4.3 一元二次不等式的应用 课堂限时训练-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

**基本信息** 分层设计清晰，从基础概念到综合应用梯度递进，注重数学建模与实际问题解决，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|解不等式、集合关系|单选题直接考查概念，如解集求解，夯实运算能力| |中档|充分条件、销售/刹车情境|多选题结合参数讨论，填空题融入实际问题，培养数学眼光| |提升|成本函数、几何面积|解答题需建模与推理，如矩形面积最值，发展数学思维与表达|

2026-2027学年第一学期高一数学（北师大版）第一章 预备知识 4.3 一元二次不等式的应用 课堂限时训练 考试时长：30分钟　满分：66分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.不等式的解集为(     ) A. B. C. D. 2.若集合，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 3.某商店购进一批纪念章，每枚的最低售价为元，若每枚按最低售价销售，每天能卖出枚，每枚售价每提高元，日销售量将减少枚，为了使这批纪念章每天获得元以上的销售额，则这批纪念章的销售单价单位：元的取值范围是(     ) A. B. C. D. 4.某商品在最近天内的价格单位：元与时间单位：天的函数关系是，销售量与时间的函数关系是为了使这种商品的日销售金额不小于元，则的取值范围为(     ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.若“”是“”的充分不必要条件，则实数可以是(     ) A. B. C. D. 6.某商品以每件元的价格出售时，销售量为万件．经过调查，单价每提高元，销售量减少件，要使商品销售总收入不少于万元，该商品的单价可定为(     ) A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.某型号汽车在某种路面的刹车距离米与汽车车速公里小时的关系式是，若该车在行驶过程中发现前面米处有障碍物，这时为了能在离障碍物不少于米处停车，则该汽车的最大速度为           ． 8.要在长为m，宽为的一块长方形地面上进行绿化，四周种花卉花卉的宽度相等，中间种草皮，要求草皮的面积不少于总面积的一半，则花卉宽度的取值范围是           ． 四、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品已知该单位每月的处理量最少为吨，最多为吨，月处理成本元与月处理量吨之间的函数关系可近似地表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为元则 该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低是多少？ 每月需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？ 10.本小题分 如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花园，要求在上，在上，且对角线过点，已知米，米，设的长度为． 用表示的长； 要使矩形的面积大于平方米，求的取值范围； 当的长度是多少时，矩形的面积最小？并求出最小面积． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期高一数学（北师大版）第一章 预备知识 4.3 一元二次不等式的应用 课堂限时训练 考试时长：30分钟　满分：66分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.不等式的解集为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：根据绝对值不等式的性质原不等式可转化为， 解左边不等式：，两边同时加得：，即； 解右边不等式：，两边同时加得：，即 综上，不等式的解集为， 故选C． 2.若集合，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】当时，可化为，无解，符合题意；  当时，的解集不可能为空集；  当时，要使的解集为空集，需解得  综上，． 3.某商店购进一批纪念章，每枚的最低售价为元，若每枚按最低售价销售，每天能卖出枚，每枚售价每提高元，日销售量将减少枚，为了使这批纪念章每天获得元以上的销售额，则这批纪念章的销售单价单位：元的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：由题意，得，即， ，解得， 又每枚的最低售价为元，． 故选：． 4.某商品在最近天内的价格单位：元与时间单位：天的函数关系是，销售量与时间的函数关系是为了使这种商品的日销售金额不小于元，则的取值范围为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】日销售金额为，解得 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.若“”是“”的充分不必要条件，则实数可以是(    ) A. B. C. D. 【答案】ACD  【解析】【分析】 本题考查充分、必要条件的判断，不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 分别解一元二次不等式，根据充分不必要条件可得不等关系，解之即可． 【解答】 解：“”． “”，或． “”是“”的充分不必要条件， ，或，解得：或， 则实数可以是． 故本题选ACD． 6.某商品以每件元的价格出售时，销售量为万件．经过调查，单价每提高元，销售量减少件，要使商品销售总收入不少于万元，该商品的单价可定为(    ) A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】BCD  【解析】【分析】 本题考查函数的实际应用，考查二次不等式的解法，考查数学建模的核心素养，属于基础题． 设商品的单价为元，则商品销售总收入为，结合题意得到不等式，解不等式可得答案． 【解答】 解：设商品的单价为元，则销售量为， 则商品销售总收入为， 结合题意有，解得． 故选：． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.某型号汽车在某种路面的刹车距离米与汽车车速公里小时的关系式是，若该车在行驶过程中发现前面米处有障碍物，这时为了能在离障碍物不少于米处停车，则该汽车的最大速度为          ． 【答案】公里小时  【解析】【分析】 本题考查一元二次不等式的实际应用，属于基础题． 设汽车车速为公里小时，则，解不等式即可． 【解答】 解：设汽车车速为公里小时， 由题意得， 所以， 则该汽车的最大速度为公里小时． 故答案为公里小时． 8.要在长为，宽为的一块长方形地面上进行绿化，四周种花卉花卉的宽度相等，中间种草皮，要求草皮的面积不少于总面积的一半，则花卉宽度的取值范围是          ． 【答案】  【解析】设花卉的宽度为m， 则且， ，  草皮面积为，  解得或，  又， ，  即花卉宽度的取值范围是． 四、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品已知该单位每月的处理量最少为吨，最多为吨，月处理成本元与月处理量吨之间的函数关系可近似地表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为元则 该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低是多少？ 每月需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？ 【答案】解：由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为， 当且仅当， 即时，等号成立， 所以该单位每月处理量为吨时，每吨的平均处理成本最低，最低成本为元． 设该单位每月获利为元， 则 ， 故， 所以该单位每月需要国家至少补贴元才能不亏损． 【解析】本题考查利用一元二次不等式与基本不等式解决实际问题，属于基础题． 结合题意，利用基本不等式即可得解； 设该单位每月获利为元，根据题意得到，再利用配方法即可求得，由此得解． 10.本小题分 如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花园，要求在上，在上，且对角线过点，已知米，米，设的长度为． 用表示的长； 要使矩形的面积大于平方米，求的取值范围； 当的长度是多少时，矩形的面积最小？并求出最小面积． 【答案】解：由∽， 可得，即，得； 矩形的面积， 令，得，即， 可得，解得或， 又，可得或； 令，则， 则， 当且仅当，即，时，等号成立， 当米时，矩形面积取最小值为平方米． 【解析】本题主要考查函数模型的应用，属于基础题． 由线线平行，可得∽，再由对应边成比例，可得； 可令写出矩形面积的表达式，由，求解一元二次不等式，结合，可得的范围； 令，则，整理可得关于的函数，运用基本不等式可得函数的最小值，求得最值取得的条件，即可得到所求结论． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期高一数学（北师大版）第一章 预备知识 4.3 一元二次不等式的应用 课堂限时训练 考试时长：30分钟　满分：66分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。每小题只有一项是符合题目要求的。 1.不等式的解集为(     ) A. B. C. D. 2.若集合，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 3.某商店购进一批纪念章，每枚的最低售价为元，若每枚按最低售价销售，每天能卖出枚，每枚售价每提高元，日销售量将减少枚，为了使这批纪念章每天获得元以上的销售额，则这批纪念章的销售单价单位：元的取值范围是(     ) A. B. C. D. 4.某商品在最近天内的价格单位：元与时间单位：天的函数关系是，销售量与时间的函数关系是为了使这种商品的日销售金额不小于元，则的取值范围为(     ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.若“”是“”的充分不必要条件，则实数可以是(     ) A. B. C. D. 6.某商品以每件元的价格出售时，销售量为万件．经过调查，单价每提高元，销售量减少件，要使商品销售总收入不少于万元，该商品的单价可定为(     ) A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.某型号汽车在某种路面的刹车距离米与汽车车速公里小时的关系式是，若该车在行驶过程中发现前面米处有障碍物，这时为了能在离障碍物不少于米处停车，则该汽车的最大速度为           ． 8.要在长为m，宽为的一块长方形地面上进行绿化，四周种花卉花卉的宽度相等，中间种草皮，要求草皮的面积不少于总面积的一半，则花卉宽度的取值范围是           ． 四、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品已知该单位每月的处理量最少为吨，最多为吨，月处理成本元与月处理量吨之间的函数关系可近似地表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为元则 该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低是多少？ 每月需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？ 10.本小题分 如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花园，要求在上，在上，且对角线过点，已知米，米，设的长度为． 用表示的长； 要使矩形的面积大于平方米，求的取值范围； 当的长度是多少时，矩形的面积最小？并求出最小面积． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $