第2章 §4 函数的奇偶性与简单的幂函数 4.1 函数的奇偶性 第2课时 函数性质的应用(Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书（北师大版）

**基本信息** 聚焦函数性质应用，分层设计从基础概念辨析到综合问题解决，梯度合理，助力学生通过数学思维深化知识理解与应用能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|奇偶性判断、单调性简单应用|选择题1-5直接考查定义，如判断偶函数单调性，夯实概念理解| |中档|性质综合应用、含参问题|选择题6-9（多选题）结合奇偶性与单调性解不等式，填空题10-12强化符号运算| |提升|证明与复杂问题|解答题13-16需单调性证明、构建函数模型，如16题抽象函数性质探究，发展推理能力与创新意识|

第2课时　函数性质的应用 一、选择题(本大题共9小题,每小题5分,共45分) 1.下列函数中,既是偶函数又在(-∞,0)上单调递减的是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.y=x2+1 B.y= C.y=x3 D.y=2x-1 2.如果奇函数f(x)在区间[1,5]上单调递减,且最小值为3,那么f(x)在区间[-5,-1]上 (　 ) A.单调递增且最小值为3 B.单调递增且最大值为3 C.单调递减且最小值为-3 D.单调递减且最大值为-3 3.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≤0时,f(x)=x2+2x,则当x>0时,f(x)的解析式为 (　 ) A.f(x)=-x2-2x B.f(x)=x2-2x C.f(x)=-x2+2x D.f(x)=x2+2x 4.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且在R上为减函数,若f(3x+1)+f(2)>0,则x的取值范围是 (　 ) A. B.(-∞,-1) C. D.[1,+∞) 5.已知函数f(x)=+2在区间上的最大值为M,最小值为m,则M+m= (　 ) A.0 B.1 C.2 D.4 6.设f(x)为奇函数且在(-∞,0)上单调递减,f(2)=0,则<0的解集为 (　 ) A.{x|x<-2或x>2} B.{x|x<-2或0<x<2} C.{x|-2<x<0或x>2} D.{x|-2<x<0或0<x<2} 7.已知函数f(x)=x2-+5,则f(2x-2)<f(x+2)的解集为 (　 ) A.(0,1) B.(1,4) C.(-∞,-1)∪(4,+∞) D.(0,1)∪(1,4) 8.(多选题)已知定义域为R的函数f(x)在(-∞,-1)上单调递增,且y=f(x-1)为偶函数,则下列结论正确的是 (　 ) A.f(x)的图象关于直线x=1对称 B.f(x)在(-1,+∞)上单调递减 C.f(-1)为f(x)的最大值 D.f(-3)<f(0)<f 9.(多选题)若函数y=f(x)满足:①对于定义域上的任意x,恒有f(x)+f(-x)=0;②对于定义域上的任意x1,x2,且x1≠x2,恒有<0.则称函数y=f(x)为“理想函数”,下列函数中是“理想函数”的有 (　 ) A.y=-2x B.y=x2 C.y= D.y= 二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分) 10.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=x2+ax+a-1,则f(-1)=　　　　.  11.设a∈R,已知奇函数f(x)的定义域是[-4,4],f(x)在[0,4]上单调递减,且f(a+1)>f(2a),则a的取值范围是　　　　.  12.已知函数f(x)=则不等式f(2-x2)+f(-x)≥0的解集为　　　　.  三、解答题(本大题共2小题,共20分) 13.(10分)已知函数f(x)=x+(a≠0)是奇函数,且f(1)=5. (1)求实数a,b的值; (2)判断函数f(x)在(0,2)上的单调性,并用单调性的定义证明你的结论. 14.(10分)已知函数f(x)是R上的奇函数,f(1)=1,当x>0时,f(x)=x2-ax+4. (1)求f(x)在R上的解析式; (2)求不等式f(x)<x+的解集. 15.(5分)已知函数f(x)=x3++2,若存在a∈[1,2],使f(x2-ax-6)+f(3a-x)>4有解,则实数x的取值范围为　　　　　　.  16.(15分)已知函数f(x)对任意实数x,y恒有f(x+y)=f(x)+f(y),当x>0时,f(x)<0,且f(1)=-2. (1)判断f(x)的奇偶性; (2)判断f(x)的单调性,并求f(x)在区间[-3,3]上的最大值; (3)若f(x)<m2-2am+2对所有的x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立,求实数m的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　函数性质的应用 1.A　[解析] 对于A,y=x2+1为偶函数,且当x∈(-∞,0)时,函数单调递减;对于B,y=为奇函数;对于C,y=x3为奇函数;对于D,y=2x-1为非奇非偶函数.故选A. 2.D　[解析] 当-5≤x≤-1时,1≤-x≤5,所以f(-x)≥3,即-f(x)≥3,从而f(x)≤-3,即f(x)在[-5,-1]上的最大值为-3.奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同,故f(x)在[-5,-1]上单调递减.故选D. 3.C　[解析] 因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x).当x>0时,-x<0,f(-x)=x2-2x=-f(x),所以f(x)=-x2+2x.故选C. 4.B　[解析] 因为函数f(x)是定义在R上的奇函数且在R上为减函数,所以-f(2)=f(-2),故f(3x+1)+f(2)>0等价于f(3x+1)>-f(2),即f(3x+1)>f(-2),所以3x+1<-2,即x<-1.故选B. 5.D　[解析] 由题意,令g(x)=f(x)-2=,x∈,则g(-x)===-g(x),故g(x)=f(x)-2为奇函数,所以g(x)max+g(x)min=0,故f(x)max+f(x)min-4=M+m-4=0,即M+m=4.故选D. 6.A　[解析] 因为f(x)为奇函数且在(-∞,0)上单调递减,所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递减.因为f(2)=0,所以f(-2)=-f(2)=0,故函数f(x)的大致图象如图所示.由<0,可得xf(x)<0,即x和f(x)异号,由图象可得x<-2或x>2.故<0的解集为{x|x<-2或x>2},故选A. 7.D　[解析] 由题意得f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),因为f(-x)=(-x)2-+5=x2-+5=f(x),所以f(x)为偶函数.当x>0时,f(x)=x2-+5,易知f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-∞,0)上单调递减.又f(2x-2)<f(x+2),所以解得0<x<4且x≠1.故选D. 8.BD　[解析] 因为y=f(x-1)为偶函数,且函数f(x)在(-∞,-1)上单调递增,所以f(x)的图象关于直线x=-1对称,且f(x)在(-1,+∞)上单调递减,所以A不正确,B正确;因为f(x)在(-∞,-1)上单调递增,在(-1,+∞)上单调递减,但没有明确函数图象是否连续,所以不能确定f(-1)的值,所以C不正确;因为f(0)=f(-2),f=f,且f(x)在(-∞,-1)上单调递增,所以f(-3)<f(-2)<f,即f(-3)<f(0)<f,所以D正确.故选BD. 9.AC　[解析] 对于定义域上的任意x,恒有f(x)+f(-x)=0,即f(-x)=-f(x),则f(x)是奇函数.对于定义域上的任意x1,x2,且x1≠x2,恒有<0,即当x1<x2时,f(x1)>f(x2),当x1>x2时,f(x1)<f(x2),则f(x)是定义域上的减函数.选项A,C,D中的函数均是奇函数,选项B中的函数是偶函数,故排除B.对于y=当x≥0时,y=-x2单调递减,当x<0时,y=x2单调递减,又对于任意a,b,且a<0≤b,都有a2>-b2,所以y=是减函数,满足题意.y=-2x是减函数,满足题意.对于y=,当x<0时,函数单调递减,当x>0时,函数单调递减,当c<0<d时,<,所以y=在定义域上不是减函数,不满足题意.故选AC. 10.-2　[解析] 因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=a-1=0,解得a=1,则当x≥0时,f(x)=x2+x,所以f(1)=2,则f(-1)=-f(1)=-2. 11.(1,2]　[解析] ∵奇函数f(x)的定义域是[-4,4]且在[0,4]上单调递减,∴函数f(x)在[-4,0]上单调递减,∴函数f(x)在[-4,4]上是减函数,又∵f(a+1)>f(2a),∴解得1<a≤2.故a的取值范围为(1,2]. 12.[-2,1]　[解析] 函数f(x)=当x>0时,-x<0,f(-x)=-x3-1=-f(x),当x<0时,-x>0,f(-x)=-x3+1=-f(x),又f(0)=0,∴f(x)为奇函数.当x>0时,f(x)=x3+1单调递增,且f(x)>1,当x<0时,f(x)=x3-1单调递增,且f(x)<-1,又f(0)=0,∴f(x)在R上是增函数,∴原不等式即为f(2-x2)≥f(x),即2-x2≥x,解得-2≤x≤1,即原不等式的解集为[-2,1]. 13.解:(1)根据题意,函数f(x)=x+(a≠0)是奇函数,则f(x)+f(-x)=+=-=-=0,∵a≠0,∴b=0. 由f(1)=5,即1+=5,得a=4.故a=4,b=0. (2)由(1)知,f(x)=x+,f(x)在区间(0,2)上单调递减.证明如下:设0<x1<x2<2,则f(x1)-f(x2)=-=(x1-x2)+=(x1-x2),由0<x1<x2<2,得x1-x2<0,0<x1x2<4,x1x2-4<0,则f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),故函数f(x)在区间(0,2)上单调递减. 14.解:(1)因为f(1)=1,所以1-a+4=1,得a=4.当x>0时,f(x)=x2-4x+4;当x<0时,-x>0,所以f(-x)=(-x)2-4(-x)+4=x2+4x+4,因为函数f(x)是R上的奇函数,所以当x<0时,-f(x)=x2+4x+4,即f(x)=-x2-4x-4.又由f(x)是R上的奇函数,得f(0)=0,所以f(x)= (2)①当x>0时,x2-4x+4<x+,即2x2-9x+7<0,解得1<x<;②当x=0时,0<,恒成立;③当x<0时,-x2-4x-4<x+,即2x2+9x+9>0,得x<-3或-<x<0.综上所述,不等式的解集为(-∞,-3)∪∪. 15.(-∞,0)∪(3,+∞)　[解析] 设g(x)=f(x)-2=x3+(x∈R),则g(-x)=-x3+=-g(x),故g(x)为奇函数.由f(x2-ax-6)+f(3a-x)>4,得f(x2-ax-6)-2>2-f(3a-x),即g(x2-ax-6)>-g(3a-x)=g(x-3a).当x>0时,g(x)=x3+=x3-+2,根据y=x3在(0,+∞)上单调递增,y=-+2在(0,+∞)上单调递增,得g(x)在(0,+∞)上单调递增,又g(x)为奇函数,g(x)的图象连接不断,故g(x)在R上单调递增.由g(x2-ax-6)>g(x-3a),得x2-ax-6>x-3a,即a(3-x)+x2-x-6>0,由题意,存在a∈[1,2],使得a(3-x)+x2-x-6>0有解.当3-x=0,即x=3时,a(3-x)+x2-x-6=0,不符合题意;当3-x>0,即x<3时,2(3-x)+x2-x-6>0,解得x<0或x>3,故x<0;当3-x<0,即x>3时,1×(3-x)+x2-x-6>0,解得x<-1或x>3,故x>3.综上可得,实数x的取值范围为(-∞,0)∪(3,+∞). 16.解:(1)令x=y=0,则f(0+0)=2f(0),所以f(0)=0. 令y=-x,则f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)=0, 所以f(-x)=-f(x)对任意x∈R恒成立, 所以函数f(x)为奇函数. (2)任取x1,x2∈R且x1<x2,则x2-x1>0, f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)<0,所以f(x2)<f(x1),所以f(x)在R上为减函数. 当x∈[-3,3]时,f(x)单调递减, 所以当x=-3时,f(x)取得最大值f(-3). 因为f(3)=f(2)+f(1)=3f(1)=-2×3=-6,所以f(-3)=-f(3)=6, 故f(x)在区间[-3,3]上的最大值为6. (3)由(2)知f(x)在区间[-1,1]上单调递减, 所以当x∈[-1,1]时,f(x)≤f(-1)=-f(1)=2. f(x)<m2-2am+2对所有的x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立,即m2-2am>0对任意a∈[-1,1]恒成立, 令g(a)=-2am+m2,则即 解得m>2或m<-2. 故m的取值范围为(-∞,-2)∪(2,+∞). 学科网（北京）股份有限公司 $