练案11 第一章 3.2 第2课时基本不等式的应用-【成才之路·练案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（北师大版）

tbat 又：N2 2,a+6=2, 练案[11] @B>lab<1<+8 A组基础自测 2 2 :1.C因为x∈xI-2<x<0},所以2+x>0,所以x(2+x)= 4A0在A中，当0时>0+疗2，当目仅当=1时 -(-x)(2+x)≥- x+2-x2 2 =-1,当且仅当x=-1时， 取等号，结论成立：在B中，当x之2时，x+无≥2x·三 等号成立 2.C当x<0时，无意义，故A不恒成立；当x=1时，x2+1= 2.当且仅当=1时取等号，但>2取不到1，因此x+的最2x,故B不恒成立：当<0时+<2，放D不恒成立+ 小值不是2，结论错误：在C中，因为x<子，所以5-4>0，则y 1≥1，所以+1≤1恒成立 =-2+一5=-(5-4+5)+3≤-2×3.A由>6>0结合基本不等式可得，a>0,瓜>6，枚P 1 2 √5-4)54+3=1，当且仅当-4=写即=1时 =M(CRN). 取等号，结论错误；显然D正确，故选AD. .B为正数，(x+)(仕+)=1+4+士+“≥9，当且 57因为-1>0，所以+名=(x-D+号+1≥5 仅当y=2x时等号成立.选B. 5.A因为x>0,y>0, 2√c-)名+1=7，当且仅当-1=名即=4时， 所以x+y=√02+y+2xy≤√2x2+2y2=2·√2+y, 当且仅当x=y时等号成立， x+9的最小值为7. x-1 所以使得x+y≤a√2+y对所有正数x,y都成立的a的最小 68+453如+2=1…名+女-(2+古)3+20)=8+ 值是2.故选A. 6.C因为点A在直线mx+四y+1=0上， 4地+30≥8+2/厄=8+45，当且仅当4地=30及30+26=1，解 所以-2m-n+1=0,即2m+n=1. 得4=35,6=时取到最小值 因为m>0,n>0,所以1t员2m+”+4m+202+P m m n m 6 4 4m+2≥4+2·√m·元 只，把-8，当且仅当m=子a=时取 1 7.证明：(1)因为a,b,c均为正数，由a2+6≥2ab,b2+c2≥2bc, c2+a2≥2ca, ! 等号.故选C 得a2+b2+c2≥ab+bc+ca.(当且仅当a=b=c时等号成立) 7.(1)2√15x+y≥2√/y=2√/15，即x+y的最小值是2√15；当 由题设得(a+b+c)2=1, 且仅当x=y=√5时取最小值. Ba2+b2 +c+2ab +2bc +2ca =1, 所以3(ab+bc+ca)≤1，即ab+bc+ca≤3 1 (2)学≤（告-(）=空即y的最大值是空 (2)因为a,6c均为正数，所以 6+6≥2a, +c≥2h,+ ! 当且仅当x=)空时可取最大值 a 2成号，会+a+6323w+6te当且仅当n84吕+名-32V品瓜4 C =6=c时取等号)，即兰+父+二≥a+6+心 当且仅当9=1 号石，即a=6,6=子时取等号 c a 又a+b+c=1,所以g+公+C≥1. 6++a 9正数a满足+1，则片=1-片则，2号 a 8..a>0,b>0,a+b=2, 由正数a,b满足上+2 a+方=1，则2 =1-=，则 aa -T= 令a+1=p,b+1=9,则p>1,g>1, ..a=p-1,b=q-1,p+q=4, 合1*62名+6≥2合云=2当且仅当a=6 4+-p-12+g-1 a+1b+1-p ! =3时取等号放，名子+。2的最小值为2 =p+-4+1+14 4 P 9 Pq (p+g 下=1，（当且仅当p=9=210.依题意得y=920 2 x*3+1600x∈N). x 时的等号) .m≤1，所以实数m的最大值为1. 因为+102 V面-. —330— 当且仅当x=1600,即x=40时上式等号成立， 每件产品的销售价格为1.5.8+16x(元)， x 所以-11.1（万件）。 ! 2024年该产品的利润y=1.5x.8+16x-8-16x-m= 所以当销售员为40人时，销售量最大，最大销售量约为11.1 万件. -[+(m+小+29a=0. B组素养提升 (2:m≥0时5+(m+1)≥2v6=8,y5-8+29 1.B由m2+n2≥2mn得m≤m+m=50,当且仅当m=n= 2 21,当且仅当 +1=m+1,即m=3时，ym=21.故该厂家 16 ±5√2时等号成立 2024年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大利润 2Ay=号+名（任++101=。+6+ 为21万元 0,+产≥++2=a+6,当且仅当= 练案[12] 时取等号， A组基础自测 3.ABD由a>2,故p=a+L a-2=(a-2)+1 +a-2+2≥4，当且1. 2.B因为抛物线y=2(x-1)2+3顶点坐标为(1,3)，抛物线 仅当a=3时取等号. i y=2x2顶点坐标为(0,0)，所以抛物线y=2(x-1)2+3可以 所以A={plp≥4}，B={qlg≤8}.故选ABD. 看作由抛物线y=2x2向右平移1个单位，再向上平移3个单 4.AC根据图形，利用射影定理得：CD=DE·OD,又OD= 位得到的. 之4B=(a+6),m=AC·CB=d,所以DE-C OD =13.C ,由于002D,所uv(a>0,6>0 ab 4.A由a>b>c,且a-b+c=0可以分析出a>0,c<0,即函数 图象开口向上，当x=-1时y=a-b+c=0,当x=0时 2 y=c<0.结合各选项可知选A. 由于02E,所以y画≥21o0,6>0 2 5.D由于一元二次函数y=aax2+bx+c与y=bx2+ax+c的图 a+6 b 5.1f)=（x2)+1=x-2 象的对称辅方程分别是x=一名一元则一名与-易同 2x-4 =2+2x-4 号，即它们的图象的对称轴位于y轴的同一侧，由此排除A, =2x-41 B;由C,D中给出的图象，可判定两函数的图象的开口方向相 4+2x-4 反，故b<0,于是-品>0，-元>0，即两函数图象的对称轴 b /2x-4,1 ≥2√4·2x-4=1 都位于y轴右侧，排除C,选D. 当且仅当2红-4、1 42-4,即=3时取“=”. 6.C因为y=x2-4x+3=(x-2)2-1,所以当x=2时，y取得 最小值，最小值为-1；当y=3时，有x2-4x+3=3,解得x1= 67由已知得，每台机器生产的产品的月平均利润为工 0,x2=4,所以当x=0或x=4时，y=3.又因为当0≤x≤m时， y的最小值为-1，最大值为3，所以2≤m≤4 +-16-+15-6=15-(+） i7.< 1 又因为15-(s+)≤15-26=7，当且仅当 16时等 8.y=3x2-12x+10由题意可知所求一元二次函数的解析式 为y=3(x-2)2-2=3x2-12x+10. 号成立，又因为x∈N,所以当x=4时，月平均利润有最大9.y=3x2+5x+2函数y=3x2-x+2的图象向左平移1个单 值，此时最大值是7万元 位长度，得到函数y=3(x+1)2-(x+1)+2的图象，再向下 元ia+6-+古-且a>0.6>0,得b= 平移2个单位长度，得到函数y=3(x+1)2-(x+1)+2-2 的图象，即所得图象对应的函数解析式是y=3x2+5x+2. (1)由基本不等式及ab=1,知a+b≥2√ad=2,当且仅当a=10.(1)作出这三个函数的图象，如图： b=1时取等号，故a+b的最小值为2. y (2)证明：由(1)知a2+2≥2ab=2,且a+b≥2，因此a2+b +a+b≥4，① 假设a2+a<2与b2+b<2同时成立，则a2+b2+a+b<4,② ①②两式矛盾，故a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立. 8.(1)由题意知，当m=0时，x=1,.1=3-k→k=2,.x=3 2 (x+1)2-1 m+1 —331练案[11] 第-章§33.2 [第2课时 基本不等式的应用] 名组·基础自测 三、解答题 一、选择题 9.若正数ab满足：+2=1，求2 a b 求，2+62的 1.若x∈{xl-2<x<0},则x(2+x)的最小值是 最小值， A.-2 B. C.-1 n- 2.下列各式中，对任意实数x都成立的一个式子 是 () A.x+1≥2√x B.x2+1>2x D.x+1≥2 3.已知a>b>0,全集为R,集合M= {b<<“2,N=1画<x<a,P {xb<x≤√ab,则M,N,P满足 A.P=MO(CRN) B.P=(CRM)ON C.P=MUN D.P=M∩N 10.某公司今年3月欲抽调一批销售员推销A产 4设x,y为正数，则(x+)任+）的最小值为 品，根据过去的经验，每月A产品销售数量 y(万件)与销售员的数量x(人)之间的函数 A.6 B.9 关系式为y+3x+1600xeN).在孩 C.12 D.15 月内，销售员数量为多少时，销售的数量最 5.若对所有正数x,y,不等式x+y≤aWx2+y都 大？最大销售量为多少？（精确到0.1万件） 成立，则a的最小值是 A.√2 B.2 C.2√2 D.8 6.若点A(-2,-1)在直线mx+ny+1=0上，其 中m,n均大于0，则+2的最小值为( m A.2 B.4 C.8 D.16 二、填空题 7.已知xy都是正数， (1)如果y=15,则x+y的最小值是 (2)如果x+y=15,则y的最大值是 8已知正数a6满足2+名=3，则山的最小值为 —193 8组·素养提升 位：万元)与机器运转时间x(单位：月)的关系 为：y=-x2+15x-16(x∈N*),则每台机器生 一、选择题 产的产品的月平均利润的最大值是 1.已知m,n∈R,且m2+n2=100,则mn的最大 值是 万元 A.100 B.50 C.20 D.10 三、解答题 2.已知0<x<1,a,b为帝数，且b>0,则y=心7设a>0,b>0,且a+b=+ 的最小值为 (1)求a+b的最小值； +1-x (2)证明：a2+a<2与b2+b<2不可能同时 A.(a+b)2 B.(a-b)2 成立 C.a+b D.a-b 3.(多选题)已知集合U=R,A={plp=a+ a-2a>2,B=9g=-x2+8,x∈R,则下 1 列正确的是 ( A.A∩B={xl4≤x≤8}B.AUB=R C.ACB D.CA∈B 4.《几何原本》中的几何代数法（以几何方法研 究代数问题)成为了后世数学家处理问题的重 要依据.通过这一原理，很多的代数定理都能 够通过图形实现证明，也称为无字证明.现有8.某厂家拟在2024年举行促销活动，经调查测 图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC= 算，某产品的年销售量（也即该产品的年产量）x a,BC=b,O为AB的中点，以AB为直径作半 万件与年促销费用m(m≥0)万元满足x=3- 圆，过点C作AB的垂线交半圆于D,连接OD, AD,BD,过点C作OD的垂线，垂足为E,则该 m+(为常数)，如果不搞促销活动，则该产品 图形可以完成的无字证明有 的年销售量只能是1万件.已知2024年生产该 产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产 品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售 价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品 成本包括固定投人和再投入两部分资金). 1.2+6≥ab(a>O,b>0) (1)将2024年该产品的利润y万元表示为年促 B.a2+b2≥2ab(a>0,b>0) 销费用m万元的函数； C.ab≥ 2,(a>0,b>0) (2)该厂家2024年的促销费用投入多少万元 11 时，厂家的利润最大？ 一+ D 2(a>0,b>0) 二、填空题 5.已知≥多，则(x)=+的最小值 2x-4 是 6.某公司购进了一批机器投入生产，依据市场分 析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单 —194