练案31 第四章 3.2 对数函数y=log2x的图象和性质-【成才之路·练案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（北师大版）

练案[31] 第四章 §3[3.2对数函数y=log2x的图象和性质] 化组·基础自测 三、解答题 一、选择题 8.已知f(x)=1logx1. (1)画出这个函数的图象； 1.函数y=√1og2x-2的定义域是 (2)当0<a<2时，f(a)>f(2),利用函数图象 A.(3,+0) B.[3,+) 求出a的取值范围. C.(4,+0) D.[4,+0) 2.设函数f(x)= 2,x<0, 则f[f(-1)]= l0g2x,x>0, A.2 B.1 C.-2 D.-1 3.如图，已知函数f代x)=3-1,则它的反函数y= (x)的大致图象是 01123x 1. 123 0123 123 D 9.已知f(x）=log2(1+x)+log2(1-x). 4.已知函数f(x)=log2x,且f(m)>0,则m的取 (1)求函数f(x)的定义域； 值范围是 ( (2)判断函数f(x)的奇偶性，并加以说明： A.(0,+∞) B.(0,1) C.(1,+∞) D.R (3)求的值 5.已知a=log29-log2N5,b=1+log2√7，c= log2√13，则a,b,c的大小关系为 A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.c>b>a 二、填空题 6.函数y=√1og(x-3)的定义域为 0g2x,x>0, 7.已知函数f(x)= 直线y=a与函 3x,x≤0， 数f(x)的图象恒有两个不同的交，点，则a的取 值范围是 —233 8组·素养提升 三、解答题 一、选择题 7.(1)函数y=log2(x-1)的图象是由y=log2x 1.已知函数f(x)=log2x,其中lf(x)|≥1，则实数 的图象如何变化得到的？ x的取值范围是 (2)在给出的坐标系中作出y=log2(x-1)1 的图象； A(-如， (3)设函数y=() 与函数y=I1og2(x-1)1 B0,u[2.+x) 的图象的两个交点的横坐标分别为x1,x2,设 C.[2,+∞） M=x12-2(x1+x2)+4,请判断M的符号 D(-,U[2,+) y 2 2.设函数f(x)=log2lxl,-2<a<b<-1,c>2, 4-3-2-1101234x 则下列各式成立的是 -2 4 A.f(a)>f(b)>f(c) B.f(c)>f(b)>f(a) C.f(c)>f(a)>f(b) D.f(b)>f(a)>f(c) 3.（多选题)为了得到函数y=log2x的图象，只需 将函数y=log2(2x)图象上 () A.所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标 不变 B.所有点的横坐标缩短到原来的)倍，纵坐标 不变 C.所有点沿y轴向下平移1个单位长度 D.所有点沿x轴向右平移)个单位长度 4.(多选题)已知log2(5x-2)=log2(x2+4),则 x的值可以为 A.2 B.3 C.-2 D.-3 二、填空题 5.设f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)=log2x,则 (-9 ,当x<0时，f(x)= 6.函数f(x)=log2x在区间[a,2a](a>0)上的 最大值与最小值之差为 —234=10kmvs,代人e=6h(1+兴)，可得10=2h(1+兴) 由(-)=h=n()'=-h=-,故 所以+兴)=5，可得1+=心， mo x)是奇函数，所以B正确：十)=he=山，所以C正确： 所以"+=，所以火箭的总质量（含燃科的质量M+ fx)+f(x2）=ln mo 1-+n1+ 1+x1 是火箭（除去燃料）的质量m。的e倍. 7.由对数的运算法则，可将等式化为 年}所秋D正确放选如 log[(x2+4)·(y2+1)]=log[5(2xy-1)],.(x2+4)(y24. e0,h2)>1,0<<1,1<士+1<2，所以y +1)=5(2xy-1).整理，得x2y2+x2+4y2-10y+9=0, 配方，得(y-3)2+(x-2y)2=0…厂-3， eo.h2).ir=h(+海=e x=2y. 1 交族y得y=所u广o=e0,h2》 5.log2(x+2)5由题意可得l0g8=3,所以a=2,故f(x)= 练案[30] log2(x+2),f(30)=log232=5. 6.因为a>0且a≠1，设t(x)=3-ax,则t(x)=3-ax为减函 A组基础自测 数，当xe[0,2]时，t(x)的最小值为3-2a.因为当x∈[0,2] 1.DA、B不是对数函数，因为对数的真数不是x:C不是对数 时，f(x)恒有意义，即x∈[0,2]时，3-ar>0恒成立.所以3 函数，因为对数的底数不是常数；D是对数函数，故选D. 2a>0,所以a< 又e>0且a≠1，所以0<a<1或1<a< 2.A由对数函数的概念可设该函数的解析式为y=logx,则 log4=2,解得a=2.故所求解析式为y=log2x,故选A 多，所以实数a的取值范围为(0，)U(1,多)】 3A由题意得任-1>0， 所以1<x≤4，故选A 4-x≥0， 练案[31] 4.D因为y=f代x)=2,所以原函数的反函数为g(x)=log,A组基础自测 则2）=le3-1 1.D由1og2x-2≥0，得1log2x≥log4,所以x≥4，故选D. 5.C:对数运算律中有log,M+logN=log。(MW), 2.D因为r-1)=2=2所以-10]=分)=e2 ∴f(x)=log2x满足题目要求，故选C. =-1,故选D. 6(子，+由3x-2>0得x>号，所以函数的定义域3. 由题意得，函数f代x)=3-的反函数是y=f1(x)=logx 为号+) +1,这是一个在(0，+)上的单调递增函数，且y=f(兮) 7.(-2,2)由题意知x2+ax+1>0恒成立，所以4=a2-4< =lg3+1=0,所以只有选项C的图象符合， 0,即-2<a<2. 4.C由对数函数y=l1og2x的性质可知，当x>1时y>0,所以由 rm2-m-1=1, fm）>0得m>1,故选C. 8..fx)是对数函数， m+1>0, 解得m=2. 5.Ba=log9-log5=log23√5，b=1+log2√7=log227,c= m+1≠1， ∴.f（x)=logx,.f27)=log27=3. 2+log 13=log:26, B组素养提升 因为函数y=lg2x在(0，+0)上是增函数，且27>35> 1.B令2+1=(4>1)，则x=,2 所以0=，己>D. 26,所以b>a>c,故选B log2(x2-3)≥0， 所以)=g名(>1放选B 6.（-∞，-2]U[2,+∞)由题知， 台 Lx2-3>0, 2.ABC函数y=fx)是y=a*(a>0,且a≠1)的反函数， -321解得x≥2或x≤-2 fx)=logx(a>0,且a≠1) 1x2-3>0, ∴f2x)=log(2x)=log2+logx=f(x)+f(2),故B对，D错； 所以函数的定义域为(-∞，-2]U[2,+∞). 7.0<a≤1 函数f(x)的图象如图所示，要使直线y=a与f(x) )=lg=lg=2g,lkl=21),放A对告）= 的图象有两个不同的交点，则0<a≤1. 1log号=logx-lg2=f(x)-f2),故C对，故选ABC 3.BcD函数)=l卡其定义城满足(1-)1+)>0， 解得-1<x<1,所以定义域为x1-1<x<1},所以A错误； -349 8.(1)如图 -f(x)mi =f(2a)-f(a)=logz (2a)-logza =1. 7.(1)函数y=log2(x-1)的图象是由y=log2x的图象向右平移 1个单位得到的 y=f(x) (2)在坐标系中作出y=lo竖(x-1)1的图象，如图所示. f2) 4 2 y=log,x-1)川 (2)令八o)=术2)，即lga1=21,解得a=宁或a=2 4-3-2-1101234 从图象可知，当0<a<2时，满足。)>2)，所以a的取值 - 3 范围是{a0<a<宁} 2（1由+>0得-1<<1， (3)设函数y=()与函数y=g:(x-)1的图象的两个 1-x>0, 交点的横坐标分别为x1,x2,则1<x1<2,2>2. 所以函数f孔x)的定义域为xl-1<x<1}. y (2)因为函数f孔x)的定义域为x-1<x<1}, (分》 3 y=llog (x-1)l 又f-x)=log2[1+(-x)]+log2[1-(-x)]=log2(1-x) 2 +log2(1+x)=fx), 4-3-2-101234x 所以函数f八x)=log2(1+x)+log(1-x)为偶函数 2A 39)=e1+9）)+s(1- - - 1g[(1+9(1-2】=s7-1 所以M=x12-2(x1+）+4=(x1-2)(x2-2)<0,故M<0. B组素养提升 练案[32] 1.B因为f(x)1≥1，所以l1og2x≥1或lg2x≤-1.由于f(x)=A组 基础自测 1g在(0，+)上是增函数，故≥2或x≤？所以x的取值范1，C由题意知 2x+1>0 2x+1≠1， 围是(0，]U[2,+x),放选B --- 解得>-分且≠0，故选C 2.C因为-2<a<b<-1,e>2,所以1<Ib1<al<1cl,所以2.A由题意可得，函数f(x)的定义域为(-1,1)，且代x)= log2lb1<log2lal<log2lcl,所以f(b)<f(a)<f(c),故选C. 3.AC函数y=log2(2x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的 芒兰h己。-小易知y=己-1在0.上为增函数 2倍，纵坐标不变，可得函数y=lg(2x×）=lgx的图象， 故fx)在(0,1)上为增函数，又f(-x)=ln(1-x)-ln(1+x) =-f(x),故fx)为奇函数，选A. 则A正确；函数y=log2(2x)图象上所有点的横坐标缩短到原 来的2倍，纵坐标不变，可得函数y=log(2x×2)=lbg(4x) 3.C由g分>log方>0，得-lg3>-ls3>0,得log3< 的图象，故B错误；log2(2x)=1+log2x,将y=1+log2x图象上 s3<0,得d。6<0,得s6<a<0,得0<6ca 的所有点沿y轴向下平移1个单位长度，就得到函数y=log2x <1. 的图象，故C正确：函数y=lg(2x)图象上所有点沿x轴向4A由2x2-3x+1>0得(2x-1)(x-1)>0,解得x<2或x 右平移分个单位长度，可得函数y=lg2(x-）=1g(2x -1)的图象，故D错误，故选AC >1设：=22-3+1=2(--g,所以函数：的单调 4.AB由题意可知5x-2=x2+4,即x2-5x+6=0,解得x=2: 递增区间为(1，+∞).又y=log号t为减函数，故y= 或x=3.经检验x=2或x=3均符合题意，故选AB log(22-3x+1)的单调递减区间为(1，+∞)，故选A. 5号-(-)设x<0,则->0，又x>0时，八)=5.A易知2x-3≠0，即x≠弓排除C,D项当x>时，函数 log2x,所以f-x)=log2(-x）, 由于f(x)是奇函数，所以f(-x)=-f代x)=log(-x) 为减函数，当x<时，函数为增函数，所以选A 故fx)=-g2(-x)(x<0), :6.3当a>1时fx)的最大值是f(3)=1, 所u/(-9号-s2-号 则l0gm3=1,∴.a=3>1,∴.a=3符合题意； 当0<a<1时，f(x)的最大值是f(2)=1, 6.1因为f(x)=logx在区间[a,2a]上是增函数，所以f(x)m 则log2=1,∴.a=2>1.∴.a=2不合题意. —350