4.3.3对数函数图象和性质的应用第二课时同步练习 -2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

**基本信息** 聚焦对数函数图象与性质应用，通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，实现从单一知识点到综合问题解决的递进，培养数学抽象与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|定义域、值域、奇偶性|选择填空为主，直接应用概念，强化基础推理| |能力提升|单调性综合、函数性质灵活运用|多选与中档填空，结合分类讨论，发展抽象思维| |综合应用|参数问题、实际应用与证明|解答题为主，需综合分析，培养数学表达与模型意识|

第二课时　对数函数图象和性质的应用 1.函数f（x）＝log2（3x＋1）的值域为（　　） A.（0，＋∞）　　　　　 B.[0，＋∞） C.（1，＋∞）　 D.[1，＋∞） 2.若函数f（x）＝ax＋loga（x＋1）在[0，1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值为（　　） A.　 B. C.2　 D.4 3.已知函数f（x）＝loga（2＋x），g（x）＝loga（2－x），其中a＞0且a≠1，则函数F（x）＝f（x）＋g（x），G（x）＝f（x）－g（x）的奇偶性是（　　） A.F（x）是奇函数，G（x）是奇函数 B.F（x）是偶函数，G（x）是奇函数 C.F（x）是偶函数，G（x）是偶函数 D.F（x）是奇函数，G（x）是偶函数 4.函数y＝lo（－3＋4x－x2）的单调递增区间是（　　） A.（－∞，2）　 B.（2，＋∞） C.（1，2）　 D.（2，3） 5.若点（a，b）在函数y＝lg x的图象上，a≠1，则下列点也在此图象上的是（　　） A.（，b）　 B.（10a，1－b） C.（，b＋1）　 D.（a2，2b） 6.（多选）关于函数f（x）＝lg ，正确的结论是（　　） A.函数f（x）的定义域是（0，＋∞） B.函数f（x）是奇函数 C.函数f（x）的最小值为－lg 2 D.当0＜x＜1时，函数f（x）单调递增；当x＞1时，函数f（x）单调递减 7.函数y＝lo（1－x2）的单调递减区间是　　　；其值域是　　　　. 8.写出一个同时具有下列性质①②③的函数：f（x）＝　　　　 　. ①f（x）在区间（0，＋∞）上单调递增； ②f（x）的值域为R； ③f（x）为偶函数. 9.已知定义域为R的偶函数f（x）在区间[0，＋∞）上单调递增，且f＝0，则不等式f（log4x）＜0的解集是　　　　. 10.已知函数f（x）＝lg（x＋2）－lg（2－x）. （1）求f（x）的定义域； （2）判断f（x）的奇偶性并予以证明； （3）求不等式f（x）＞1的解集. 11.设函数f（x）＝ln｜2x＋1｜－ln｜2x－1｜，则f（x）（　　） A.是偶函数，且在单调递增 B.是奇函数，且在单调递减 C.是偶函数，且在单调递增 D.是奇函数，且在单调递减 12.设函数f（x）＝则满足不等式f（x）＋f（x－）＞2的x的取值范围是（　　） A.（，＋∞）　 B.（，1］ C.（1，］　 D.（，＋∞） 13.已知函数f（x）＝｜lg x｜＋2，若实数a，b满足b＞a＞0，且f（a）＝f（b），则a＋2b的取值范围是　　　　. 14.已知函数f（x）＝log4（ax2＋2x＋3）. （1）若f（1）＝1，求f（x）的单调区间； （2）是否存在实数a，使f（x）的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由. 15.（多选）已知函数f（x）＝loga（x＋1），g（x）＝loga（1－x）（a＞0，且a≠1），则（　　） A.函数f（x）＋g（x）的定义域为（－1，1） B.函数f（x）＋g（x）的图象关于y轴对称 C.函数f（x）＋g（x）在定义域上有最小值0 D.函数f（x）－g（x）在区间（0，1）上单调递减 16.定义在区间D上的函数f（x）满足：若对任意x1，x2∈D，都有f≥[f（x1）＋f（x2）]，则称f（x）是D上的上凸函数. （1）判断函数y＝是否为上凸函数？为什么？ （2）若函数f（x）＝logax在（0，＋∞）上是上凸函数，求a的取值范围； （3）在（2）的条件下，当x∈（0，1]时，不等式f（mx2＋x）≤0恒成立，求实数m的取值范围. 第二课时　对数函数图象和性质的应用 1.A　∵3x＞0，∴3x＋1＞1.∴log2（3x＋1）＞0.∴函数f（x）的值域为（0，＋∞）. 2.B　当a＞1时，a＋loga2＋1＝a，loga2＝－1，a＝，与a＞1矛盾；当0＜a＜1时，1＋a＋loga2＝a，loga2＝－1，a＝. 3.B　F（x），G（x）的定义域为（－2，2）.∵F（－x）＝loga（2－x）＋loga（2＋x）＝F（x），G（－x）＝loga（2－x）－loga（2＋x）＝－G（x），∴F（x）是偶函数，G（x）是奇函数. 4.D　由－3＋4x－x2＞0，得x2－4x＋3＜0，得1＜x＜3.设t＝－3＋4x－x2，其图象的对称轴为x＝2.∵函数y＝lot在（0，＋∞）上为减函数，∴要求函数y＝lo（－3＋4x－x2）的单调递增区间，即求函数t＝－3＋4x－x2，1＜x＜3的单调递减区间，∵函数t＝－3＋4x－x2，1＜x＜3的单调递减区间是（2，3），∴函数y＝lo（－3＋4x－x2）的单调递增区间为（2，3），故选D. 5.D　因为点（a，b）在函数y＝lg x的图象上，所以b＝lg a.当x＝时，有y＝lg ＝－lg a＝－b，所以点（，b）不在此函数的图象上，A不正确；当x＝10a时，有y＝lg（10a）＝1＋lg a＝1＋b，所以点（10a，1－b）不在此函数的图象上，B不正确；当x＝时，有y＝lg ＝1－lg a＝1－b，所以点（，b＋1）不在此函数的图象上，C不正确；当x＝a2时，有y＝lg a2＝2lg a＝2b，所以点（a2，2b）在此函数的图象上，D正确. 6.AD　由＞0知函数f（x）的定义域是（0，＋∞），则函数f（x）是非奇非偶函数，所以A正确，B错误；f（x）＝lg ＝－lg≤－lg 2，即函数f（x）的最大值为－lg 2，所以C错误；令y＝x＋，当0＜x＜1时，该函数单调递减；当x＞1时，该函数单调递增.而函数y＝lg x在（0，＋∞）是增函数，所以D正确. 7.（－1，0）　（0，＋∞）　解析：函数y＝lo（1－x2）的定义域是（－1，1）.函数t＝1－x2在（－1，0）上单调递增，在（0，1）上单调递减，且值域是（0，1），而y＝lot在（0，＋∞）上是减函数，因此函数y＝lo（1－x2）的单调递减区间是（－1，0），其值域是（0，＋∞）. 8.ln｜x｜（答案不唯一）　解析：f（x）＝ln｜x｜＝为偶函数，在（0，＋∞）上单调递增，且值域为R，满足题中条件. 9.　解析：由题意可知，f（log4x）＜0⇔－＜log4x＜⇔＜x＜⇔＜x＜2. 10.解：（1）要使函数f（x）有意义， 则解得－2＜x＜2. 故所求函数f（x）的定义域为（－2，2）. （2）f（x）为奇函数，证明如下： 由（1）知f（x）的定义域（－2，2）关于原点对称， 设任意的x∈（－2，2），则－x∈（－2，2）， 且f（－x）＝lg（－x＋2）－lg（2＋x）＝－f（x）， 故f（x）为奇函数. （3）因为f（x）在定义域（－2，2）上是增函数， 所以f（x）＞1⇔＞10，解得x＞. 所以不等式f（x）＞1的解集是. 11.D　由得函数f（x）的定义域为∪∪，其关于原点对称，因为f（－x）＝ln｜2（－x）＋1｜－ln｜2（－x）－1｜＝ln｜2x－1｜－ln｜2x＋1｜＝－f（x），所以函数f（x）为奇函数，排除A、C；当x∈时，f（x）＝ln（2x＋1）－ln（1－2x），易知函数f（x）单调递增，排除B；当x∈时，f（x）＝ln（－2x－1）－ln（1－2x）＝ln＝ln（1＋），易知函数f（x）单调递减，故选D. 12.D　由已知f（x）是R上的增函数，当x＞1时，f（x）＞2，当x－＞1，即x＞时，不等式f（x）＋f（x－）＞2成立；当1＜x≤时，f（x）＝log2（x＋3）＞2，f（x－）＝4（x－）－2＝4x－3＞0，不等式f（x）＋f（x－）＞2成立；当x≤1时，f（x）＋f（x－）＝4x－2＋4（x－）－2＞2，解得x＞，所以＜x≤1.综上，满足不等式的x的取值范围为（，＋∞）. 13.（3，＋∞）　解析：由f（x）的图象可知，0＜a＜1＜b， 又f（a）＝f（b），因此｜lg a｜＝｜lg b｜，于是lg a＝－lg b，则b＝，所以a＋2b＝a＋，设g（a）＝a＋（0＜a＜1）.因为g（a）在（0，1）上单调递减，所以g（a）＞g（1）＝3，即a＋＞3，所以a＋2b的取值范围是（3，＋∞）. 14.解：（1）∵f（1）＝1，∴log4（a＋5）＝1，∴a＋5＝4，得a＝－1， ∴f（x）＝log4（－x2＋2x＋3）. 由－x2＋2x＋3＞0，得－1＜x＜3， 即函数f（x）的定义域为（－1，3）. 令g（x）＝－x2＋2x＋3， 则g（x）在（－1，1）上单调递增，在（1，3）上单调递减. 又y＝log4x在（0，＋∞）上是增函数， ∴f（x）的单调递增区间是（－1，1），单调递减区间是（1，3）. （2）假设存在实数a，使f（x）的最小值为0， 令h（x）＝ax2＋2x＋3，则h（x）min＝1， ∴解得a＝， ∴存在实数a＝，使f（x）的最小值为0. 15.AB　∵f（x）＝loga（x＋1），g（x）＝loga（1－x）（a＞0，且a≠1），∴f（x）＋g（x）＝loga（x＋1）＋loga（1－x），由x＋1＞0且1－x＞0得－1＜x＜1，故A对；由f（－x）＋g（－x）＝loga（－x＋1）＋loga（1＋x）＝f（x）＋g（x），得函数f（x）＋g（x）是偶函数，其图象关于y轴对称，B对；∵－1＜x＜1，∴f（x）＋g（x）＝loga（1－x2），∵y＝1－x2在[0，1）上单调递减，由复合函数的单调性可知，当0＜a＜1时，函数f（x）＋g（x）在[0，1）上单调递增，有最小值f（0）＋g（0）＝loga（1－0）＝0；当a＞1时，函数f（x）＋g（x）在[0，1）上单调递减，无最小值，故C错；∵f（x）－g（x）＝loga（x＋1）－loga（1－x），当0＜a＜1时，f（x）＝loga（x＋1）在（0，1）上单调递减，g（x）＝loga（1－x）在（0，1）上单调递增，函数f（x）－g（x）在（0，1）上单调递减；当a＞1时，f（x）＝loga（x＋1）在（0，1）上单调递增，g（x）＝loga（1－x）在（0，1）上单调递减，函数f（x）－g（x）在（0，1）上单调递增，D错.故选A、B. 16.解：（1）函数y＝是上凸函数.理由如下： 设x1，x2∈[0，＋∞），欲证函数y＝是上凸函数，需证≥（＋），即证≥（x1＋x2＋2），即证x1＋x2≥2， 由不等式知识可得上式显然成立，故函数y＝是上凸函数. （2）由函数f（x）＝logax在（0，＋∞）上是上凸函数， 可得对任意x1，x2∈（0，＋∞），loga ≥（logax1＋logax2）＝loga. 又x1＋x2≥2，所以a＞1. 故a的取值范围为（1，＋∞）. （3）当x∈（0，1]时，不等式f（mx2＋x）≤0恒成立，即loga（mx2＋x）≤0， 即0＜mx2＋x≤1恒成立， 可得－＜m≤在x∈（0，1]时恒成立. 因为x∈（0，1]， 所以≥1，－∈（－∞，－1]，所以m＞－1. 由＝－，及≥1，可得≥0， 所以m≤0. 故实数m的取值范围为（－1，0]. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $