练案22 第二章 4.1 函数的奇偶性-【成才之路·练案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（北师大版）

练案[22] 第二章 §4[4.1函数的奇偶性] 名组·基础自测 三、解答题 一、选择题 9.已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)+ 1.已知函数f(x)是R上的奇函数，则f(-1)+ g(x)=x2+x-2,求f八x),g(x)的表达式. f(1)的值为 A.0 B.1 C.-1 D.不确定 2.对于定义域是R的任意奇函数f(x),都有 ( A.f(x)-f(-x)>0 B.f(x)-f(-x)0 C.fx)·f-x)≤0D.f(x)·f-x)>0 3.若定义在R上的奇函数f(x)在区间(-∞，0] 上单调递减，则f(1),f(2),f(3)的大小关系是 () A.f1)<f(2)<f(3) B.f(1)<f3)<f(2) 10.已知f(x)为奇函数，且当x<0时，f(x)= C.f(3)<f2)<f(1) x2+3x+2.若当x∈[1,3]时，f(x)的最大值 D.f(3)<f1)<f(2) 为m,最小值为n,求m-n的值. 4.下列函数中既是奇函数又是偶函数的是 A.fx)=√x2-1-√1-x B.f(x)=√1-x+√1+x C.f(x)= x,x≥0， -x,x<0 「1，x≥0， D.fx0=-1,x<0 5.若f(x)=(ax+1)(x-a)为偶函数，且函数 y=f(x)在x∈(0，+∞)上单调递增，则实数a 的值为 A.±1 B.-1 C.1 D.0 6.已知定义在R上的奇函数f(x),当x>0时， f(x)=x+x-1,则当x<0时，f(x)的解析 式为f(x)= A.x2-1xl+1 B.-x2+1xl+1 8组·素养提升 C.-x2-1xl-1 D.-x2-|xl+1 、选择题 二、填空题 设)是定义在R上的奇函数，当>0时，1.设函数x)=十则下列函数巾为奇函数的 f(x)=x2+1,则f(-2)+f(0)= 是 () 8.已知函数f(x)=x3(a·2-2)是偶函数，则： A.f(x-1)-1 B.f(x-1)+1 a= C.f(x+1)-1 D.f(x+1)+1 —215 2.如果奇函数x)在区间[7，-3]上单调递8.已知函数(x)=满足：1)=方，以及 减且最大值为5，那么函数f(x)在区间[3,7] Γx2+1 上 下列3个条件中的2个 A.单调递增且最小值为-5 ①任意x∈R,f代-x）=-f(x); B.单调递增且最大值为-5 ②函数f(x)在R上只有一个零点； C.单调递减且最小值为-5 ③函数f(x)在[-1,1]上是减函数， D.单调递减且最大值为-5 (1)求实数a的值，并写出成立条件的序 3.(多选题)下列函数既是奇函数又是增函数的 号 为 ( (2)当x≥1时，判断函数f(x)的单调性，并用 A.y=x+1 B.y=x 定义证明你的结论 C.y D.y=xlxl 4.已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)+f(x -y）=f(xf(y)f1)=1,则f(k)=( A.-3 B.-2 C.0 D.1 二、填空题 5.已知函数f(x)=mx2+nx+2m+n是偶函数， 其定义域为[m+1,-2n+2],则m= n= 6.已知函数f(x)是R上的奇函数，且在R上 是减函数，若f(a-1)+f(1)>0,则实数a 的取值范围是 三、解答题 7.判断函数f(x)= 「x(1-x),(x<0）的奇 lx(1+x),(x>0) 偶性. —216又因为a≤-4，所以a=-4, 综上所述-4≤a≤4. 3)=4到=3)=f)=-2 选择条件②： 心m=,n==2,从而m-ns9】 4 因为]xe[1,3],f(x)≥0， ;B组素养提升 所以f(x）≥0，即max f(1),f(3)}≥0. B由题意可得)=卡=-1+子对于Ax-)- 2 所以f1)≥0或f(3)≥0， 即a≥-5或a≥-3所以a≥-5. 31 =2-2不是奇函数：对于Bf(x-1)+1=2是奇函数：对 练案[22] 于C心x+)-1=子2-2，定义被不关于原点对称，不足奇 A组基础自测 1.A因为函数f代x)是R上的奇函数，所以f(-x)=-f(x), 函数：对于Dx+)+1=子2定义城不关于原点对称，不 即f-x)+f(x)=0,令x=1,得f-1)+f1)=0. 是奇函数.故选B 2.C:f(x)是定义在R上的奇函数， 2.Cf(x)为奇函数，所以f(x)在[3,7]上的单调性与[-7， ∴.f-x)=-fx),且f（0)=0, -3]上一致，且f7)为最小值， ∴fx)·f-x)=-f2(x)≤0，故选C. 又已知f代-7)=5，所以f7)=-f-7)=-5. 3.C因为函数x)在区间(-∞，0]上单调递减，而-3<-2<3.BD选项A为一次函数，不是奇函数，是增函数：选项B是奇 -1,于是有f-3)>f-2)>f-1),又函数f代x)是R上的奇 函数，是增函数；选项C是反比例函数，为奇函数，不是增函 函数，则有-f3)>-f2)>-f1),即f3)<f(2)<f1). 数；选项D,去绝对值号变为分段函数，符合题意 4A选项A中定义域为-1,1}，函数解析式为y=0,所以函4.A因为(x+)+fx-y)=f(x)fy),令x=1,y=0可得， 数既是奇函数又是偶函数，选项B为偶函数，选项C为偶函 2f1)=f1)f(0),所以f(0)=2,令x=0可得f(y）+f(-y) 数，选项D为非奇非偶函数，故选A. =2f孔y),即fy)=f(-y）),所以函数fx)为偶函数，令y=1 5.C因为f代x)=(ax+1)(x-a)=ax2+(1-a2)x-a为偶 得，fx+1)+fx-1)=fx)f1)=f(x),即有f(x+2)+fx) 函数， =fx+1),从而可知f(x+2)=-f(x-1),f(x-1)=-f(x 所以1-a2=0,所以a=±1. 4),故f(x+2)=f(x-4),即f(x)=f(x+6),所以函数f(x) 当a=1时代x)=x2-1,在(0，+∞)上单调递增，满足条件； 的一个周期为6. 当a=-1时，fx)=-x2+1,在(0，+∞)上单调递减，不满 因为f2)=f1)-f(0)=1-2=-1,f(3)=f(2)-f(1)= 足条件. -1-1=-2,f(4)=f-2)=f(2)=-1,f5)=f(-1)= 6.D若x<0,则-x>0f-x)=x2+1x-1, f1)=1,f6)=f0)=2,所以一个周期内的f(1)+f(2)+… .f-x）=-fx), +f代6)=0.由于22除以6余4，所以f(k)=f1)+f2)+ ..-f(x)=x2+lx1-1,f(x)=-x2-x1+1. f3)+f(4)=1-1-2-1=-3.故选A. 7.-5由题意知f代-2)=-f2)=-(2+1)=-5f0)=0, 5.-30由于fx)是偶函数， ∴.f-2)+f0)=-5. 8.1因为f(x)=x3(a·2-2), 所以∫ns0, m+1+(-2n+2)=0→m=-3,n=0. 故f-x)=-x2(a·2-2), :6.(-0,0)f(a-1)+f1)>0,∴fa-1)>-f1). 因为f(x)为偶函数，故f代-x)=f(x)时 f(x)是奇函数，.f(-1)=-f(1): x3(a·2-2-)=-x3(a·2-2),整理得到x3(a-1)(2 .fa-1)>f-1). +2-)=0,对HxeR都成立 又f(x)在R上是减函数，.a-1<-1,即a<0. 故a=1. 7.本题是求分段函数的奇偶性，则只需分段讨论即可 9.f代-x)+g(-x)=x2-x-2,由f(x)是偶函数，g(x)是奇函数 :函数f(x)的定义域为(-∞，0)U(0,+∞)，并且当x>0 得，fx)-g(x)=x2-x-2. 时，-x<0,f(-x)=(-x)[1-（-x)]=-x(1+x)= 又fx)+g(x)=x2+x-2,两式联立得： -fx)(x>0);当x<0时，-x>0,f-x)=-x(1-x)= fx)=x2-2,g(x)=x. -fx)(x<0). 10.当x<0时，f(x)=x+3x+2, 综上可得f(x)为奇函数. 且f(x)是奇函数，·.当x>0时，-x<0, 则f(-x)=x2-3x+2. &(00因为)-”由)=分得-公解利 故当x>0时fx)=-f(-x)=-x2+3x-2. “=0,则到=产定义城为眼所-)=音= 当[1，]时)是增函数： 即①正确； 当xe(子，3时)是减函数因此当xe[1,3]时fx)m= +10得x=0,即②正确： 由fx)=,x -342 任取-1≤x1<x2≤1，则-x3<0,12<1, 其图象不过原点m=-3. 所以fx)-f(:2)=2 。为+-二5= 9.根据幂函数的定义，得m2-m-5=1, =好+1巧+1=（好+1）（好+1） 解得m=3或m=-2. (x1-)(1-x）<0显然恒成立， 当m=3时f代x)=2在(0，+∞)上是增函数； (x+1)(x号+1) 当m=-2时f(x)=x3在(0，+∞)上是减函数，不符合要求，故 即fx1)<f代x2),所以函数f(x)在[-1,1]上是增函数；所以 m=3. a=0,成立条件的序号为①②， (2)当x≥1时，f(x)单调递减 0因为=子所以本-子-子所以m=1 证明：任取1≤x1<2,则x-x2<0,x1x2>1, (2)由(1)知x)=x-2 所以f(x)-f(6)=车 与=+西一2-五 x2+1+1(x+1)(x号+1) 因为f(x)的定义域为x|x≠0}，关于原点对称 (出-)-）>0显然恒成立，即f)>), 又-)=-2-(-2) (x+1)(x2+1) 所以f(x)是奇函数. 所以函数f(x)在[1，+∞)上单调递减. (3)f(x)在(0，+∞)上单调递增，证明：设>2>0， 练案[23] 则)-)=是-(-2))+)】月 A组基础自测 1.Bx=1时，y=1,所过点(1,1) 因为x>>0,所以1->0,1+2>0， 3X12 2C对A,由y=知0： 所以f(x)>f(x2), 所以f(x)在(0，+∞)上为单调递增函数 对B,由y=x2=√E,知x≥0： B组素养提升 对D由y==知x0 1.B函数y=x字，y=x子，y=2的定义域为R,函数y=x的定 ! 义域为[0，+o),函数y=x寸及y=x2的定义域均为 故A,B,D中函数的定义域均不为R,从而选C (-∞，0)U(0,+∞)，所以定义域为R的函数有3个，应选B. 3.C设fx)=x,因为f(x)的图象过点(2,2)，所以2“=2， 2.D由题意得m2-m-1=1, 解得a=7,则fx)=G,故f代x)的定义域为[0，+) ∴.m-m-2=0,.m=-1或m=2 当m=-1时fx)=x2在(0，+0)上是增函数， 4.A定义域为R的函数中，a可取1,3：若函数y=x“为奇函 .m≠-1； 数，a可取-1,1,3，故a取1,3.故选A 5.B函数f代)=x宁=二，所以函数的定义域为(0，+2），故A 当m=2时，)==在(0，+0)上是减函数。 .∴.m=2. 选项错误；由函数的定义域为(0，+0)，不关于原点对称，故函数3.BD因为f(x)=x3m-5(mEZ)在(0，+∞）上是减函数， 为排奇非偶函数，放CD选项错误：因为-宁<0，所以函数) 所以3m-5<0,放m<子 =x在(0，+∞)上单调递减，故B选项正确， 又因为m∈Z,所以m=1,0,-1,-2,-3,. 6C在(0,1)内取同一值x。,作直线x=x。,与各图象有交点.则“点 当m=0时f代x)=x5f(-x)≠f孔x),不符合题意； 低指数大”，如图，知0<p<1,m<0,n>1,所以n>p>m 当m=1时f代x)=x2f(-x)=fx),符合题意； 当m=-2时，x)=x-",f(x)≠f代-x)不符合题意，当m= V=x" -3时f(x)=x4f代x)=f-x),符合题意，故选BD. 4.ACD由题设，2=8，可得a=3,即f代x)=x3,所以f0)=0 且f(x)在定义域上为增函数，f(-x)=-f(x),故A、D正确， B错误；当x>1时，有f孔x)>1,故C正确. 0 5. 3 由题意可设)=，则分=3，得=3，即2-3， f2) 7.x子设f代x)=x“,由题意得27=3， 所以分)（合}”-2=3=写 3==子)= 6.[0,+∞)由题设知f(3)=9, 8.-3由题意得m2+3m+1=1, 即3“=9，所以a=2 .m2+3m=0, 所以f(x)=x2,其单调递增区间为[0，+o): m=0或m=-3.当m=0时fx)=x1= 7.:f(x)在区间(0，+)上是单调增函数， x .-m2+2m+3>0,即m2-2m-3<0,解得-1<m<3.又meZ, —343