第4章 §3 3.1 对数函数的概念&3.2 对数函数y＝log2x的图象和性质(Word练习)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第一册(北师大版)

[基础巩固·夯基提能] 1．(2025·济南历城二中月考)函数f(x)＝的定义域为(　　) A. (1,4]　　　　　　 B．(1,4) C．(1,2)∪(2,4] D．(1,2)∪(2,4) 解析　由题意得 解得1<x≤4且x≠2， 所以函数f(x)的定义域为(1,2)∪(2,4]，故选C. 答案　C 2．函数y＝2＋log2x(x≥1)的值域为(　　) A．(2，＋∞) B．(－∞，2) C．[2，＋∞) D．[3，＋∞) 解析　当x≥1时，log2x≥0，所以y＝2＋log2x≥2. 答案　C 3．函数f(x)＝2|log2x|的图象大致是(　　) 解析　f(x)＝2|log2x|＝ 答案　C 4．(多选)函数f(x)＝ (x＋2)(0<a<1)的图象一定过(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析　f(x)＝(x＋2)(0<a<1)，取a＝时，y＝log2(x＋2)， 结合y＝log2 x的图象， 可知y＝(x＋2)图象一定过第一、二、三象限． 答案　ABC 5．已知集合M＝{x|y＝}，N＝{x|y＝log2(2－x)}，则∁R(M∩N)＝________. 解析　因为M＝{x|x－1≥0}＝{x|x≥1}， N＝{x|2－x>0}＝{x|x<2}． 所以M∩N＝{x|1≤x<2}， 所以∁R(M∩N)＝(－∞，1)∪[2，＋∞)． 答案　(－∞，1)∪[2，＋∞) 6．函数y＝f(x)的反函数y＝ax过点(2,9)，则f(27)＝________. 解析　∵y＝ax过点(2,9)，∴a2＝9， ∴a＝3，∴f(x)＝log3 x．∴f(27)＝3. 答案　3 7．log0.5(x＋2)与log0.5(2x＋5)的大小关系为____________________． 解析　∵x满足即x＞－2. ∴(x＋2)－(2x＋5)＝－(x＋3)＜0. ∴0＜x＋2＜2x＋5， 由y＝log0.5x在(0，＋∞)上为减函数， ∴log0.5(x＋2)＞log0.5(2x＋5)． 答案　log0.5(x＋2)＞log0.5(2x＋5) 8．(2025·黑龙江哈九中月考)已知f(x)＝logax(a＞0且a≠1)的图象过点(4,2)． (1)求a的值； (2)若g(x)＝f(1－x)＋f(1＋x)，求g(x)的解析式及定义域． 解析　(1)由已知f(x)＝logax(a＞0且a≠1)的图象过点(4,2)，则2＝loga4，所以a2＝4. 因为a＞0且a≠1，所以a＝2. (2)g(x)＝f(1－x)＋f(1＋x) ＝log2(1－x)＋log2(1＋x) ＝log2[(1－x)(1＋x)]＝log2(1－x2)． 由得－1＜x＜1， 所以g(x)的定义域为(－1,1)． [关键能力·综合提升] 9．若点(a，b)在y＝log2x的图象上，a≠1，则下列点也在此图象上的是(　　) A. B．(2a,1－b) C. D．(a2,2b) 解析　若点(a，b)在y＝log2x的图象上，则b＝log2a，所以2b＝2log2a＝log2a2，即(a2,2b)也在函数y＝log2x的图象上． 答案　D 10．(多选)若log2a＜0，b＞1，则下列结论不正确的是(　　) A．a＞1，b＞0 B．a＞1，b＜0 C．0＜a＜1，b＞0 D．0＜a＜1，b＜0 解析　由log2a＜0得0＜a＜1， 由b＞1得b＜0，故只有D正确． 答案　ABC 11．某种动物的数量y(单位：只)与时间x(单位：年)的函数关系式为y＝alog2(x＋1)，若这种动物第1年有100只，则第7年的数量有________只． 解析　由题意，知100＝alog2(1＋1)， 得a＝100，所以y＝100log2(x＋1)， 则当x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝100×3＝300. 答案　300 12．不等式的解集是________． ∴log2(2x＋3)>log2(5x－6)， ∴解得<x<3. 答案　 13．已知函数f(x)＝loga(ax－)(a＞0，a≠1为常数)． (1)求函数f(x)的定义域； (2)若a＝2，x∈[1,9]，求函数f(x)的值域． 解析　(1)ax－＞0⇒(a－1)＞0， 因为＞0，所以a－1＞0， 因为a＞0，所以＞.所以x＞，所以函数f(x)的定义域为. (2)a＝2时，f(x)＝log2(2x－)， 令2x－＝t， 则t＝2x－＝22－， 因为x∈[1,9]，所以t∈[1,15]， 所以log21≤log2(2x－)≤log215， 即0≤f(x)≤log215， 所以函数f(x)的值域为[0，log215]． [核心价值·探索创新] 14．我国的5G通信技术领先世界，5G技术的数学原理之一是著名的香农(Shannon)公式，香农提出并严格证明了“在被高斯白噪声干扰的信道中，计算最大信息传送速率C的公式C＝W·log2，其中W是信道带宽(赫兹)，S是信道内所传信号的平均功率(瓦)，N是信道内部的高斯噪声功率(瓦)，其中叫做信噪比．”根据此公式，在不改变W的前提下，将信噪比从99提升至λ，使得C大约增加了60%，则λ的值大约为(　　) (参考数据：100.2≈1.58) A．1559 B．3943 C．1579 D．2512 解析　由题意得≈60%，则≈1.6,1＋λ≈1001.6＝103.2＝103×100.2≈1580，所以λ≈1579. 答案　C 15.如图，已知函数f(x)的图象为折线ACB(含端点A，B)，其中A(－4,0)，B(4,0)，C(0,4)，则不等式f(x)>log2(x＋2)的解集是________． 解析　在同一坐标系中作出函数y＝f(x)和y＝log2(x＋2)的图象， 易知当x＝2时，f(x)＝log2(x＋2)＝2， 又x＋2＞0，x＞－2， 所以不等式f(x)>log2(x＋2)的解集是(－2,2)． 答案　(－2,2) 学科网（北京）股份有限公司 $$