2)-fx)>0,f(x2）>fx1), 大约为2.5,3.5,4.5,6，基本上是逐渐增加的，二次函数模型 .f(x)在(-1,0)上是增函数， 的拟合程度最好，故选D 当0≤x1<x2<1时， 方法二：比较四个函数值的大小，可以采用特殊值代入法.可 x好<号，1-x>1-x2, 取x=4,经检验易知选D .ln(1-x)>ln(1-x), :2.AC在区间(0，+∞)上，指数函数y=a(0<a<1)和对数函 .ln(1-x)-ln(1-x)<0, 数y=ogx(0<b<1)都是减函数，它们的衰减速度都是先快 .f(x2)-f(x1)<0,∴.f(x2)<f(x1), 后慢，故选AC. .f代x)在[0,1)上是减函数： 3.④①③②A容器下粗上细，水高度的变化先慢后快， 综上可知，函数f(x)在(-1,0)上是增函数，在(0,1)上是减函数 故与④对应：B容器为球形，水高度变化为快一慢一快，应与 ①对应；C,D容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线 练案[33] 型，但C容器细，D容器粗，故水高度的变化为：C容器快，与 A组基础自测 ③对应，D容器慢，与②对应. 1.C通过所给数据可知y随x增大而增大，其增长速度越来越 4.e6-1设M=tm,则有2000ln(1+t)=12000, 快，而AD中的函数增长速度越来越慢，B中的函数增长速度 即n(1+t)=6解得t=e6-1. 保持不变，故选C. 5.由题意得，ae“=a-ae,即。=分，设再过1分钟水桶甲中 2.A由图象知，在不同时段内，路程折线图不同，故对应的函数 模型为分段函数，故选A 的水只有g,得ae6》= 8 3.C对于A中的函数，当x=3或4时，误差较大； 11 对于B中的函数，当x=3或4时，误差也较大； 所以e+5)=1 =8=(2) =e1, 对于C中的函数，当x=1,2,3时，误差为0，x=4时，误差为 ∴.t+5=15,.t=10, 10,误差较小： 对于D中的函数，当x=2,3,4时，据函数关系式得到的结果 “再过10分钟水桶甲中的水只有令 与实际值相差都很远，综上，只有C中的函数误差最小，故6.(1)由题意得。=4，少=3.94， 选C. 所以当n=1时，y=%-(y0-y)×55+ 4.C即时价格若一直下跌，则平均价格也应该一直下跌，故排 即3.94=4-(4-3.94)×515+b,解得b=-1.5. 除A,D:即时价格若一直上升，则平均价格也应一直上升，排 (2)由(1)得，yn=4-0.06×5m-15 除B(也可以由x从0开始增大时，f(x)与g(x)应在y轴上有 若是企业所排放的废气中含有的污染物数量每立方米不能超 相同起点，排除A,D).故选C 过2.08mg, 5.y=x2当x变大时，x比lnx增长要快，.x2比xnx增长得 则4-0.06×51.5m=15≤2.08，整理得，55m-15≥32 要快 两边同时取常用对数，得1.5n-1,5≥g32 1g5 4 由log。x+21og.a+logy=-3,得log.x+bg,+ig 5lg 2 =-3(x>0,y>0,x≠1)， 整理得，1.5n≥1g2+1.5,将1g2≈0.3代人，得n>2.2, 整理可得logy=-(logx)2-3logx-2. 又因为neN,所以n≥3. 综上，至少进行3次改良工艺后才能使得该企业所排放的废 设1=0).则有吧-（+)广+子 气中含有的污染物数量达标， 因为a>1,所以当1=多时，y取得最大值反， 练案[34] 即。万=}，解得a=4,从而g=-,即x=4 3 A组 基础自测 1.B函数fx)=x2+的定义域为xlx≠0}，令f代x)=x2+ 7.设新树苗的木材量为Q,则10年后有两种结果： =0,即2=-1，解得x=-1,所以函数x)=+的零 -352练案[33] 第四章§4指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 b组·基础自测 一、选择题 1.有一组实验数据如下表所示： 2 3 4 5 y 1.5 5.9 13.4 24.1 37 下列所给函数模型较适合的是 A.y=logx(a >1) 二、填空题 B.y=ax+b(ax1) 5.函数y=x2与函数y=xlnx在区间(0，+) C.y=ax+b(ax0) 上增长较快的一个是 D.y=log x+b(a>1) 6.设常数a>1,实数x,y满足logx+2log.a+logy 2.一辆汽车在某路段中的行驶路程s关于时间t 变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数 =-3,y的最大值为√2，则a的值为 ,x 模型是 的值为 230t 三、解答题 2200 7.对于5年可成材的树木，在此期间的年生长率 2100 2000 为18%，以后的年生长率为10%.树木成材 01234i 后，即可出售，然后重新栽树木：也可以让其继 A.分段函数 B.二次函数 C.指数函数 D.对数函数 续生长问：哪一种方案可获得较大的木材量 3.某电视新产品投放市场后第一个月销售100 (注：只需考虑10年的情形)？ 台，第二个月销售200台，第三个月销售400 台，第四个月销售790台，则下列函数模型中 能较好地反映销量y与投放市场的月数x(1≤ x≤4，x∈N*)之间关系的是 ( A.y=100x B.y=50x2-50x+100 C.y=50×2 D.y=100 4.在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价 格变化情况，一种是即时价格曲线y=八x),另 一种是平均价格曲线y=g(x),如f(2)=3表 示股票开始买卖后2小时的即时价格为3元； g(2)=3表示2小时内的平均价格为3元，下 面给出了四个图象，实线表示y=f(x),虚线表 示y=g(x),其中最有可能正确的是() —237 8组·素养提升 水桶乙中，tmin后剩余的水符合指数衰减曲线 y=aem,假设过5min时水桶甲和水桶乙的 一、选择题 水相等，求再过多长时间水桶甲中的水只 1.某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组 试验数据如表： 有 1.99 5.16.12 1.5 4.04 7.5 12 18.01 对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟 合程度最好的是 ) A.y=2x-2 By=( C.y=log2x D.y=2(x-1) 1 2.(多选题)下面对函数f(x)=logx与g(x)=6.节约资源和保护环境是中国的基本国策，某化 (分)在区间(0，+)上的衰减情况的说法 工企业积极响应国家要求，探索改良工艺，使 排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少，已 中正确的是 知改良工艺前所排放的废气中每立方米污染 A.f(x)的衰减速度越来越慢 物数量yo=4mg,首次改良后所排放的废气中 B.f(x)的衰减速度越来越快 每立方米污染物数量为y1=3.94mg.第n次 C.g(x)的衰减速度越来越慢 改良后所排放的废气中每立方米污染物数量 D.g(x)的衰减速度越来越快 为yn,可由函数模型yn=y。-（yo-y1)× 二、填空题 55n+b(b∈R,n∈N*)给出，其中n是指改良 3.生活经验告诉我们，当水注入容器（设单位时 工艺的次数， 间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变 (1)求b的值； 化而变化，在下图中请选择与容器相匹配的图 (2)依据国家环保要求，企业所排放的废气中 象，A对应 ;B对应 ;C对应 含有的污染物数量每立方米不能超过 :D对应 2.08mg,试问至少进行多少次改良工艺后才 能使得企业所排放的废气中含有的污染物数 量达标.（参考数据：lg2≈0.3） 水 局度 0时间 O时间 0时间O时间 ① ④ 4.在不考虑空气阻力的情况下，火箭（除燃料外） 的质量mkg、火箭的最大速度vm/s和燃料的 质量Mkg的函数关系是u=20o1n1+ .当 m 燃料质量是火箭质量的 倍时，火箭 的最大速度可达12km/s. 三、解答题 5.有甲、乙两个水桶，开始时水桶甲中有aL水， 水桶乙中无水，水通过水桶甲的底部小孔流入 —238