练案14 第一章 4.3一元二次不等式的应用-【成才之路·练案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（北师大版）

如图，结合数轴，可得原不等式的解集为{x!-3≤x<-2或 r1-m2<0, 0<x≤1} 4=(1+m)2+4(1-m2)<0, 解得m<-1或m>子， 10.因为x2+px+q<0的解集为{x -<x<兮}所以= 综上可知：实数m的取值范围为(-0，-1小U(子+） -之与。=号是方程2+四+9=0的两个实数根，由根与 7.原不等式等价于x-)-1>0,即x-1)x-2)>0,所 x-2 x-2 以[(a-1)x-(a-2)](x-2)>0.① 系数的关系得 当a=1时，①式可以转化为x>2; [p=- 6 解得 当4>1时，①赋可以转化(：-名二引x-2)>0: 号×()=g 1 g=-6 当a<1时，①式可以转化为：-日引(x-2)<0 所以不等式2+x+1>0即为-石2+石+1>0，整理得 又当1时2-导品所以当a>1或a<0时2>号 a-1 x2-x-6<0,解得-2<x<3.即不等式gr2+px+1>0的解 集为{x1-2<x<3}. 当a=0时，2=导当0<a<1时，2<8号 a-1 B组素养提升 故当a=1时，原不等式的解集是xlx>2}; 1.B解不等式x2-x-2>0得x<-1或x>2,即A={xlx<-1! 或x>2,所以CA={x-1≤x≤2. 当a>1时，原不等式的解集是：<=或>2当0<a 2.Cy-25x=-0.1x2-5x+3000≤0，即x2+50x-30000≥0， 解得x≥150或x≤-200（舍去）. 1时，原不等式的解集是{<引当a=0时，原不 .生产者不亏本时的最低产量是150台. 等式的解集是☑；当a<0时，原不等式的解集 3.BCD不等式x2+5x-6<0可化为(x+6)(x-1)<0,解得： 是{8-子<<2 -6<x<1,所以该不等式的解集为A={xl-6<x<1},所以 8.(1)由题意可知，关于x的方程mx2-(3m+1)x+2(m+1)= CRA=xlx≤-6或x≥1}，选项A错误； 又因为集合B=x-3<x<2},所以A∩B=x|-3<x< 3m+1=-1+2, m 0的两根分别为-1,2，且m<0,由 1},选项B正确： 解 又AUB=x-6<x<2},选项C正确： 2(m+1)=(-1)×2, m 因为集合B={xl-3<x<2},所以CRB=xx≤-3或x≥ 2},选项D正确. 得m 4.CD若命题为真命题，由于x2-2x+5=(x-1)2+4的最小 (2)当m>0时，由mx2-(3m+1)x+2(m+1)>0可得(mx-m 值为4，所以x2-2x+5≥a2-3a对任意实数x恒成立，只需 -1)(x-2)>0,解方程(x-m-1)(x-2)=0,可得x=m+1> m a2-3a≤4，解得-1≤a≤4.所以题中a可以取的范围为ala< 0或x=2 -1或a>4}的子集.选项C、D正确 5.5因为关于x的不等式mx2+nx-1<0(m,neR)的解集为 ①当m+1<2,即m>1时，原不等式为x<m+或x>2: m {-<x<宁}所以-和是方程m+m-10的 ②当m+=2,即m=1时，原不等式为(x-2)2>0,即x≠2： m 两根， ③当m+1>2,即0<m<1时，原不等式为x<2或x>m+ -3+2 m 解得m6, 所以m+n=5. n=-1, 综上所述，当m>1时，P={<或>2 m 当m=1时，P={xx≠2}： 6(-0,-1u(号，+）原不等式可化为1-m)2+1 当0<m<1时，P={<2或x>m m +m)x-1<0对任意的x∈R恒成立. ①当1-m2=0时，m=±1. 练案[14] 当m=-1时，不等式可化为-1<0，显然成立； A组基础自测 当m=1时，不等式可化为2x-1<0,解得x<, 1.A由4=a2-4×4≤0可得 故不等式的解集不是R,不合题意； -号<0(x+3)(x-1)<0,故集合M可化为x1-3<x 2.D+3 ②当1-m2≠0时，由不等式恒成立可得 <1},将集合M和集合N在数轴上表示出来（如图），易知答 —333 案为D. .x≠-2，.不等式的解集为{xx≠-2}： N M 3.ACD由题意知x2=b,Ix11+Ix2I≤2，不妨令a=-1,b= -3-2-1012 0,则x1=0,x2=1,但1a+2b1=1,所以C不正确；令a=2,b= 1,则x1=x2=1,但1a+2b1=4,所以D不正确；令a=0,b= 3.B由题意可得△=4-4m>0,∴.m<1. -1,则x1=-1,x2=1,但1al=0,故A不正确；b=x2≤ 4.C由已知可得2,3是方程x2-ax-b=0的根，故a=5,b= -6,.a+b=-1,故选C ≤1，所以B正确，故选ACD 5.Ax2-2x-a≥0曰a≤x2-2x,设y=x2-2x=(x-1)2-1, 4.BCD在A中，由4=(m-3)2-4m≥0得m≤1或m≥9，故A错 0≤x≤2，当x=1时，ymm=f1)=-1,要使x2-2x-a≥0恒 误；在B中，当x=0时，函数y=x2+(m-3)x+m的值为m,由二 成立，故有a≤-1. 次函数的图象知，方程有一正一负根的充要条件是m∈{mIm< 6.D令y=x2+(m-1)x+m2-2,则当x=1时，y<0且x= :: r4=(m-3)2-4m≥0， -1时，y<0, 0},故B正确：在C中，由题意得 3-m>0. 解得0< 即m+m-2<0, 解得0<m<1,故选D. 1m>0, m2-m<0, m≤1，故C正确；在D中，由4=(m-3)2-4m<0得1<m<9,又 7.{al-6<a<2}不等式x2-ax-a≤-3可化为x2-ax-a {ml1<m<9}{mlm>1},故D正确，故选BCD. +3≤0，由不等式x2-m-a≤-3的解集为空集，得△=5.4设定价为x元，销售总收人为y元，则由题意得y= (-a)2-4(-a+3)<0, ! 即'+4a-12<0,解得-6<a<2,则实数a的取值范围是 (80000-2,5×2000, 0.1 al-6<a<2}. 整理得y=-20000x2+130000x,因为要使提价后的销售总 &4不等式7>0等价于(x-)(x+1)>0,因为不等式 收人不低于20万元，所以y=-20000x2+130000x≥ 20000,解得号≤≤4，所以要使提价后的销售总收入不低 X-0>0的解集为xlx<-1或x>4},所以a=4. x+1 于20万元，则定价的最大值为4 9.(1)当a=1时，不等式E:ax2+x-2≤0可化为x2+x-2 ≤0， 6{>}令y=2-(+1+2-1则当x=4时y<0,即 即(x+2)(x-1)≤0，方程(x+2)(x-1)=0的两根为x1= 4-4(+1)+2k-1<0整理有2张-11>0，解得>号 -2,x2=1, 则不等式x2+x-2≤0的解集是{x-2≤x≤1}， 7. -2?2+ax+1≥0对一切 ∴.当a=1时，不等式E的解集为{xl-2≤x≤1}. (2)当a=0时，不等式E化为0·x2+0·x-2≤0，对xeR xe{0<≤}城立， 恒成立，即a=0满足题意. 当a≠0时，由题意得<0， a≥-(+)在xe{:0<≤}上恒成立 4=a2-4a(-2)≤0 令)=-(+)则g)在{0<≤}上为增函数 0. 解得-8≤a<0. 综上可知，a的取值范围为al-8≤a≤0. 10.由题意知，对于甲车，有0.1x+0.01x2>12,即x2+10x-1200> 六a的最小值为-多 0,解得x>30或x<-40(不符合实际意义，舍去)，这表明甲车 的车速超过30kmm/h 8(国浦题意知，么N0caN4W,则胎-治即高0出 20 但根据题意知刹车距离略超过12m,由此估计甲车的车速不} 解得4D=20-子 会超过限速40km/h. 对于乙车，有0.05x+0.005.x2>10,即x2+10x-2000>0,解得 所以矩形ABCD的面积S关于x的函数解析式为S=20x- x>40或x<-50(不符合实际意义，舍去)，这表明乙车的车速超 子0<x<30 过40km/h,即超过规定限速. B组素养提升 (2)由题意得20r-子2≥14，即2-30x+216≤0，解得 1.C由x(x+2)>0,得x>0或x<-2.又由lxl<1,得-1<x<1, 12≤x≤18.故x的取值范围是x112≤x≤18}. 所以不等式组(x+2)>0, 的解集为{x0<x<1} al <1 练案[15] 2.Ax2+x+1>0恒成立， A组基础自测 ∴.原不等式台x2-2x-2<2x2+2x+2台x2+4x+4>0台(x+：1.A儿童的年龄与智力有依赖关系但没有函数关系.故选A. 2)2>0, 2.D人的体重和身高的关系不是确定的，因此不是函数关系 —334练案[14] 第-章§4[4.3 一元二次不等式的应用] 名组·基础自测 三、解答题 9.关于x的不等式E:ax2+ax-2≤0，其中 一、选择题 a∈R 1.已知不等式x2+ax+4<0的解集为空集，则a (1)当a=1时，求不等式E的解集； 的取值范围是 (2)若不等式E在R上恒成立，求实数a的取值 A.-4≤a≤4 B.-4<a<4 范围。 C.a≤-4，或a≥4 D.a<-4,或a>4 2已知集合M={<0},N=x1x≤-3， 「x+3 则集合{xx≥1}等于 A.M∩N B.MUN C.C.(M∩N) D.CR(MUN) 3.若存在x∈R,使得x后+2x0+m<0成立，则实 数m的取值范围是 ( A.m≤l B.m<1 10.汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要 C.m>1 D.m≥1 继续向前滑行一段距离才能停止，我们称这 4.已知关于x的不等式x2-ax-b<0的解集是 段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析事故的 {x2<x<3},则a+b的值是 -个重要因素.在一个限速为40km/h的弯道 A.-11 B.11 上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对， C.-1 D.1 同时刹车，但还是相碰了.事后现场勘查测得 5.当0≤x≤2时，若x2-2x-a≥0恒成立，则实 甲车的刹车距离略超过12m,乙车的刹车距 数a的取值范围是 离略超过10m.已知甲、乙两种车型的刹车距 A.(-∞，-1] B.(-∞，0] 离s(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关 C.(-∞，-1) D.(-∞，0) 系：8甲=0.1x+0.01x2,sz=0.05x+0.005x2. 6.如果方程x2+(m-1)x+m2-2=0的两个实根 问：甲、乙两车有无超速现象？ 一个小于-1，另一个大于1，那么实数m的取值 范围是 ! A.-√2<m<2 B.-2<m<0 C.-2<m<1 D.0<m<1 二、填空题 7.若不等式x2-ax-a≤-3的解集为空集，则 实数a的取值范围是 8.若关于x的不等式x-0>0的解集为xx<-1 x+1 或x>4},则实数a= 199 8组·素养提升 三、解答题 8.如图，有一长AM=30米，宽AN=20米的矩形 一、选择题 地块，物业计划将其中的矩形ABCD建为仓 「x(x+2)>0, 1.不等式组 的解集为 库，要求顶点C在地块的对角线MN上，B,D Ulxl <1 分别在边AM,AN上，其他地方建停车场和路， A.{xl-1<x<0 B.{xl-2<x<-1} 设AB=x米， C.{x10<x<1 D.xlx>1 2不等式号 (1)求矩形ABCD的面积S关于x的函数解 :<2的解集为 析式； A.{xlx≠-2 B.R (2)若要求仓库占地面积不小于144平方米， c.☑ D.xx<-2或x>2 求x的取值范围， 3.(多选题)不等式x2+ax+b≤0(a,b∈R)的解 集为{xx1≤x≤x2},且1x1I+Ix2I≤2，其中错 误的命题为 A.Ial≥1 B.b≤1 C.Ia+2b|≥2 D.Ia+2b|≤2 4.(多选题)已知关于x的方程x2+(m-3)x+ m=0,下列结论正确的是 A.方程x2+(m-3)x+m=0有实数根的充要 条件是me{mlm<1或m>9 B.方程x2+(m-3)x+m=0有一正一负根的 充要条件是m∈{mlm<0 C.方程x2+(m-3)x+m=0有两正实数根的 充要条件是m∈{ml0<m≤1 D.方程x2+（m-3)x+m=0无实数根的必要 条件是m∈{mlm>1} 二、填空题 5.某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售 出8万本.据市场调查，杂志的单价每提高0.1 元，销售就可能减少2000本，要使提价后的销 售总收入不低于20万元，则定价的最大值为 6.关于x的方程x2-（k+1)x+2k-1=0的根 一个大于4，另一个小于4，则实数的取值范 围是 7.若不等式x2+ax+1≥0对一切x∈ {0<≤}成立，则a的最小值为 -200