练案21 第二章 3 第2课时函数单调性的应用-【成才之路·练案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（北师大版）

练案[21] 第二章 §3 [第2课时 函数单调性的应用] 名组·基础自测 离分家万事休.”在数学的学习和研究中，经常 用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函 一、选择题 数的解析式来研究函数图象的特征.若函数 1.函数f(x)=x2+3x+2在区间(-5,5)上的最 f(x)在区间[a,b]上的图象如图，则函数f(Ix) 小值为 B.42 的图象是 () A.12 C.无最小值 D-4 2.已知f(x）=(3a-1)x+b在(-∞，+∞)上 是增函数，则a的取值范围是 () c(-,引 D片+ 3.下列命题正确的是 A.定义在(a,b)上的函数f(x),若存在x1,x2∈ 二、填空题 (a,b),使得x1<x2时，有f(x)<f(x2),那么 7函数y=1在[2,3]上的最小值为 ,最 f(x)在(a,b)上为增函数 B.定义在(a,b)上的函数f(x),若有无穷多对 大值为 ;在[-3，-2]上的最小值为 x1,x2∈(a,b),使得x1<2时，有f(x1)< 最大值为 f(x2),那么f(x)在(a,b)上为增函数 8.已知函数f代)=(k≠0)在区间(0，+0)上 C.若f八x)在区间I1上为减函数，在区间12上 也为减函数，那么f(x)在IU1,上也一定 是增函数，则实数飞的取值范围是 为减函数 三、解答题 D.若fx)在区间上为增函数且fx)<x)(x,9.判断并证明：函数f代x)=-1+1在(0，+0) x2∈I),那么x1<x2 上的单调性 4.函数y=x2+x+1(x∈R)的递减区间是 A[-7,+ B.[-1,+∞) D.(-∞，+∞) 5.已知f(x)是定义在区间[0,1]上的函数，那么“函 数f(x)在区间[0,1]上单调递增”是“函数f(x)在 区间[0,1]上的最大值为f(1)”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时 少直观，形少数时难人微，数形结合百般好，隔 —213 10.已知函数)=x+左+2，其x∈1，+0。 C.若f(x)的单调递减区间是(-∞，-4]，则a 的值为-1 (1)试判断它的单调性； D.若f(x)在区间(-，3)上是减函数，则a (2)试求它的最小值 的取值粒用是0，引 二、填空题 5.函数y=-(x-3)x的递增区间为 6.若在[1，+0)上函数y=(a-1)x2+1与y= ¤都单调递减，则a的取值范围是 三、解答题 7.求证：函数f(x)=x+4在(2，+0)上是增函 数 乃组·素养提升 一、选择题 1.已知f(x)为R上的减函数，则满足f(2x)>8.在①Hx∈[-2,2]，②3x∈[1,3]这两个条 f(1)的实数x的取值范围是 ( ) 件中任选一个，补充到下面问题的横线中，并 A.(-∞，1) B.(1,+0) 求解该问题 c(分+” D-02 已知函数f(x)=x2+ax+4. (1)当a=-2时，求f(x)在区间[-2,2]上的 2.设(a,b),(c,d)都是函数f(x)的单调增区间， 值域； 且x1∈(a,b),x2∈（c,d),x1<x2,则f(x1)与 (2)若 ,f(x)≥0，求实数a的取值 f(x2)的大小关系是 范围。 A.f(x1)<f(x2) B.f(x1)>f(x2) 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解 C.f(x1)=f八x2） D.不能确定 答计分 3.(多选题)已知函数y=ax和y=-在(0， 2 +∞)上都是减函数，则函数f(x)=bx+a在 R上 A.f0)<0 B.f0)>0 C.是减函数 D.是增函数 4.(多选题)已知函数f(x)=2ax2+4(a-3)x+ 5,下列关于函数f(x)的单调性说法正确的是 A.函数f(x)在R上不具有单调性 B.当a=1时，f(x)在(-∞，0)上递减 —214则)-f)=5+1 X2-x1 上是增函数，f(2)≤fx2-4x+6). 3+2x1+2(x1+2)(x2+2)’ 因为x1>2>-2, 音1+ 所以x2-x1<0,x1+2>0,x2+2>0, 定义域为xlx≠1}，值域为{yly≠1}. x2-x1 (2)由函数解析式可知该函数在(2,5)上是减函数，下面证明 所以x+2)+2)<0, 此结论， 所以fx)>fx2), 证明：任取x1,x2e(2,5), 所以函数f代x)在(-2，+0)上单调递增. 设x1<x2, 10.f)=lx1(x+1）={-(x≤0) 则)-)名 X2 x2-x1 的图象如图所示 1x2+x(x>0) 因为2<x1<2<5, y 所以x2-x1>0,x1-1>0,x2-1>0, 所以fx)>f代) 故函数在(2,5)上为减函数. :8.（1)因为函数f(x)=x2+bx+c的图象过点(-1,3)且关于直 线x=1对称， rf八-1)=1-b+c=3, (D)f()在(-”，2]和[0，+)上是增函数，在 所以b 2=1, [-子0上是诚函数， 解得b=-2,c=0.所以f八x)=x2-2x (2)当1≤m<3时，f(x)mn=fm）=m2-2mf代x)ma=f3)= 因此(x)的单调增区间为(-0，-2]，[0，+0)，单调减 9-6=3, 所以f代x)的值域为[m2-2m,3]: 区间-2 当-1≤m<1时，f(x)m=f1)=1-2=-1,f代x)x=f(3) =3, (2)-2）=子2分）=子…在区间[-1,2]的 所以f代x)的值域为[-1,3]. 最大值为子 当m<-1时，f(x)n=f(1)=1-2=-1,f(x)mm=fm)=m2 -2m. B组素养提升 所以f代x)的值域为[-1，m2-2m]. 1.AB、C在[1,4]上均为增函数，A、D在[1,4]上均为减函数， 综上当1≤m<3时f代x)的值域为[m2-2m,3]; 代入端点值，即可求得最值，故选A. 当-1≤m<1时，f(x)的值域为[-1,3]： 2.A由题意设y=kx,将(36,108)代入解析式，得k=3,故y= 当m<-1时，fx)的值域为[-1，m2-2m]. 3x.同时考虑到实际问题的实际意义可知x≥0. 练案[21] 3AD要使)有意义，应满足≥0 1-≥00≤≤1，显然八x)在A组基础自测 [0,1]上单调递增，所f代x)ms=1fx)n=-1.故选AD. .D因为)=(+2e(-5,5).所以当x=-号 1 4.BCD函数f代x)=x2-2x+2=(x-1)2+1的图象开口向上， 对称轴为直线x=1.在选项A中，因为fx)在区间[-1,0]上 时)有最小值-子 单调递减，所以fx)在区间[-1,0]上的最小值为f(0)=2,A2.B)=(3a-1)x+b为增函数，应满足3a-1>0,即a> 错误；在选项B中，因为f(x)在区间[-1,1]上单调递减，在 [1,2]上单调递增，所以f(x)在区间[-1,2]上的最小值为 3,故选B. f1)=1,又因为f(-1)=5f(2)=2f(-1)>f2),所以f代x)3.DA错误，x1,x2只是区间(a,b)上的两个值，不具有任意性； 在区间[-1,2]上的最大值为f代-1)=5，B正确；在选项C 中，因为f(x)在区间[2,3]上单调递增，所以f(x)在区间[2， B错误，无穷并不代表所有、任意：C错误，例如函数y一在 3]上的最小值为f2)-2,最大值为f代3)=5，C正确；在选项 (-,1)和1，+)上分别递减，但不能说)=在(-0,1) D中，当0<a<1时，f(x)在区间[0，a]上是减函数，f(x)的最 U(1,+∞)上递减；D正确，符合单调性定义， 小值为fa),当a>1时，由图象知f(x)在区间[0，a]上的最 4C了=++1(+厂+子其对称轴为=子，在对 1 小值为1，D正确. 5.[-3,1]因为y=(x-1)2+1,所以单调递减区间为[-3， 称轴左侧单调递减， 1]. 6.≤x2-4x+6=(x-2)2+2≥2，且f(x)在区间[2，+0）)： 六当x(-女，]时单调递诚 -340 5.A若函数f代x)在区间[0,1]上单调递增，则f(x)=f(1), 因此f(x)在(-0,0)上递减，B正确；由f代x)的单调递减区 若f(x)在区间[0,1]上最大值为f1),找反例，开口向上、对 2a>0. 称轴为直线=子的二次函数，可知函数)在区间0,1]上 间是(-0，-4]得 4(a-3）=-4 a的值不存在，C错误； 4a 不单调递增 在D中，当a=0时，f(x)=-12x+5,在(-∞，3)上是减函 6.Bf(IxI)图象的构成如下： ra>0, 当x≥0时，f孔Ix1)图象与f(x)图象相同；当x<0时，图象与x 数：当a≠0时，由 4a-3≥3， 得0<a≤子，所以a的取 >0时的图象关于y轴对称，由此可知函数f(Ix)的图象 4a 是B. ! 值范围是[0，引，D正确 -2 -号函数y=在区间[2,3]上单调 司-300·作出其图象 递减， ∴ym=了y=7:在区间[-3，-2]上单调递减， 如图，观察图象知递增区间为[0，引 1 1 ym=-2ym=-3 8.(-0,0)函数f(x)是反比例函数，若k>0,函数f代x)在区 间(-0,0)和(0，+∞)上是减函数；若k<0,函数f(x)在区 间(-∞，0)和(0，+∞)上是增函数，所以有k<0. 9.函数f代)=-1+1在(0，+0)上是增函数 x 证明：设x1,x2是(0，+0)上的任意两个实数，且x<x2,则 )-)=(六+小-(-+ 6.(0,1)由于两函数在[1，+0)上递减应满足1<0所 a>0, -+1- 以0<a<1. x1 x2 x1x2 7.证明：任取x1,x2∈(2，+0)，且x1<2, 由x1,x2∈(0，+∞)，得x2>0. 4 则f(x)-f孔x2)=x+ -4=(x1-)+ (x2-x1) 一2 又由1<x2,得x-x2<0. 于是f(x1)-f(x2)<0,即fx1)<fx2). (西名)古54 x1x2 fx)=-上+1在(0，+0)上是增函数 因为2<x1<x2,所以x1-2<0,x1x2>4,x1x2-4>0, 10.(1)f(x)在[1，+∞）上单调递增， 所以f代x1)-f(x2)<0, 理由如下：设1≤x1<x2,则 即f()<fx2). )-)=(-)+(公) 所以函数)=+号在(2，+)上是增函数 -0--2 8.(1)当a=-2时fx)=x2-2x+4=(x-1)2+3,则f(x)在区间 [-2,1]上单调递减，在区间[1,2]上单调递增， 1≤1<x2,.1-x2<0,x2>1, 所以f(x)m=f(1)=3,f(x)mm=max{f(-2),f(2)}= .2x2-1>0,fx1)-fx2）<0. max12,4}=12, 即f(x)<f(x2),所以fx)在区间[1，+∞)上单调递增， 所以f(x)的值域为[3,12]. (2)由(1)知，f(x)在[1，+∞)上是增函数， (2)选择条件①：因为Vxe[-2,2]f(x)≥0即xe[-2,2] 当x=1时)有最小值子 时f代x)mn≥0， 若a≥4，则f(x)在区间[-2,2]上单调递增， B组素养提升 所以f(x)=f(-2）=8-2a≥0，解得a≤4， 1.D.f(x)在R上为减函数且f(2x)>f1) 又因为a≥4，所以a=4. .2x<1,x<2 若-4<a<4,则f(x)在区间[-2，-2]上单调递减，在区间 2Dx,x2不在同一单调区间内，大小关系无法确定 3ACy=和y=-女在(0，+)都是减函数a<0,6 [-号，2上单调递增， <0,f(x)=bx+a为减函数且f0)=a<0,故选AC 所以刘=-受）=4-年≥0时-4<a<4 4.BD当a=0时，f(x)=-12x+5,在R上是减函数，A错误； 若a≤-4，则f(x)在区间[-2,2]上单调递减， 当a=1时fx)=2x2-8x+5,其单调递减区间是(-∞，2]， 所以f八x)m=f(2)=8+2a≥0，解得a≥-4， 341 又因为a≤-4，所以a=-4, 综上所述-4≤a≤4. 3)=4到=3)=f)=-2 选择条件②： 心m=,n==2,从而m-ns9】 4 因为]xe[1,3],f(x)≥0， ;B组素养提升 所以f(x）≥0，即max f(1),f(3)}≥0. B由题意可得)=卡=-1+子对于Ax-)- 2 所以f1)≥0或f(3)≥0， 即a≥-5或a≥-3所以a≥-5. 31 =2-2不是奇函数：对于Bf(x-1)+1=2是奇函数：对 练案[22] 于C心x+)-1=子2-2，定义被不关于原点对称，不足奇 A组基础自测 1.A因为函数f代x)是R上的奇函数，所以f(-x)=-f(x), 函数：对于Dx+)+1=子2定义城不关于原点对称，不 即f-x)+f(x)=0,令x=1,得f-1)+f1)=0. 是奇函数.故选B 2.C:f(x)是定义在R上的奇函数， 2.Cf(x)为奇函数，所以f(x)在[3,7]上的单调性与[-7， ∴.f-x)=-fx),且f（0)=0, -3]上一致，且f7)为最小值， ∴fx)·f-x)=-f2(x)≤0，故选C. 又已知f代-7)=5，所以f7)=-f-7)=-5. 3.C因为函数x)在区间(-∞，0]上单调递减，而-3<-2<3.BD选项A为一次函数，不是奇函数，是增函数：选项B是奇 -1,于是有f-3)>f-2)>f-1),又函数f代x)是R上的奇 函数，是增函数；选项C是反比例函数，为奇函数，不是增函 函数，则有-f3)>-f2)>-f1),即f3)<f(2)<f1). 数；选项D,去绝对值号变为分段函数，符合题意 4A选项A中定义域为-1,1}，函数解析式为y=0,所以函4.A因为(x+)+fx-y)=f(x)fy),令x=1,y=0可得， 数既是奇函数又是偶函数，选项B为偶函数，选项C为偶函 2f1)=f1)f(0),所以f(0)=2,令x=0可得f(y）+f(-y) 数，选项D为非奇非偶函数，故选A. =2f孔y),即fy)=f(-y）),所以函数fx)为偶函数，令y=1 5.C因为f代x)=(ax+1)(x-a)=ax2+(1-a2)x-a为偶 得，fx+1)+fx-1)=fx)f1)=f(x),即有f(x+2)+fx) 函数， =fx+1),从而可知f(x+2)=-f(x-1),f(x-1)=-f(x 所以1-a2=0,所以a=±1. 4),故f(x+2)=f(x-4),即f(x)=f(x+6),所以函数f(x) 当a=1时代x)=x2-1,在(0，+∞)上单调递增，满足条件； 的一个周期为6. 当a=-1时，fx)=-x2+1,在(0，+∞)上单调递减，不满 因为f2)=f1)-f(0)=1-2=-1,f(3)=f(2)-f(1)= 足条件. -1-1=-2,f(4)=f-2)=f(2)=-1,f5)=f(-1)= 6.D若x<0,则-x>0f-x)=x2+1x-1, f1)=1,f6)=f0)=2,所以一个周期内的f(1)+f(2)+… .f-x）=-fx), +f代6)=0.由于22除以6余4，所以f(k)=f1)+f2)+ ..-f(x)=x2+lx1-1,f(x)=-x2-x1+1. f3)+f(4)=1-1-2-1=-3.故选A. 7.-5由题意知f代-2)=-f2)=-(2+1)=-5f0)=0, 5.-30由于fx)是偶函数， ∴.f-2)+f0)=-5. 8.1因为f(x)=x3(a·2-2), 所以∫ns0, m+1+(-2n+2)=0→m=-3,n=0. 故f-x)=-x2(a·2-2), :6.(-0,0)f(a-1)+f1)>0,∴fa-1)>-f1). 因为f(x)为偶函数，故f代-x)=f(x)时 f(x)是奇函数，.f(-1)=-f(1): x3(a·2-2-)=-x3(a·2-2),整理得到x3(a-1)(2 .fa-1)>f-1). +2-)=0,对HxeR都成立 又f(x)在R上是减函数，.a-1<-1,即a<0. 故a=1. 7.本题是求分段函数的奇偶性，则只需分段讨论即可 9.f代-x)+g(-x)=x2-x-2,由f(x)是偶函数，g(x)是奇函数 :函数f(x)的定义域为(-∞，0)U(0,+∞)，并且当x>0 得，fx)-g(x)=x2-x-2. 时，-x<0,f(-x)=(-x)[1-（-x)]=-x(1+x)= 又fx)+g(x)=x2+x-2,两式联立得： -fx)(x>0);当x<0时，-x>0,f-x)=-x(1-x)= fx)=x2-2,g(x)=x. -fx)(x<0). 10.当x<0时，f(x)=x+3x+2, 综上可得f(x)为奇函数. 且f(x)是奇函数，·.当x>0时，-x<0, 则f(-x)=x2-3x+2. &(00因为)-”由)=分得-公解利 故当x>0时fx)=-f(-x)=-x2+3x-2. “=0,则到=产定义城为眼所-)=音= 当[1，]时)是增函数： 即①正确； 当xe(子，3时)是减函数因此当xe[1,3]时fx)m= +10得x=0,即②正确： 由fx)=,x -342